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第五课时——一实际问题与二次函数
知识点一：利用二次函数解决实际问题：
把实际问题的关系转化为 模型的关系，利用二次函数的 来
解决实际问题的方法。
特别提示：在利用二次函数解决实际问题时一定要注意自变量的取值范围。
知识点二：二次函数解决实际问题的基本类型：（参考一元二次方程的实际应用）
类型一：二次函数与图形面积：
1．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留 2m宽的
门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为 50m．设饲养室长为xm，占地面积为
ym2，则y关于x的函数表达式是（ ）
第1题 第2题
A．y＝﹣x2+50x B．y＝﹣ x2+24x
C．y＝﹣ x2+25x D．y＝﹣ x2+26x
2．如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙 AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，
篱笆总长40米，墙AB长16米，若BF＝x米，花园面积是S平方米，则S关于x的函数关系式是：
．
3．如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计
划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）．则s关于x的函数关系式：
（并写出自变量的取值范围）
4．如图，一块草地是长80m、宽60m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为 x m的小路，这时草坪
面积为y m2．求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
5．图1中窗户的上部分是由4个全等小正方形组成的大正方形，下部分是矩形，如图 2．如果制作一个窗
户（如图2）边框的材料总长度为10m，设小正方形的边长为x（m），窗户的透光面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）x取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？
6．如图，小亮父亲想用长80m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长50m，
设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2．（1）写出S与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围．
（2）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？
知识点二：二次函数解决实际问题的基本类型：
类型二：商品销售问题：
7．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨
1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售的利润为y元，
则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝10（200﹣10x） B．y＝200（10+x）
C．y＝10（200﹣10x）2 D．y＝（10+x）（200﹣10x）
8．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指
厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价
99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件
电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为
w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）]
B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）]
C．w＝（x﹣50）（200+ ×10）D．w＝（x﹣50）（200+ ×10）
9．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售
价每涨价1元，月销售量就减少10千克，则月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间
的函数解析式为 ．
10．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每
天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是
（ ）
A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元
11．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价
x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．
（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．
（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，
说明理由．
12．近年来，电动车驾驶安全越来越被重视．某商店销售头盔，每个进价 50元．经市场调研，当售价为
60元时，每月可销售300个；售价每增加1元，销售量将减少10个．为了提高销售量，当售价为80元
时，启用网络主播直播带货，此时售价每增加
1元，需支付给主播300元．物价局对此头盔规定：售价最高不超过110元．如图中的折线ABC表示该品牌头盔的销售量y（单位：个）与售价x
（单位：元）之间的函数关系．
（1）直接写出点B的坐标 ，并求线段BC对应的函数表达式；
（2）启用网络主播直播带货后，当售价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？
13．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量 y（件）是售价x（元/件）的一次函数，
其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件） 60 70 80
周销售量y（件） 100 80 60
周销售利润w 2000 2400 2400
（元）
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值；
（3）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，
该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，
求m的值．知识点二：二次函数解决实际问题的基本类型：
类型三：二次函数在建筑中为应用：
14．某涵洞是抛物线形，截面如图所示，现测得水面宽 AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在
图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是 ．第14题 第15题
15．如图1所示的是山西大同北都桥的照片，桥上面的部分是以抛物线为模型设计而成的，从正面观察该
桥的上面部分是一条抛物线，如图2，若AB＝60，OC＝15，以AB所在直线为x轴，抛物线的顶点C在
y轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣ +15 B．y＝﹣ ﹣15
C．y＝﹣ +15 D．y＝﹣ ﹣15
16．随着乡村振兴战略的不断推进，为了让自己的土地实现更大价值，某农户在屋侧的菜地上搭建一抛物
线型蔬菜大棚，其中一端固定在离地面1米的墙体A处，另一端固定在离墙体7米的地面上B点处，现
以地面和墙体为x轴和y轴建立坐标系，已知大棚的高度y（米）与地面水平距离x（米）之间的关系式
用y＝ax2+bx+c表示．将大棚正面抽象成如图所示图形，已知抛物线对称轴为直线 x＝3，结合信息回答
下列问题：
（1）求抛物线的解析式．
（2）该农户准备在抛物线上点C（不与A，B重合）处，安装一直角形钢架ECD对大棚进行加固（点
D在x轴上，点E在OA上，且CE∥x轴，CD∥y轴），若忽略接口处的材料损耗，那么该农户需要多
少米钢材，才能使钢架ECD的长度最大？
17．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段 OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以
OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝
10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的
点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点
A、B的坐标．18．某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图1所示，示意图如图2，且已知图2中矩形
的长AD为12米，宽AB为4米，抛物线的最高处E距地面BC为8米．
（1）请根据题意建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式；
（2）若观景拱桥下放置两根长为7米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平距离；
（3）现公园管理处打算在观景桥侧面搭建一个矩形“脚手架”PQMN（如图2），对观景桥表面进行维
护，P，N点在抛物线上，Q，M点在BC上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ，PN，
MN的长度之和的最大值，请你帮管理处计
算一下．
知识点二：二次函数解决实际问题的基本类型：
类型四：二次函数与动点问题：19．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的
面积最大值为（ ）
第19题 第20题 第21题
A．8 B．6 C．4 D．2
20．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连结CE，以CE为边向右上方作正方形
CEFG，过点F作FH⊥AD，垂足为H，连结AF．在整个变化过程中，△AEF面积的最大值是
．
21．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，
连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为 ．
22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝8cm．动点P从点A出发，沿边AB向点B以1cm/s的
速度移动（不与点B重合），同时动点Q从点B出发，沿边BC向点C以2cm/s的速度移动（不与点C
重合）．当四边形APQC的面积最小时，经过的时间为（ ）
第22题 第23题
A．1s B．2s C．3s D．4s
23．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的
速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过
秒钟，使△PBQ的面积最大．
24．如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A＝90°，AD＝6cm，DC＝4cm，BC的坡度i＝3：4，动点P从
A出发以2cm/s的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3cm/s的速度沿B→C→D方向向点
D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间
为t秒．（1）BC＝ ；当t为何值时，PC与BQ相互平分；
（2）连结PQ，设△PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是
多少？
