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2022-2023 学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 09 二次函数的实际应用—拱桥问题
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021九上·虹口期末）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，
拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为
（ ）
A． 米 B．10米 C． 米 D．12米
【答案】B
【解析】【解答】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为-4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（-10，-4），B（10，-4），
将A代入y=ax2，
-4=100a，
∴ ，∴ ，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为-1，
∴
∴x=±5，
∴CD=10，
故答案为：B．
【思路引导】先建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，再求出解析式，最后利用二次函数的
性质求解即可。
2．（2分）（2021九上·安阳期中）有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m，跨度为40m，
现把它的示意图(如图)放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）
A．y＝ x2＋ x B．y＝－ x2＋ x
C．y＝－ x2－ x D．y＝－ x2＋ x＋16
【答案】B
【解析】【解答】解：由图可知，该抛物线开口向下，对称轴为x＝20，
最高点坐标为（20，16），且经过原点，
由此可设该抛物线解析式为 ，将原点坐标代入可得 ，
解得： ，
故该抛物线解析式为 .
故答案为：B.
【思路引导】由题意可设抛物线解析式为y=a(x-20)2+16，将（0，0）代入可得a的值，据此可得抛物线的
解析式.
3．（2分）（2021九上·诸暨月考）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降
1m时，水面宽度增加（ ）
A．1m B．2m
C．（2 ﹣4）m D．（ ﹣2）m
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，建立直角坐标系，设y=a（x-2）（x+2），
∴2=a（0-2）（0+2），
∴a=- ，
∴y=- （x-2）（x+2），
当水面下降1米时，y=-1，
∴-1=- （x-2）（x+2），
解得x=± ，
∴水平宽度增加：（2 -4）m.
故答案为：C.
【思路引导】根据题意建立直角坐标系，结合数据求出二次函数解析式，再把y=-1代入抛物线解析式，则
可求出此时的水面宽度，即可得出答案.
4．（2分）（2020九上·郁南期末）如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为，当水面宽度 为20m时，此时水面与桥拱顶的高度 是（ ）
A．2m B．4m C．10m D．16m
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得B的横坐标为10，
把x=10代入 ，
得y=-4，
∴OD=4m，
故答案为：B．
【思路引导】将x=10代入函数解析式求出y=-4，再求解即可。
5．（2分）（2020九上·武汉月考）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 .若水
面再下降 ，水面宽度为（ ） .
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直
角坐标系，则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得：
0=a×4+2，
解得：a=- .
∴抛物线的解析式为y=- x2+2，
∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=- x2+2，
解得：x=± .
∵ -（- ）=2 ，
∴水面宽度为2 m.
故答案为：D.
【思路引导】以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由待
定系数法求得二次函数的解析式，然后将y=-1.5代入解析式得关于x的一元二次方程，解得x的值，用较
大的x值减去较小的x值即可得出答案.
6．（2分）（2020九上·舒城月考）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O
为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣ （x﹣80）
2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）A．16 米 B． 米 C．16 米 D． 米
【答案】B
【解析】【解答】∵AC⊥x轴，OA=10米，
∴点C的横坐标为﹣10，
当x=﹣10时，y=﹣ （x﹣80）2+16=﹣ （﹣10﹣80）2+16=﹣ ，
∴C（﹣10，﹣ ），∴桥面离水面的高度AC为 m．
故答案为：B．
【思路引导】根据图象求出点C的横坐标，再将-10代入抛物线解析式计算即可。
7．（2分）（2020九上·瑞安期中）我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图
1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上
醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A，点B落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分
（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米【答案】C
【解析】【解答】解：如图，令P下方的点为H，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，则A(1，0)B(-1，
O)，
设抛物线的方程为y=ax2+bx+c
∴抛物线的对称轴为x=0，则 ＝0，即b＝0．
∴y＝ax2 +c．
将A(1，0)代入得a+c＝0，则c＝－a．
∴y＝ax2－a．
∵OH＝2× × ＝0.2，则点H的坐标为（-0.2，0）
同理可得：点F的坐标为（-0.6，0）．
∴PH＝a×(-0.2)2-a＝－0.96a
EF＝a×(-0.6)2-a＝－0.64a．
又∵PQ＝EF＝1－（－0.96a）＝－0.64a
∴1＋0.96a＝－0.64a．
解得a＝ ．
∴y＝ x2＋ ．
∴EF＝（ ）×（-0.6）2＋ ＝ ．
故选：C．【思路引导】设P下方的点为H，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，则A(1，0)B(-1，O)，根据图像设
抛物线的函数解析式为y＝ax2 +c，根据题意可知点A，B的坐标，由中间被4根栏杆五等分，可得到点
H，点F的坐标；再用含a代数式表示出PH，EF的长，然后根据PQ＝EF，建立关于a的方程，解方程求出
a的值，可得到函数解析式，利用函数解析式可求出EF的长。
8．（2分）（2019九上·准格尔旗期中）有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为 米，拱顶距
离水平面 米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深 米，为保证过往船只顺利航行，桥
下水面宽度不得小于 米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设该抛物线的解析式为 ，
在正常水位下x=10，
代入解析式可得，−4= ，
解得： ，
故此抛物线的解析式为 ，
∵桥下水面宽度不得小于18米，
令x=9时，
则y= ×81=−3.24米，
此时水深6+4−3.24=6.76米，
即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过；故答案为：D.
