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专题 22.3 二次函数的实际应用-几何问题
（专项训练）
1．（2021秋•老河口市期末）小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一
边靠墙（墙长24m），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为 20元/m，
垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为xm．
（1）设垂直于墙的一边长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）设菜园的面积为Sm2，求S与x的函数关系式，并求出当S＝546时x的值；
（3）小明计算出菜园的最大面积是600m2，小明计算的对吗？请说明理由．
2．（2021秋•海珠区校级期末）脱贫攻坚取得重大胜利，是中国在 2020年取得的最重要
成就之一．家庭养猪是农村精准扶贫的重要措施之一．如图所示，修建一个矩形猪舍，猪
舍一面靠墙，墙长13m，另外三面用27m长的建筑材料围成，其中一边开有一扇1m宽的
门（不包括建筑材料）．
（1）所围矩形猪舍的AB边为多少时，猪舍面积为90m2？
（2）所围矩形猪舍的AB边为多少时（AB为整数），猪舍面积最大，最大面积是多
少？
3．（2022•巴中模拟）为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩
形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长9m．
（1）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为42m2？
（2）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？
4．（2022•江阴市校级一模）为响应江阴市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化
环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过
18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xcm，
面积为ym2如图所示）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和
每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可
以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．
甲 乙 丙
单价（元/棵） 14 16 28
合理用地（m2/棵） 0.4 1 0.4
5．（2021秋•洛阳期末）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠
墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，
分成两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长22米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．
（1）苗圃ABCD的另一边BC长为 米（用含x的代数式表示）；
（2）若苗圃ABCD的面积为45m，求x的值；
（3）当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？
6．（2021秋•建湖县期末）为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程—开
心农场．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线 ABC 表示墙面，已知
AB⊥BC，AB＝3米，BC＝1米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场
DBEF（细线表示篱笆，小型农场中间GH也是用篱笆隔开），点D可能在线段AB上（如
图1），也可能在线段BA的延长线上（如图2），点E在线段BC的延长线上．
（1）当点D在线段AB上时，①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；
②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12平方米，求DF的长；
（2）DF的长为多少米时，小型农场DBEF的面积最大？最大面积为多少平方米？
专题 22.3 二次函数的实际应用-几何问题
（专项训练）
1．（2021秋•老河口市期末）小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一
边靠墙（墙长24m），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为 20元/m，
垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为xm．
（1）设垂直于墙的一边长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）设菜园的面积为Sm2，求S与x的函数关系式，并求出当S＝546时x的值；（3）小明计算出菜园的最大面积是600m2，小明计算的对吗？请说明理由．
【答案】（1） （2） （3）小明计算的不对
【解答】解：（1）根据题意知，y＝ ＝﹣ x+40，
故y与x之间的函数关系式为 ；
（2）根据题意得，S＝ ＝ ，
当S＝576时， ＝546，
解这个方程，得x ＝21，x ＝39，
1 2
∵x≤24，
∴当S＝546时，x＝21；
（3）小明计算的不对，
理由：∵S＝ ＝ ，
∵ ，
∴当x≤24时，S随x的增大而增大．
∴当x＝24时，S最大，此时S＝576＜600．
∴小明计算的不对．
2．（2021秋•海珠区校级期末）脱贫攻坚取得重大胜利，是中国在 2020年取得的最重要
成就之一．家庭养猪是农村精准扶贫的重要措施之一．如图所示，修建一个矩形猪舍，
猪舍一面靠墙，墙长13m，另外三面用27m长的建筑材料围成，其中一边开有一扇 1m
宽的门（不包括建筑材料）．
（1）所围矩形猪舍的AB边为多少时，猪舍面积为90m2？
（2）所围矩形猪舍的AB边为多少时（AB为整数），猪舍面积最大，最大面积是多
少？【答案】（1）AB边为5m时，猪舍面积为90m2；
（2） AB边为8m时，猪舍面积最大，最大面积是96m2．
【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝27+1﹣2x＝（28﹣2x）m，
由题意得：x（28﹣2x）＝90，
整理得：x2﹣14x+45＝0，
解得：x ＝5，x ＝9，
1 2
当x＝5时，28﹣2x＝28﹣10＝18＞13，不合题意舍去，
当x＝9时，28﹣2x＝28﹣18＝10＜13，符合题意，
∴AB＝9m，
∴所围矩形猪舍的AB边为5m时，猪舍面积为90m2；
（2）设AB＝xm，则BC＝（28﹣2x）m，猪舍面积为Sm2，由题意得：
S＝x（28﹣2x）＝﹣2x2+28x＝﹣2（x﹣7）2+98，
∵﹣2＜0，
∴当x＝7时，S有最大值，最大值为98，
此时28﹣2x＝28﹣14＝14＞13，不和题意，
∴当X＝8时，28﹣2x＝28﹣16＝12＜13，
此时，S＝﹣2（8﹣7）2+98＝﹣2+98＝96（m2），
∴所围矩形猪舍的AB边为8m时，猪舍面积最大，最大面积是96m2．
