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专题 07 解直角三角形的三种实际应用
类型一、仰角俯角问题
例1．如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放
置在教学楼A栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为
60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：
3，AB=2 m，AE=8m．
(1)求点B距水平面AE的高度BH．
(2)求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据： ≈1.414 , ≈1.732 ）
【答案】(1)点B距水平面AE的高度BH是2米
(2)广告牌CD的高度约为2.1米
【详解】（1）解：在Rt△ABH中，BH：AH=1:3，
∴设BH=a,则AH=3a，
∵AB=2 ，由勾股定理得BH=2，
答:点B距水平面AE的高度BH是2米；
（2）解：在Rt△ABH中, BH=2，∴AH =6，
在Rt△ADE中, tan∠DAE= .，即DE=tan60 ·AE=8 ，
如图,过点B作BF⊥CE ,垂足为F，BF= AH + AE=6+8 =14，
DF= DE- EF= DE- BH =8 —2，
在Rt△BCF中,∠C=∠CBF=45°，
∴ CF= BF= 14,
∴CD=CF- DF =14—（8 —2）= 14—8 +2≈2.1
答:广告牌CD的高度约为2.1米．
【变式训练1】如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：
（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角 ；
（2）量得测角仪的高度 ；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离 ．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为________．
【答案】
【详解】解：延长 交 于点 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，∴旗杆的高度可表示为： ，
故答案为： ．
【变式训练2】风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优势架设风力发电
机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，
好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在 点测得 点与塔底 点的距离为 ，李华站在
斜坡 的坡顶 处，已知斜坡 的坡度 ，坡面 长 ，李华在坡顶 处测得轮毂 点的仰
角 ，请根据测量结果帮他们计算：
(1)斜坡顶点B到CD所在直线的距离；
(2)风力发电机塔架 的高度． 结果精确到 ，参考数据 ， ， ，，
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】（1）解：如图，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ， ，
则 为坡顶B到 所在直线的距离，
则 ， ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）
由题意得，四边形 是矩形，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
答：塔架高度 约为 ．
【变式训练3】“为梦想战，决战中考”，如图①是寻乌县第三中学的中考倒计时牌，图②为它的侧面图，图③为它的侧面简意图，已知 ， ．
(1)如图③，A处离地面多高？
(2)如图④，芳芳站在倒计时牌前的点H处观察倒计时牌（点D、C、H在同一水平线上），测得芳芳的身
高 为 ，当芳芳的视线恰好落在点B处时（忽略眼睛到头顶的距离）视线俯角为 ，求此时
的距离．（结果精确到 ．参考数据： ， ， ， ，
）
【答案】(1) (2)
【解析】（1）解：连接 ，图 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴在 中，
，
即A处离地面 ；
（2）
解：过点B作 于点E，过点B作 于点F，图②，根据题意有： ，则可得四边形 是矩形，
即有 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
在 中， ，
∴ ．
答： 的长度约为 ．
【变式训练4】如图，花城广场对岸有广州塔AB，小明同学站在花城广场的C处看塔顶点A的仰角为
32°，向塔前进360米到达点D，在D处看塔顶A的仰角为45°．
(1)求广州塔AB的高度（sin32°≈0．530，cos32°≈0．848，tan32°≈0．625）；
(2)一架无人机从广州塔顶点A出发，沿水平方向AF飞行300米到 处，求此时从 处看点D的俯角的正
切值．
【答案】(1)广州塔AB的高度约为600米；
(2)从 处看点D的俯角的正切值为2．
【解析】（1）
解：设广州塔AB的高度为x米，∵∠ADB=45°，∠ABD=90°，
∴∠DAB=45°，
∴∠ADB=∠DAB，
∴BD=AB=x，
∴BC=360+x，
∵∠ACB=32°，
tan∠ACB= ，
∴ ，
解得，x=600（米），
答：广州塔AB的高度约为600米；
（2）
解：过D作DH⊥AF于H，
则四边形ABDH是矩形，
∵∠ADB=45°，
∴BD=AB，
∴四边形ABDH是正方形，
∴AH=HD=AB=600米，∠AHD=90°，
∵ =300，
∴ =AH- =300（米），
∴tan = =2，
答：此时从 处看点D的俯角的正切值为2．
类型二、方位角问题
例1．如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东 方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东 方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据： ，
， ．
(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？
(2)如果渔船在B处改为向东偏南 方向航行，有无触礁危险？
【答案】(1)B处离岛C有10海里；有触礁危险，证明见解析
(2)没有触礁危险，证明见解析
【解析】（1）
过C作 于O，CO为渔船向东航行到C的最短距离，
∵在A处测得岛C在北偏东的 方向，∴ ，
又∵B处测得岛C在北偏东 方向，
∴ ， ，∴ ，
∴ （海里），
∵ ， ，∴ ，
∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险；
（2）
过C作 交BF于D，交BO于E， ，
∴没有触礁危险．
【变式训练1】如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．
有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；
(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．
求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）
【答案】(1)点P到海岸线l的距离为（ -1）km；
(2)点C与点B之间的距离为 km．
【解析】（1）解：如图，过点P作PD⊥AB于点D．