【思路引导】根据已知，假设解析式为 ，把（10，-4）代入求出解析式．假设在水面宽度18米
时，能顺利通过，即可把x=9代入解析式，求出此时水面距拱顶的高度，然后和正常水位相比较即可解答．
9．（2分）（2018九上·和平期末）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图（1）位置时，
拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m.如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是
（）
A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣0.5x2 D．y=0.5x2
【答案】C
【解析】【解答】由题意可得，设抛物线解析式为：y=ax2，由图意知抛物线过（2，–2），故–
2=a×22，解得：a=–0.5，故解析式为 y=﹣0.5x2 ，选C.
【思路引导】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，
利用待定系数法求解.
10．（2分）（2020九上·武汉期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m.水面上升
1.5m，水面宽度为（ ）
A．1m B．2m C． m D． m
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得如图所示：该拱形的顶点为 ，与x轴的交点坐标为 ，
∴设抛物线的解析式为： ，
把点 代入得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
当y=1.5时，则有： ，解得： ，
∴此时水面宽为： m；
故答案为：B.
【思路引导】根据题意构建平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，进而求解即可.
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021九上·科尔沁左翼中旗期末）如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽
20米，水位上升3米就到达警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速
度上升 小时水位能由正常水位到达拱桥顶．【答案】20
【解析】【解答】解：由题意，设抛物线的解析式为 ， ， ，
将 ， ，代入 可得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为： ， ，
即：正常水位AB距离桥顶4米，
∴ （小时），
故答案为：20．
【思路引导】根据题意，设抛物线的解析式为 ， ， ，利用代入法
得出a、b的值，得出抛物线解析式，即可得出答案。
12．（2分）（2021九上·建华期末）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在1时，拱顶
(拱桥洞的最高点)离水面3米，水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是
．【答案】
【解析】【解答】解：设出抛物线方程y=ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（-2，-3）点，
∴-3=4a，
a=- ，
∴抛物线解析式为y=- x2．
故答案为： ．
【思路引导】先求出-3=4a，再求出a=- ，最后计算求解即可。
13．（2分）（2021九上·鹿城期中）图 1 是世界第一高桥-北盘江大桥， 其桥底呈拋物线， 主桥底部
跨度 米， 以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系 （如图2所示），
桥面 ， 拋物线最高点 离桥面距离 米， 米， 桥面 上点
作 交抛物线于点 若 三点恰好在同一直线上， 则
米.
【答案】21.6
【解析】【解答】解：据题意，作图如下：设抛物线的表达式为： （ ）
∵ 米， 米
∴ ，
∴
∵ 米
∴ ，
∴
∴
∴
=
∵ 三点恰好在同一直线上，且
∴
∴
∴
经检验， 是原方程的根∴ 米.
故答案为：21.6.
【思路引导】设抛物线的表达式为：y=ax(x-500)，根据OA、EF的值可得E（250，-62500a），F
（250，-62500a+12），则B（500，-62500a+12），D（350，-52500a），表示出CD，根据平行线分线段成
比例的性质可得 ，代入求解可得a的值，进而可得CD.
