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猜想 07 相似三角形（四种基本模型专练）
题型一：“8”字模型相似三角形
题型二：“A”字模型相似三角形
题型三：一线三等角构造相似模型
题型四：手拉手模型-旋转型相似
题型一：“8”字模型相似三角形
一．选择题（共6小题）
1．（2023春•荣成市期末）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学
大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望
井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若
测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．则井深BG为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据正方形的性质可得∠ABC＝90°，再根据矩形的性质可得BG＝EF，∠BEF＝90°，从而可得
∠ABH＝∠FEH＝90°，然后证明8字模型相似三角形△ABH∽△FEH，从而利用相似三角形的性质进行
计算即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵BE＝2.5，BH＝0.5，
∴HE＝BE﹣BH＝2.5﹣0.5＝2，
∵四边形BEFG是矩形，
∴BG＝EF，∠BEF＝90°，
∴∠ABH＝∠FEH＝90°，
∵∠AHB＝∠EHF，
∴△ABH∽△FEH，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴EF＝4，
∴BG＝EF＝4，故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握 8字模型相似三角形是
解题的关键．
2．（2023春•重庆期末）如图，l ∥l ∥l ，直线a，b相交于点G，与这三条平行线分别相交于点A、B、C
1 2 3
和点D、E、F，下列比例式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质即可判断．
【解答】解：A、由l ∥l 得到 ＝ ，故A正确；
1 2
B由l ∥l 得到 ＝ ，故B正确；
1 3
C、由l ∥l 得到△BGE∽△CGF推出 ＝ ，故C错误；
2 3
D、由l ∥l 得到△AGD∽△BGE，推出 ＝ ，故D正确．
1 2
故选：C．
【点评】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质，平
行线分线段成比例定理．
3．（2022秋•辛集市期末）如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE：AD＝
1：3，连接EF交DC于点G，则S△CFG ：S△DEG 等于（ ）
A．9：4 B．2：3 C．4：9 D．3：2
【分析】利用平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，再根据线段中点的定义可得CF＝ BC＝
AD，然后证明8字模型相似三角形△EDG∽△FCG，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵F为BC的中点，
∴CF＝ BC，
∴CF＝ AD，
∵AE∥CF，∴∠E＝∠GFC，∠EDG＝∠C，
∴△EDG∽△FCG，
∵DE：AD＝1：3，
∴DE＝ AD，
∴S△CFG ：S△DEG ＝（ ）2＝（ ）2＝（ ）2＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握 8字模型相似三角形是解
题的关键．
4．（2022秋•秦都区期末）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，连
接EF，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在EB上M点处，延长BC、EF交于点N，有下列四个结论：
①BF垂直平分EN；②△BEN是等边三角形；③△DEF∽△FEB；④S ＝3S ．其中，正确的结论
BEF DEF
有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由折叠的性质可得DE＝EM，∠DEF＝∠BEF，∠D＝∠FME＝90°，可证BN＝BE，由等腰三角
形的性质可得BF垂直平分EN，故①正确；
若△BEN是等边三角形，由此推出BE＝EF，与题意不符合，所以△BEN不是等边三角形，故②错误；
由两组角对应相等的两个三角形相似，可求△DEF∽△FEB，故③正确；
由“AAS”可证△BFM≌△BFC，可得BE＝3EM，则S△BEF ＝3S△EMF ＝3S△DEF ；故④正确，即可求解．
【解答】解：∵将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在EB上M点处，
∴DE＝EM，∠DEF＝∠BEF，∠D＝∠FME＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠N，
∴∠DEF＝∠N＝∠BEN，
∴BN＝BE，
∵BF平分∠EBN，
