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2022-2023 学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 07 二次函数的实际应用—几何问题
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021九上·涟水月考）如图，在 中， ， ， ，动点
从点 开始沿边 向 以 的速度移动（不与点 重合），动点 从点 开始沿边 向
以 的速度移动（不与点 重合）.如果 、 分别从 、 同时出发，那么经过（ ）秒，四
边形 的面积最小.
A．0.5 B．1.5 C．3 D．4
【答案】B
【完整解答】解：设移动时间为x秒，四边形APQC的面积为 ，
由题意得： ， ，
，
，
，
，整理得： ，
由二次函数的性质可知，当 时， 取得最小值，
即经过 秒，四边形APQC的面积最小，
故答案为：B.
【思路引导】设移动时间为 秒，四边形APQC的面积为 ，再求出BQ和把AP表示出来，根据
列出函数式，再根据二次函数的性质求最小值即可.
2．（2分）（2021九上·交城期中）如图，四边形ABCD中，AB=AD，CE⊥BD，CE= BD．若△ABD
的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm2）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【完整解答】解： AB=AD，△ABD的周长为20cm，设故答案为：C
【思路引导】用含x的表示方法表示出 再利用三角形的面积公
式列出方程 即可。
3．（2分）（2021九上·平邑期中）如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、
E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，能反映y与x之间函
数关系的大致图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【完整解答】∵正六边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，
∴y= =2πx2（0＜x≤5）．
当x=5时，y=2π×25=50π．
故答案为：A．【思路引导】根据正六边形的性质可得：阴影部分的面积为两个半径为x的圆的面积，再利用圆的面积公
式可得y= =2πx2（0＜x≤5），再根据解析式即可得到函数图象。
4．（2分）（2021九上·宁波期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边
足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m.若在P处有
一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则
花园面积S的最大值为（ ）
A．193 B．194 C．195 D．196
【答案】C
【完整解答】解：∵AB＝m米，
∴BC＝（28﹣m）米.
则S＝AB•BC＝m（28﹣m）＝﹣m2+28m.
即S＝﹣m2+28m（0＜m＜28）.
由题意可知， ，
解得6≤m≤13.
∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，
∴当m＝13时，S ＝195，
最大值
即花园面积的最大值为195m2.
故答案为：C.
【思路引导】根据矩形的面积S＝AB•BC可得S与m之间的函数关系式，由矩形的性质可得m的范围，再
根据二次函数的性质可求解.5．（2分）（2021九上·合肥月考）如图，坐标系的原点为O，点P是第一象限内抛物线y＝ x2﹣1上
的任意一点，PA⊥x轴于点A．则OP﹣PA值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【完整解答】解：设P点坐标为（a， a2﹣1），则OA＝a，PA＝ a2﹣1，
∴ ，
∴OP﹣PA＝ a2+1﹣（ a2﹣1）＝2．
故答案为：B．
【思路引导】设P点坐标为（a， a2﹣1），则OA＝a，PA＝ a2﹣1，再利用两点之间的距离公式
可得 ，最后利用线段的和差计算即可。
6．（2分）（2020九上·禹州期中）如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，
构件需要每隔 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部 ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：如图，由题意得 ， .
设抛物线的解析式为 ，
代入得 ， ，
∴抛物线的解析式为 .
当 时， ，
当 时， .
∴ ，
故答案为：B.
【思路引导】由题意得B（0，0.5），C（1，0），设抛物线的解析式为y=ax2+c，将点B、C坐标代入可
得a、c，进而得到抛物线的解析式，求出x=0.2、x=0.6时对应的y值，据此不难得到总长度.
7．（2分）（2020九上·硚口月考）如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停
止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大
致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【完整解答】解：C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为 ,面积为
y=x· · = ,
B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为 ,面积为
y=(4－x)· · = ,
两个三角形重合时面积正好为 .
由二次函数图象的性质可判断答案为A,故答案为：A.
【思路引导】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为 ,由此得出
面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得
8．（2分）（2020九上·余姚月考）如图，正三角形ABC的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm
的速度,沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设运动时间为x(秒),y=PC2，则y关于x的函数的图象
大致是（ )
A． B．
C． D．
【答案】C
【完整解答】解：①当0≤x≤3时，过C作CH⊥AB，
∵△ABC为正三角形，∴AH= AB= ，CH=AC×sinA=3× = ，
∵AP=x，
∴PH= ，
∴
即y=x2-3x+9，
∴该函数是图象张口向上的抛物线；
②当3＜x≤6，即P在BC上时，
PC=6-x，
PC2=（6-x）2=（x-6）2,
∴该函数是y=（x-6）2（3＜x≤6）的抛物线.
综上，C符合题意.
故答案为：C.
【思路引导】分两种情况讨论，①当0≤x≤3时，过C作CH⊥AB，利用勾股定理求出PC2的表达式；②当
3＜x≤6，即P在BC上时，可得PC=6-x，则PC2的表达式可知，结合两种情况，得出y关于x的函数的图
象大致两种情况下抛物线的一部分组合而成.
9．（2分）（2021九上·霍林郭勒月考）如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则
四边形ABCD的面积最大值是（ ）．
A．12 B．18 C．20 D．24
【答案】B
【完整解答】解：设AC=x，BC=12-x，则四边形ABCD的面积的面积为：
．
所以，当x=6时，四边形ABCD的面积最大，为18．
故答案为：B．
【思路引导】设AC=x，BC=12-x，利用对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半列出二次函
数解析式求解即可。
10．（2分）（2020九上·射阳月考）如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD边AB，BC，CD，DA上
的点，且AE＝BF＝CG＝DH.设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象
可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【完整解答】解：设正方形的边长为m，则 ，
，
，
，
，，
，
，
，
，
∴该函数的顶点坐标为 ,
又m＞0，∴该顶点在第一象限，
∵二次项的系数为2大于0，∴图象的开口向上，
与x的函数图象是A.
故答案为：A.
【思路引导】本题需先设正方形的边长为m，然后得出y与x、m是二次函数关系，进而根据二次函数的
图象与系数的关系得出函数的图象.
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021九上·运城期末）如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用
米的长篱笆围成，则矩形 面积的最大值是 平方米．
【答案】
【完整解答】解：设与墙垂直的矩形的边长为xm，
则这个花园的面积是：S=x（16-2x）=-2x2+16x=-2（x-4）2+32，
∴当x=4时，S取得最大值，此时S=32，
即，与墙垂直的矩形的边长为4m时，矩形ABCD面积的最大值是32平方米．
故答案为：32．【思路引导】设与墙垂直的矩形的边长为xm，根据题意列出函数解析式S=x（16-2x）=-2x2+16x=-2
（x-4）2+32，再利用函数的性质求解即可。
12．（2分）（2021九上·朝阳期中）退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙
外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相
邻的一边长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】
【完整解答】解：根据题意得，矩形的宽为x米，则长为： 米，且
花圃面积为y= ，
故答案为： ．
【思路引导】根据题意得，矩形的宽为x米，则长为： 米，且 ，
利用矩形的面积计算公式，即可得出y与x间的函数关系式，再结合院墙长15米及平行于墙的一边长非负，
即可得出x的取值范围。
13．（2分）（2021九上·陵城期中）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x
轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．【答案】
【完整解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴当y＝0时，x2﹣2x﹣3=0即（x+1）（x-3）＝0，
解得 x＝-1或x＝3
故设P（x，y），
设P（x，x2﹣2x-3）（0