14．（2分）（2021九上·津南期中）如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽8m，在两侧
距地面3.5m高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是6m．若按图所示建立平面直角坐标
系，则抛物线的解析式是 ．（建筑物厚度忽略不计）
【答案】y＝- x2+8
【解析】【解答】解：以地面为x轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，
则抛物线过（-4，0）、（4，0）、（3，3.5）四点，
设该抛物线解析式为：y＝a（x+4）（x-4），代入（3，3.5）
3.5= a×7×（-1）
解得a=-
∴该抛物线解析式为：y＝- （x+4）（x-4）=- x2+8，故答案为：y＝- x2+8．
【思路引导】先求出3.5= a×7×（-1），再求出a=- ，最后求解即可。
15．（2分）（2021九上·岱岳期中）如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线y＝﹣ x2+8（单
位：米），施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架DEFG，已知DE：EF＝3：2，则脚手架高DE为
米．
【答案】6
【解析】【解答】解：设DE＝3a，EF＝2a，
则点D的坐标为（﹣a，3a），
∵点D在抛物线y＝﹣ x2+8上，
∴3a＝﹣ a2+8，
解得：a＝2，a＝﹣8（舍去），
1 2
∴DE＝3a＝6（米），
故答案为：6．
【思路引导】设DE＝3a，EF＝2a，则点D的坐标为（﹣a，3a），再将点D的坐标代入抛物线y＝﹣
x2+8求出a的值即可得到答案。16．（2分）（2021九上·富顺期中）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是
全等的.正常水位时，大孔水面宽度为 ，顶点距水面 ，小孔顶点距水面 .当水位上涨
刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为 .
【答案】10
【解析】【解答】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，M点坐标为(0，6)，A点坐标为
(−10，0)，B点坐标为(10，0)，
设中间大抛物线的函数式为y=−ax2+bx+c，
代入三点的坐标得到 ，
解得 .
∴函数式为y=− x2+6.
∵NC=4.5米，
∴令y=4.5米，
代入解析式得x=5，x=−5，
1 2
∴可得EF=5−(−5)=10米.
故答案为：10.
【思路引导】建立如图所示的平面直角坐标系，求出A、B、M的坐标，利用待定系数法求出此时函数解析
式，根据NC的长度，求出E、F的纵坐标，代入解析式求出横坐标，即可求出结论.
17．（2分）（2021九上·长兴期中）如图①，建筑“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体．如图②，“东方之门”的内侧轮廊是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为
80m，高度分别为300m和225m，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度(AB的长)为
m．
【答案】40
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知点C（−40，0），D（40，0），
设外侧抛物线的解析式为y＝a（x＋40）（x−40），
∵（0，300）在此抛物线上，
300＝a（0＋40）（0−40），解得：a＝ ，
∴外侧抛物线的解析式为y＝ x2＋300，
当y＝225时，
x2＋300＝225，
解之：x＝±20，
∴A（−20，225），B（20，225），
∴AB＝40，
故答案为：40.
【思路引导】建立平面直角坐标系，可得到点C，D的坐标，设外侧抛物线的解析式为y＝a（x＋40）
（x−40），将点（0，300）代入函数解析式，求出a的值，可得到函数解析式；再求出当y=225时x的值，
可得到点A，B的坐标，即可求出AB的值.
18．（2分）（2021九上·南宁月考）在抛物线形拱桥中，以抛物线的对称轴为y轴，顶点为原点建立如
图所示的平面直角坐标系，抛物线解析式为y＝ax2，水面宽AB＝6m，AB与y轴交于点C，OC＝3m，当水面
上升1m时，水面宽为 m.
【答案】
【解析】【解答】解：∵AB=6m，OC=3m，
∴点B坐标为（3，-3），
将B（3，-3）代入y=ax2得：
-3=a×32，∴a=- ，
∴y=- x2.
∴当水面上升1m时，即纵坐标y=-2时，有：
-2=- x2，
∴x2=6，
∴x=- ，x= .
1 2
∴水面宽为： -（- ）=2 （m）.
故答案为：2 .
【思路引导】根据抛物线是轴对称图形可得点B的坐标，把点B的坐标代入y=ax2可求得a的值，从而得出
抛物线的解析式；由题意知，当水面上升1m时，即纵坐标y=-2时可得关于x的方程，解方程求得x的值，
再求两个x的值的差的绝对值即可求解.