∴BF垂直平分EN，故①正确；
若△BEN是等边三角形，
∴BE＝EN＝2EF，∠EBN＝∠N＝30°，
∴∠CFN＝∠DFE＝30°＝∠ABE，
∴EF＝2DE，BE＝2AE，
又∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴BE＝EF，与题意不符合，∴△BEN不是等边三角形，故②错误；
∵BF垂直平分EN，
∴∠BFE＝90°＝∠D，
又∵∠DEF＝∠BEF，
∴△DEF∽△FEB，故③正确；
在△BFM和△BFC中，
，
∴△BFM≌△BFC（AAS），
∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM．
∴BE＝3EM．
∴S△BEF ＝3S△EMF ＝3S△DEF ；故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，折叠的性质，矩形的性质，角平分线的性质以及全等三角形的
判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
5．（2022秋•闵行区期末）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测
量零件的内孔直径AB．如果 ＝ ＝3，且量得CD＝4cm，则零件的厚度x为（ ）
A．2cm B．1.5cm C．0.5cm D．1cm
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的
值．
【解答】解：∵ ＝ ＝3，∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB：CD＝2，
∵CD＝4cm．
∴AB＝8cm．
∵某零件的外径为10cm，
∴零件的厚度x为：（10﹣8）÷2＝1（cm），故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．
6．（2022秋•南华县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD上的点，AE交BD于点F，交BC延
长线于点
G，若DE：CE＝3：1，则AF：FG＝（ ）
A．3：4 B．3：5 C．9：16 D．9：25
【分析】利用平行四边形的性质先说明△ADE∽△GCE，再利用相似三角形的性质用 CG表示出AD、
BG，再通过△ADF∽△BGF可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴AD∥BG．
∴△ADE∽△GCE．
∴ ＝ ＝3．
∴AD＝BC＝3CG．
∴BG＝4CG．
∵AD∥BG，
∴△ADF∽△GBF．
∴ ＝ ＝ ＝ ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质是解决本题的
关键．
二．填空题（共7小题）
7．（2022秋•香坊区期末）如图，AB∥CD，AC与BD相交于点E，AB＝1，CD＝2，△ABE的面积为1，则
△CDE的面积为 4 ．
【分析】根据平行线的性质得∠A＝∠C，∠B＝∠D，则△ABE∽△CDE，根据相似三角形的面积比等于
相似比的平方即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴△ABE∽△CDE，∴ ，即S△CDE ＝4S△ABE ，
∵△ABE的面积为1，
∴S△CDE ＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相
似比的平方是解题关键．
8．（2022秋•如皋市期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法：如图所示，在
井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点
E，若测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，则水面以上深度CD为 3 米 ．
【分析】根据已知可得CE＝1.2米，再根据题意可得：∠BAC＝∠ACD＝90°，然后证明8字模型相似三
角形△AEB∽△CED，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵AC＝1.6米，AE＝0.4米，
∴CE＝AC﹣AE＝1.2（米），
由题意得：∠BAC＝∠ACD＝90°，
∵∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：CD＝3米，
故答案为：3米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，数学常识，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．
9．（2022秋•静安区期末）在矩形ABCD内作正方形AEFD（如图所示），矩形的对角线AC交正方形的边
EF于点P．如果点F恰好是边CD的黄金分割点（DF＞FC），且PE＝2，那么PF＝ ﹣ 1 ．
【分析】先根据黄金分割的定义可得 ＝ ，再利用正方形的性质可得：DF∥AE，DF＝AE，从而可得 ＝ ，然后证明8字模型相似三角形△CFP∽△AEP，从而利用相似三角形的性质进行计算
即可解答．