3．（2022•巴中模拟）为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改
造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩
形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长9m．
（1）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为42m2？
（2）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？
【答案】（1）当AB长为7m时，绿化带ABCD的面积为42m2
（2）当AB长为6m时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是54 m2【解答】解：（1）设AB长为xm时，绿化带ABCD的面积为42m2，
x（27﹣3x）＝42，
解得x ＝2，x ＝7，
1 2
当x＝2时，27﹣3x＝21＞9，不合题意，舍去；
当x＝7时，27﹣3x＝6，符合题意；
答：当AB长为7m时，绿化带ABCD的面积为42m2；
（2）设绿化带ABCD的面积为Sm2，AB长为am，
S＝a（27﹣3a）＝﹣3a2+27a＝﹣3（a﹣ ）2+ ，
∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝ ，
∵ ，
解得6≤a＜9，
∴当a＝6时，S取得最大值，此时S＝54，
答：当AB长为6m时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是54 m2．
4．（2022•江阴市校级一模）为响应江阴市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化
环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过
18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xcm，
面积为ym2如图所示）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和
每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可
以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．
甲 乙 丙
单价（元/棵） 14 16 28
合理用地（m2/棵） 0.4 1 0.4【答案】（1）y＝﹣2x2+36x（9≤x＜18） （2）丙种植物最多可以购买214棵
【解答】解：（1）∵AB＝x，
∴BC＝36﹣2x，
∴y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x，
∵0＜36﹣2x≤18，
∴9≤x＜18．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+36x（9≤x＜18）；
（2）∵y＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，
∴x＝9时，y有最大值162（m2），
设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，
由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b＝8600，
∴a+7b＝1500，
∴b的最大值为214，此时a＝2．
需要种植的面积＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2（m2）＜162m2，
∴丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．
5．（2021秋•洛阳期末）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠
墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，
分成两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏
总长22米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．
（1）苗圃ABCD的另一边BC长为 米（用含x的代数式表示）；
（2）若苗圃ABCD的面积为45m，求x的值；
（3）当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？
【答案】（1）24﹣3x （2）当x为4米时，苗圃ABCD的最大面积为48平方米
【解答】解：（1）∵木栏总长22米，两处各留1米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD
长为x米，
∴BC长为22﹣3x+2＝24﹣3x，
故答案为：24﹣3x；（2）根据题意得：x•（24﹣3x）＝45，
解得x＝3或x＝5，
∵x＝3时，24﹣3x＝15＞14，
∴x＝3舍去，
∴x的值为5；
（3）设苗圃ABCD的面积为w，
则w＝x•（24﹣3x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵﹣3＜0，
∴x＝4时，w最大为48，
答：当x为4米时，苗圃ABCD的最大面积为48平方米．
6．（2021秋•建湖县期末）为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程—开
心农场．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线 ABC表示墙面，已知
AB⊥BC，AB＝3米，BC＝1米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场
DBEF（细线表示篱笆，小型农场中间GH也是用篱笆隔开），点D可能在线段AB上
（如图1），也可能在线段BA的延长线上（如图2），点E在线段BC的延长线上．
（1）当点D在线段AB上时，
①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；
②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12平方米，求DF的长；
（2）DF的长为多少米时，小型农场DBEF的面积最大？最大面积为多少平方米？
【答案】（1）EF＝（15﹣3x）；DF为4米 （2）DF为3米时，小型农场DBEF的面
积最大，最大面积为 平方米
【解答】解：（1）①设DF的长为x米，∵点D在线段AB上，
∴EF＝14﹣2x﹣（x﹣1）＝（15﹣3x）米，
∵AB＝3，
∴EF≤3，即15﹣3x≤3，
∴x≥4；
②设DF的长为x米，根据题意得：
x（15﹣3x）＝12，
解得：x ＝4，x ＝1（此时点D不在线段AB上，舍去），
1 2
∴x＝4，
答：小型农场的长DF为4米；
（2）设小型农场DBEF的面积为S，DF的长为x米，
①点D在线段AB上，由（1）知此时x≥4，
则S＝x（15﹣3x）＝﹣3x2+15x＝﹣3（x﹣ ）2+ ，
∵a＝﹣3＜0，抛物线对称轴是直线x＝ ，
∴在对称轴右侧，S随x的增大而减小，
∴x＝4时，S有最大值，S最大值 ＝﹣3×42+15×4＝12（平方米）；
②点D在线段BA的延长线上，此时x＜4，
则S＝ （15﹣3x+3）x＝﹣ x2+9x＝﹣ （x﹣3）2+ ，
∵a＝﹣ ＜0，3＜4，
∴x＝3时，S有最大值，S最大值 ＝ ，
∴x＝3时，S最大值 ＝ （平方米）；
∵ ＞12，
∴小型农场的宽DF为3米时，小型农场DBEF的面积最大，最大面积为 平方米．