19．（2分）（2021九上·杭州月考）如图，图2是图1的拱形大桥的示意图.桥拱与桥面的交点为O，B，
以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y （x
﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面上，AC⊥x轴.若OA＝20米，则桥面离水面的高度AC为
【答案】9m
【解析】【解答】解：∵AC⊥x轴，OA＝20米，
∴点C的横坐标为﹣20，当x＝﹣20时，y （x﹣80）2+16 （﹣20﹣80）2+16=-9，
∴C（﹣20，-9）
∴桥面离水面的高度AC为9m.
故答案：9m.
【思路引导】根据OA的长度得到C点的横坐标，再代入抛物线方程求出这时的函数值，即可解答.
20．（2分）（2020九上·郓城期末）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为8 m，以隧道底
部宽AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为y
＝－ x2＋b，则隧道底部宽AB为 m．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵隧道横截面的最大高度为8米，
∴b=8．
令x=0，
则- x2+8=0，
解得x=±4．
∴A（-4，0），B（4，0），
∴AB=8米．
故答案为：8．
【思路引导】先求出- x2+8=0，再求出x=±4，最后计算求解即可。三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（5分）（2021九上·北京月考）如图是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当
水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？请你以点D为原点、 所在直线为x轴建立平面直角坐标
系，解决这个实际问题．
【答案】解：如图，以D为坐标原点， 所在的直线为x轴建立直角坐标系，
结合题意可得：
且C为抛物线的顶点，
设抛物线为：
所以抛物线的解析式为：
当水面高度下降1米时，即
解得：所以水面宽度为： ，
答：水面下降1米，此时水面宽度为 米.
【思路引导】 以D为坐标原点， 所在的直线为x轴建立直角坐标系， 根据题意求出抛物线的解析
式，然后求出当y=-1，求出x的值即可得出答案。
22．（5分）（2021九上·肇源期中）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已
知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解
析式是 ，求选取点B为坐标原点时的抛物线解析式．
【答案】解：如图：
由题意可得出：y=a（x+6）2+4，
将（-12，0）代入得出，0=a（-12+6）2+4，
解得： ，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是： ．
故答案为： ．
【思路引导】先求出 0=a（-12+6）2+4， 再求出 ， 最后求解即可。
23．（5分）（2021九上·南通月考）为促进经济发展，方便居民出行，某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，隧道最高点P离路面 的距离为6米，宽度 为12米，隧道内设双向行车道，
并且中间有一条宽为1米的隔离带.如果一货运汽车装载某大型设备后高为4米，宽为3.5米，按如图所示
的平面直角坐标系这辆货车能否安全通过？为什么？
【答案】解：根据题意，顶点P的坐标为（6，6），
设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+6，
把点O（0，0）代入得：36a+6=0，
解得：a=− ，
即所求抛物线的解析式为：y=− (x−6)2+6（0≤x≤12）；
当x=6-0.5-3.5=2时，
y=− (2−6)2+6= ＜4，
∴这辆货车不能安全通过.
【思路引导】根据题意得出抛物线的顶点P的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+6，利用待定系数法
求出抛物线的解析式，再求出当x=2时y的值，即可得出答案.
24．（6分）（2021九上·蜀山月考）如图，一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行
抛物线隧道（从正中通过），抛物线满足表达式y＝﹣ x2+4．保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有
0.5米的距离，求货车的限高应是多少．【答案】解：根据题意可得，当x＝1或x＝－1时，货车车顶离隧道顶部最近．
当x＝1时，y＝－ ＋4＝3 ，
∴货车的限高为3 －0.5＝3.25m．
【思路引导】先求出 当x＝1时，y＝－ ＋4＝3 ， 再求解即可。
25．（6分）（2019九上·西岗期末）某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB＝4
米，顶部C离地面高度为4.4米.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度
为2.4米.请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
【答案】解：根据题意知，A（-2，-4.4），B（2，-4.4），设这个函数为y=kx2.
将A的坐标代入，得y=-1.1x2，
∴E、F两点的横坐标就应该是-1.2和1.2，
∴将x=1.2代入函数式，得
y≈-1.6，
∴GH=CH-CG=4.4-1.6=2.8m，
因此这辆汽车正好可以通过大门.