【解答】解：∵点F恰好是边CD的黄金分割点（DF＞FC），
∴ ＝ ＝ ，
∵四边形AEFD是正方形，
∴DF∥AE，DF＝AE，
∴ ＝ ，
∵DC∥AB，
∴∠FCP＝∠PAE，∠CFP＝∠AEP，
∴△CFP∽△AEP，
∴ ＝ ＝ ，
∵PE＝2，
∴PF＝ ﹣1，
故答案为： ﹣1．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，黄金分割，熟练掌握 8字
模型相似三角形是解题的关键．
10．（2022秋•黄浦区期末）如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为10cm，为求出它的厚度x，现用
一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去测量零件的内孔直径AB．如果 ＝ ＝ ，且量得CD的长是
3cm，那么零件的厚度x是 0. 5 cm．
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的
值．
【解答】解：∵ ＝ ＝ ，∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB：CD＝3，
∵CD＝3cm．
∴AB＝9cm．
∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：（10﹣9）÷2＝0.5（cm），
故答案为：0.5．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．
11．（2022秋•芦淞区期末）如图，直线y＝kx﹣2（k＞0）与双曲线 在第一象限内的交点R，与x轴、y
轴的交点分别为P、Q．过R作RM⊥x轴，M为垂足，若△OPQ与△PRM的面积相等，则k的值等于 2
．
【分析】根据△OPQ与△PRM相似以及它们面积相等，可以得到两三角形全等，再根据一次函数求出点
P、Q的坐标，进而得到OP、OQ的长度，再根据三角形全等表示出点R的坐标，代入反比例函数表达式，
解方程即可求得k的值．
【解答】解：∵y＝kx﹣2，
∴当x＝0时，y＝﹣2，
当y＝0时，kx﹣2＝0，解得x＝ ，
所以点P（ ，0），点Q（0，﹣2），
所以OP＝ ，OQ＝2，
∵RM⊥x轴，
∴△OPQ∽△MPR，
∵△OPQ与△PRM的面积相等，
∴△OPQ与△PRM的相似比为1，即△OPQ≌△MPR，
∴OM＝2OP＝ ，RM＝OQ＝2，
所以点R（ ，2），
∵双曲线 经过点R，
∴ ＝2，即k2＝8，
解得k ＝2 ，k ＝﹣2 （舍去）．
1 2
故答案为：2 ．
【点评】本题综合考查了一次函数和反比例函数图象的性质，利用三角形面积相等得到两三角形全等是
解本题的突破口，也是解题的关键．
12．（2022秋•丹东期末）如图，在正方形ABCD中，E为AD上的点，连接CE．以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交EC，ED于点N，M，再分别以M，N为圆心，以大于 MN长为半径作弧，两弧在
∠CED内交于点P，连接EP并延长交DC于点H，交BC的延长线于点G．若AB＝16，AE：AD＝1：
4，则EH的长为 6 ．
【分析】根据题中作图判断EP是∠DEC的角平分线，利用线段比和勾股定理求出 EC，再利用角平分线
的性质和平行线的性质得到CG，利用相似三角形的判定和性质求出DH，最后利用勾股定理得结论．
【解答】解：∵以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交EC，ED于点N，M，
再分别以M，N为圆心，以大于 MN长为半径作弧，两弧在∠CED内交于点P，连接EP，
∴EP是∠DEC的角平分线，
∴∠DEG＝∠CEG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝AB＝16，∠D＝90°，AD∥BC．
∵AE：AD＝1：4，AE+ED＝16，
∴AE＝4，ED＝12．
在Rt△EDC中，
EC＝ ＝ ＝20．
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠DEG＝∠CEG．
∴EC＝CG＝20．
∵AD∥BC，
∴△EDH∽△GCH．
∴ ＝ ＝ ＝ ．
∵DH+HC＝CD＝16，
∴DH＝6．
在Rt△EDH中，
EH＝ ＝ ＝ ＝6 ．
故答案为：6 ．
【点评】本题主要考查了勾股定理和相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线
的作法、等腰三角形的判定等知识点是解决本题的关键．
13．（2022秋•庐阳区期末）正方形纸片ABCD中，E，F分别是AB、CB上的点，且AE＝CF，CE交AF于
M．若E为AB中点，则 ＝ 2 ；若∠CMF＝60°，则 ＝ 2 ．【分析】（1）连接BD，根据相似三角形计算即可；
（2）把60°的角放到直角三角形中，所以过C作CN⊥AM所在直线，利用角平分线的性质求解即可．
【解答】解：（1）连接BD，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∴∠MEB＝∠MCD，∠MBE＝∠MDC，
∴△MCD∽△MEB，
∴ ，
∵E为AB中点，
∴ ；
（2）过点C作CN⊥AF，交AF的延长线于点N，如图2，
在Rt△CMN中，∠CMF＝60°，
