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专题 08 二次函数中的定值与定点问题
类型一、定值问题
例1．已知抛物线 与x轴交于 和B两点．
(1)求出该抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）；
(2)若 ，对于该抛物线上的任意两点 ，当 时，总有 ．
①求该抛物线的函数解析式；
②若直线 与抛物线交于P，Q两点（P，Q都不与A，B重合），直线AP，AQ分别与y轴交
于点M，N，设M，N两点的纵坐标分别为m，n，求证：mn为定值．
例2.如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为 ，直线 （ ）分
别交抛物线于点 ， （点 在点 的左边），直线 分别交 轴、 轴于点 ， ，交抛
物线 轴右侧部分于点 ，交 于点 ，且 ．
(1)求抛物线及直线 的函数表达式；
(2)若 为直线 下方抛物线上的一个动点，连接 ， ，求当 面积最大时，点 的坐标及
面积的最大值；(3)求 的值．
【变式训练1】已知抛物线 与x轴的两个交点为A，B（点B在点A的右侧），且 ，
与y轴交点为C．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)若点M是抛物线位于直线 下方的图象上一个动点，求点M到直线 的距离的最大值；
(3)设直线 （ ）与抛物线交于P，Q两点（点Ｑ在点P的右侧），与直线 交于点R．试
证明：无论k取任何正数， 恒成立．
【变式训练2】如图1，抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，
(1)直接写出点B的坐标（_____，_____）和直线BC的解析式_______；
(2)点D是抛物线对称轴上一点，点E为抛物线上一点，若以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，
求点E的横坐标；
(3)如图2，直线 ，直线l交抛物线于点M、N，直线AM交y轴于点P，直线AN交y轴于点Q，点
P、Q的纵坐标为 、 ，求证： 的值为定值．【变式训练3】抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（m，n）．
（1）若抛物线y＝ax2+bx+c过原点，m＝2，n＝﹣4，求其解析式．
（2）如图（1），在（1）的条件下，直线l：y＝﹣x+4与抛物线交于A、B两点（A在B的左侧），MN为
线段AB上的两个点，MN＝2 ，在直线l下方的抛物线上是否存在点P，使得△PMN为等腰直角三角形？
若存在，求出M点横坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点C，与y轴交于点G，P点在点C左侧抛物线上，
Q点在y轴右侧抛物线上，直线CQ交y轴于点F，直线PC交y轴于点H，设直线PQ解析式为y＝kx+t，
当S HCQ＝2S GCQ，试证明 是否为一个定值．
△ △
【变式训练4】如图1，已知：抛物线 过点 ，交 轴于点 ，点 （ 在
左边），交 轴于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 为抛物线上一动点， ，求点 的坐标；
（3）如图2， 交抛物线于 两点（ 不与 重合），直线 分别交
轴于点 ，点 ，试求此时 是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由．【变式训练5】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相
交于点C，B点的坐标为（6，0），点M为抛物线上的一个动点．
（1）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4时：
求二次函数的表达式；
①当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；
②（2）过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试
问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n的值．
类型二、定点问题
例．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与抛物线 相交于 ， 两点（点 在点
的左侧），点 关于 轴的对称点为 ．(1)当 时，求 ， 两点的坐标；
(2)连接 ， ， ， ，若 的面积与 的面积相等，求 的值；
(3)试探究直线 是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【变式训练1】如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B两点，点C（6，4）在抛物线
上．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标；
（3）如图2，直线y＝mx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OM•ON＝3．
求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标．【变式训练2】已知抛物线 经过点 ，与 轴交于 ， 两点．
（1）求抛物线 的解析式；
（2）如图1， 为抛物线 上 ， 之间的动点，过点 作 轴于点 ， 于点 ，求
的最大值；
（3）如图2，平移抛物线 的顶点到原点，得到抛物线 ，直线 交抛物线 于 ， 两点，已
知点 ，连接 ， 分别交抛物线 于另一点 ， ，求证：直线 经过一个定点．