【思路引导】本题只要计算大门顶部宽2.4米的部分离地面是否超过2.8米即可.如果设C点是原点，那么
A的坐标就是（-2，-4.4），B的坐标是（2，-4.4），可设这个函数为y=kx2，那么将A的坐标代入后即可
得出y=-1.1x2，那么大门顶部宽2.4m的部分的两点的横坐标就应该是-1.2和1.2，因此将x=1.2代入函数式中可得y≈-1.6，因此大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是4.4-1.6=2.8m，因此这辆汽车正好可以通过
大门.
26．（10分）（2021九上·海州期末）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度6米，底部宽度
OM为12米，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系.
（1）（5分）求这条抛物线的解析式；
（2）（5分）若要搭建一个由AD﹣DC﹣CB组成的矩形“支撑架”，已知支架的高度为4米，则这个
“支撑架”总长是多少米？
【答案】（1）解：由题意，该抛物线过O（0，0）、M（12，0），
∴该抛物线的对称轴为直线x=6，顶点坐标为P（6，6），
设该抛物线的解析式为y=a(x－6)2+6，
将点O(0，0)代入，得：36a+6=0，解得：a= ，
∴该抛物线的解析式为y= (x－6)2+6= x2+2x；
（2）解：∵AD﹣DC﹣CB组成的是矩形“支撑架”，
∴AD=CB=4，
令y=4，由4= x2+2x得：x2－12x+24=0，
解得： ， ，
∴C( ，4)，D（ ，4），
∴CD= －( )= ，
∴AD+DC+CB=4+4+ =8+ ，∴这个“支撑架”总长是（8+ ）米.
【思路引导】（1）由题意可知该抛物线过O（0，0）、M（12，0），求出中点坐标可得对称轴以及顶点坐
标，设该抛物线的解析式为y=a(x-6)2+6，将O（0，0）代入求出a的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）由题意可得AD=CB=4，令y=4，求出x的值，可得点C、D的坐标，然后求出CD，接下来求出
AD+DC+CB即可.
27．（10分）（2021九上·温岭期中）有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标
系中，抛物线可以用函数y＝ax2+bx来表示，已知OA＝8米，距离O点2米处的棚高BC为 米.
（1）（5分）求该抛物线的解析式；
（2）（5分）若借助横梁DE（DE∥OA）建一个门，要求门的高度为1.5米，求横梁DE的长度是多少米？
【答案】（1）解：由题意可得，抛物线经过（2， ），（8，0），
故 ，
解得： ，
故抛物线解析式为：y＝ x2+ x；
（2）解：由题意可得：当y＝1.5时，1.5＝ x2+ x，
解得：x＝4+2 ，x＝4﹣2 ，
1 2
故DE＝x﹣x＝4+2 ﹣（4﹣2 ）
1 2
＝4 .
【思路引导】（1）由图知，抛物线经过点（2， ），（8，0），用待定系数法可求解；
（2）由题意把y=1.5代入（1）中的解析式可得关于x的方程，解方程求得x的值，然后由线段的构成
DE=x-x 可求解.
1 2
28．（13分）（2020九上·黄岛期末）为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛
物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．
（1）（4分）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）（4分）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间
是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？
（3）（5分）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地
面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值
是多少？请你帮施工队计算一下．
【答案】（1）解：根据题意，顶点P的坐标为 ，设抛物线的解析式为 ，
把点 代入得： ，
解得： ，
即所求抛物线的解析式为： ．
（2）解：根据题意，当 时，
，
这辆货车不能安全通过．
（3）解：设A点的坐标为 ，
则 ， ，
根据抛物线的对称性可得 ，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
三根支杆AB，AD，DC的长度之和：
，
三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值为15m．
【思路引导】（1）根据图像的顶点坐标，先把函数解析式设为顶点式，再把原点坐标带入解析式，求出a即可；
（2）根据隧道是双向车道，把 代入（1）中带入解析式，求出y的值与4进行比较
即可；
（3）设A点的坐标为 ，从而得出OB、AB的长度，再根据二次函数的对称性求出
CM、BC的长度，则AB、AD、DC的长度之和是关于m的二次函数，再根据函数的性质求最值即可。