∵sin60°＝ ，cos60°＝ ，
∴ ， ，
即CM＝2MN，
∵AE＝CF，BA＝BC，
∴BA﹣AE＝BC﹣CF，
即BE＝BF，
∴Rt△ABF≌Rt△CBE（SAS），
∴∠FAB＝∠ECB，
∵∠AME＝∠CMF，AE＝CF，
∴△AME≌△CMF（AAS），
∴EM＝FM，
∵∠AFB＝∠CFN，∠B＝∠N＝90°
∴∠FAB＝∠FCN，
∴∠MCF＝∠NCF，
过点F作FG⊥CE于点G，
∴FG＝FN，∠FMG＝∠MCN，
∴cos∠FMG＝cos∠MCN＝ ，
∵ ，∴ ，
∵ ＝ ，
MF＝EM，
∴
＝
＝2+2×
＝2+2×
＝2+ ．
故答案为：2；2+ ．
【点评】本题考查的是正方形的综合题，解题的关键是从题中找到作出正确的辅助线CN．
三．解答题（共11小题）
14．（2022秋•黄埔区期末）如图，已知 AB⊥BC，EC⊥BC，垂足分别为B、C，AE交BC于点D，AB＝
12，BD＝15，DC＝5，求EC的长．
【分析】根据 AB⊥BC，EC⊥BC 可得∠C＝∠B＝90°，由对顶角相等得∠CDE＝∠BDA，则
△DCE∽△DBA，根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠C＝∠B＝90°，
∵∠CDE＝∠BDA，
∴△DCE∽△DBA，
∴ ，
∵AB＝12，BD＝15，DC＝5，
∴ ，
∴EC＝4．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟知两个三角形相似，对应边的比相等是解题关键．
15．（2022秋•市南区期末）将一块长方体蛋糕平均分成3份，若按照如图1方式进行分割，每份的蛋糕胚
一样多，但奶油不一样多（①和③奶油多，②奶油少），那么如何分割，才能使得3份的蛋糕胚和奶油
一样多呢？如图2，首先我们可以将蛋糕抽象成矩形，用加粗线条表示有奶油的边，然后将矩形沿其对角
线分割并拼成如图3的平行四边形ABCD，分别取边AB、CD的三等分点E、F和G、H，如图4，按
EG、FH分割成3份（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ），此种分法能够保证每份的蛋糕坯一样多，奶油是否一样多，我们只
需判断每份中加粗线条的长度和是否相等，请你给出判断并加以证明．
【分析】设BD与FH交于点 M，与 EG交于点 N，过点 N 作NP∥AB交FH于点 P，根据题意可得
AB∥DC，BF＝CH＝EF＝GH＝AE＝DG，则Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ区域均为平行四边形，易通过 AAS 证明
△FBM≌△PNM，△PNM≌△GDN，得到BM＝NM＝DN，以此即可证明．
【解答】此种分法能够保证奶油一样多．
证明：设BD与FH交于点M，与EG交于点N，过点N作NP∥AB交FH于点P，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，E、F为AB边的三等分点，G、H为CD边三等分点，
∴AB∥DC，BF＝CH＝EF＝GH＝AE＝DG，
∴四边形FBCH、EFGH、AEGD均为平行四边形，
∵NP∥EF，EN∥FP，
∴四边形EFPN为平行四边形，∠FBM＝∠PNM，
∴NP＝EF＝BF＝DG，
在△FBM和△PNM，
，
∴△FBM≌△PNM（AAS），
∴BM＝NM，
同理可证明△PNM≌△GDN，
则NM＝DN，
∴BM＝NM＝DN，
∴AE+DG+DN＝EF+GH+NM＝BF+CH+BM，
即此种分法能够保证奶油一样多．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，理清题意，正确作出辅助线，熟
练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
16．（2022秋•杭州期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E，F分别在线段
BD，AC上，连结AD，EF交于点G，∠CEF＝2∠CAD．
（1）求证：△ABC∽△EFC．
（2）若BE＝2DE， ＝ ，求 的值．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，∠CAB＝2∠CAD，根据题意不难证明△ABC∽△EFC；
（2）过点F作FH∥BC，交AD于点H，）根据等腰三角形的性质可得BD＝CD，则DE＝ ，易证明
△AHF∽△ADC，则 ，易证明△HFG∽△DEG，则 ，将DE＝ ， 代入即
可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵点D是BC的中点，
∴∠CAB＝2∠CAD，
∵∠CEF＝2∠CAD，
∴∠CEF＝∠CAB，
在△ABC和△EFC中，
，
∴△ABC∽△EFC；
（2）过点F作FH∥BC，交AD于点H，
∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵BE＝2DE，
∴ ，即DE＝ ，
∵HF∥BC，
∴△AHF∽△ADC，
∴ ，
∵ ＝ ，
∴ ，
∴ ，
∵HF∥BC，
∴△HFG∽△DEG，
∴ ，由上述知，DE＝ ， ，
∴ ＝ ．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，根据相似三角