设PD=xkm．
在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°，
∴BD=PD=xkm．
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°，
∴AD= PD= xkm．
∵BD+AD=AB，
∴x+ x=2，
x= -1，
∴点P到海岸线l的距离为（ -1）km；
（2）
解：如图，过点B作BF⊥AC于点F．
根据题意得：∠ABC=105°，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF= AB=1km．
在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°．
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴BC= BF= km，
∴点C与点B之间的距离为 km．
【变式训练2】小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道 进行实地测量．如图所示，
他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东 方向上，他沿西北方向前进 米后到达点D，此
时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西 方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
(1)求点D与点A的距离；
(2)求隧道 的长度．（结果保留根号）
【答案】(1)点D与点A的距离为300米
(2)隧道 的长为 米
【解析】（1）
由题意可知： ，
在 中，
∴ （米）
答：点D与点A的距离为300米．
（2）
过点D作 于点E．∵ 是东西走向
∴
在 中，
∴
在 中，
∴
∴ （米）
答：隧道 的长为 米
【变式训练3】如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单
位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方
向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，
cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）
【答案】货船与A港口之间的距离约为80海里
【详解】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，由题意得：
EF=BC=33.2海里，AG∥DC，
∴∠GAD=∠ADC=53°，
在Rt△ABF中，∠ABF=50°，AB=40海里，
∴AF=AB•sin50°≈40×0.77=30.8（海里），
∴AE=AF+EF=64（海里），
在Rt△ADE中，AD= ≈ =80（海里），
∴货船与A港口之间的距离约为80海里．
【变式训练4】如图，m，n为河流南北两岸的平行道路，北岸道路A，B和南岸道路D点处各有一株古树．
已知B，D两株古树间的距离为200米，为了测量A，B两株古树之间的距离，在南岸道路C点处测得古树
A位于北偏西42°方向，在D处测得古树B位于北偏西30°方向．已知CD=280米，求A，B两株古树之间
的距离．（结果保留整数）
参考数据： ≈1.41， ≈1.73，sin42° ，cos42°≈ ，tan42°≈ ．
【答案】A，B两株古树之间的距离为336米
【详解】解：如图，由题意可知：四边形CDFE是矩形，∴CE=DF，CD=EF，
在Rt BDF中，∠BDF=30°，BD=200米，
△
∴BF= BD=100米，
由勾股定理得：DF= =100 米，
在Rt△ACE中，∠ACE=42°，CE=DF=100 米，
∴AE=tan42°×CE= ×100 ≈155.7（米），
∴AB=AE+BE=AE+CD-BF=155.7+280-100≈336米，
∴A，B两株古树之间的距离为336米．
类型三、坡度比问题
例1．小明和小亮利用数学知识测量学校操场边升旗台上的旗杆高度．如图，旗杆 立在水平的升旗台上，
两人测得旗杆底端 到升旗台边沿 的距离为 ，升旗台的台阶所在的斜坡 长为 ，坡角为 ，小
明又测得旗杆在太阳光下的影子落在水平地面 上的部分 的长为 ，同一时刻，小亮测得长
的标杆直立于水平地面时的影子长为 请你帮小明和小亮求出旗杆 的高度（结果保留整数，参考数
据： ）
【答案】旗杆 的高度约为
【详解】解：延长 交 于 ，过 作 于 ，则四边形 是矩形， ， ， ，
， ，
， ， ，
同一时刻，物高和影长成正比， ， ，
， ，
答：旗杆 的高度约为 ．
【变式训练1】如图，在建筑物DF的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡
AB的坡比为 ，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D
的仰角α为 ，然后小李沿斜坡AC走了 米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看点E
的仰角为 ，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离DE长度为28.8米，求
建筑物DF的高度．（参考数据： ， ， ， ）
【答案】40.8米
【详解】解：如图 于G， 于H，连接 、 ，
∵ 的坡比 ，
设 ， ，∴在 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
设 ，在 中， ，∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
又∵ ，
在 中， ，
， ，∴ ，答：建筑物 的高度为40.8米．
【变式训练2】如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地． ，BE⊥AD，斜坡
AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地
质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少
向右移多少米时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°＝1.2）
【答案】10米【详解】解：如图，设点B沿BC向右移动至点H，使得∠HAD=50°，过点H作HF⊥AD于点F，根据题意
有BE⊥AD，
∵AB=26，斜坡 的坡比为12∶5，
则设BE=12a，AE=5a，
∴ ，解得：a=2，
∴BE=24，AE=10，
∴HF=BE=24，
∵∠HAF=50°，
则 ，解得：AF=20，
∴EF=AF-AE=EF=20-10=10（m），
∵ ，HF⊥AD，BE⊥AD，
∴可得四边形BEFH是矩形，
∴BH=EF=10（m），
故坡顶B沿 至少向右移10 时，才能确保山体不滑坡，
【变式训练3】在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑
物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度
，即 ，请你帮助该小组计算建筑物的高度 ．（结果精确到0.1m，参考数据：
）【答案】该建筑物 的高度约为31.9m
【详解】作 交 于点E，作 交 于点F，作 交 于点H
则 ， ，
∵
∴设 ，则
在 中，
∴
∴
∴ （负值舍去）
∴ ，
∴ ，
设 ，则
在 中，
∵
∴
在 中，∵
∴
即
∵
∴
∴
∴
答：该建筑物 的高度约为31.9m．