形的对应边成比例答题时解题关键．
17．（2022秋•金山区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分
别相交于点F、G，AF2＝FG•FE．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．
【分析】（1）通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG＝∠E，由平行线的性质可得∠E＝∠EBC＝
∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，可证△CAD∽△CBG；
（2）由相似三角形的性质可得 ＝ ，且∠DCG＝∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得 ＝ ，
由平行线分线段成比例可得 ＝ ，可得结论．
【解答】证明：（1）∵AF2＝FG⋅FE．
∴ ＝ ，
∵∠AFG＝∠EFA，
∴△FAG∽△FEA，
∴∠FAG＝∠E，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠FAG，
∵∠ACD＝∠BCG，
∴△CAD∽△CBG；
（2）∵△CAD∽△CBG，
∴ ＝ ，
∵∠DCG＝∠ACB，
∴△CDG∽△CAB，
∴ ＝ ，
∵AE∥BC，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DG•AE＝AB•AG．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考
常考题型．
18．（2022秋•文山市期末）如图，在四边形 ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，DB平分∠ADC，且
AB2＝BE•BD．求证：△ABE∽△DCE．
【分析】根据相似三角形的判定可得△ ABE∽△DBA；所以∠BAC＝∠BDC，由此可得出
△ABE∽△DCE．
【解答】证明：∵AB2＝BE•BD，
∴AB：BE＝BD：AB，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC＝∠BAC，
∴△ABE∽△DCE．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，涉及A字型相似，8字型相似等相关内容，熟练掌握相关判定
是解题关键．
19．（2022秋•阳谷县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，DB平分∠ADC，且
AB2＝BE•BD．
（1）求证：△ABE∽△DCE；
（2）AE•CD＝BC•ED．【分析】（1）根据相似三角形的判定可得△ABE∽△DBA；所以∠BAC＝∠BDC，由此可得出
△ABE∽△DCE；
（2）由（1）中的相似可得出 AE：DE＝BE：CE，再由∠BEC＝∠AED可得△ADE∽△BCE，所以
∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE，可得△BCD∽△ADE，进而可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB2＝BE•BD，
∴AB：BE＝BD：AB，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC＝∠BAC，
∴△ABE∽△DCE；
（2）由（1）中相似可得，AE：DE＝BE：CE，
∵∠BEC＝∠AED，
∴△ADE∽△BCE，
∴∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE，
∴△BCD∽△AED，
∴BC：AE＝CD：ED，
AE•CD＝BC•ED．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与安定，涉及A字型相似，8字型相似等相关内容，熟练掌握相
关判定是解题关键．
20．（2022秋•吉州区期末）如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，若PB＝3，PC＝1，
PD＝2，求PA的长度．
【分析】根据8字型模型证明两个三角形相似即可解答．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠APD＝∠BPC，
∴△DAP∽△CBP，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
∴AP＝6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握8字型模型相似三角形是解题的关键．
21．（2022秋•平谷区期末）如图，已知锐角∠ABC，以AB为直径画 O，交BC边于点M，BD平分∠ABC
与 O交于点D，过点D作DE⊥BC于点E．
⊙
（1）求证：DE是 O的切线；
⊙
（2）连接OE交BD于点F，若∠ABC＝60°，AB＝4，求DF长．
⊙
【分析】（1）连接 OD，根据 OD＝OB 得到∠ODB＝∠OBD，再根据角平分线的性质得∠OBD＝
∠DBE，以此得到OD∥BE，从而即可证明；
（2）连接AD，OD，可得∠ADB＝90°，根据∠ABC＝60°得到AD＝2，再根据勾股定理即可以此求出BD
＝ ，BE＝3，由（1）知，OD∥BE，则△DFO∽△BFE，根据相似三角形的性质得到 ，
即 ，最后由 即可求出DF的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠DBE，
∴∠ODB＝∠DBE，
∴OD∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝∠EDO＝90°，
∵OD为半径，
∴DE是 O的切线；
（2）解：如图，连接AD，OD，
⊙∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝60°，AB＝4，
∴∠ABD＝∠DBE＝30°，OD＝OB＝2，
∴AD＝2，
在Rt△ADB中， ＝ ，
∴DE＝ ，
在Rt△DEB中， ＝3，
∵OD∥BE，
∴△DFO∽△BFE，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴DF+ ，
解得：DF＝ ．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，角平分线
的性质，解含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识是解题关键．
22．（2022秋•辛集市期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上．
（1）在图①中， 的值为 1 ： 3 ；
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3；
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
【分析】（1）如图①中，利用平行线的性质求解即可．
（2）①根据勾股定理得AB的长为5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．
【解答】解：（1）如图①中，
∵AB∥CD，
∴△PCD∽△PBA．
∴ ＝ ＝ ，
故答案为：1：3；
（2）
①取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求的点．
由勾股定理知：AB＝ ＝5．
∵AP＝3，
∴BP＝2．
∵BE∥FA，
∴△EPB∽△FPA．
∵AP：BP＝AF：BE＝3：2．
∴取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求的点；
②如图③所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
点P即为所要找的点，
∵AB∥CD，
∴△APB∽△CPD．
【点评】本题属于相似综合题，主要考查作图﹣应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（2022秋•双流区期末）小明为了测量出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪
AB从观测出发点A观测深坑底部P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E，在深坑右侧用观测仪CD从测出
发点C观测深坑底部P，且观测视线恰好经过深坑边缘点 F，点B，E，F，D在同一水平线上．已知
AB⊥EF，CD⊥EF，观测仪AB高2m，观测仪CD高1m，BE＝1.6m，FD＝0.8m，深坑宽度EF＝8.8m，请根据以上数据计算深坑深度多少米？
【分析】过点P作PH垂直EF，垂足为H，然后根据已知证明△ABM∽△PHM，△CDN∽△PHN，得出
HP＝ ＝ ，设MH＝x m，则NH＝（8.8﹣x）m，解得MH＝4.4，再求HP即可．
【解答】解：过点P作PH垂直EF，垂足为H，如图：
∵AB⊥EF，PH⊥EF，CD⊥EF，
∴AB∥HP，CD∥HP，
∴△ABM∽△PHM，△CDN∽△PHN，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴HP＝ ，HP＝ ，
∴ ＝ ，
∵AB＝2m，BM＝1.6m，CD＝1m，DN＝0.8m，MN＝8.8m，
设MH＝x m，则NH＝（8.8﹣x）m，
∴ ＝ ，
∴x＝4.4，
∴HP＝ ＝ ＝5.5（m），
∴深坑深度5.5米．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解
决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实
际问题转化为数学问题．
24．（2022秋•南开区校级期末）如图，在 ABCD中，G是CD延长线上一点，连接BG交AC，AD于E，
F．
▱
（1）求证：△ABE∽△CGE；
（2）若AF＝2FD，求 的值．【分析】（1）根据平行四边形对边平行，得到∠ABE＝∠CGE，再利用对顶角相等，可得
△ABE∽△CGE；
（2）利用平行四边形对边平行，证明△AEF∽△CEB，得到 ，再由（1）得， ，从而
求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CGE，
又∵∠AEB＝∠CGE，
∴△ABE∽△CGE．
（2）解：设FD＝m，则AF＝2m，
