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专题 06 二次函数中的面积问题
类型一、面积最值问题
例1．已知抛物线 与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为D，且过C（－4，m）．
(1)求点A，B，C，D的坐标；
(2)点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值，
②连接BD，当∠PCB＝∠CBD时，求点P的坐标．
【答案】(1)A（-5，0），B（-1，0）；C（-4，-3）；D（-3，-4）
(2)① ；②（0，5）或（ ， ）
【解析】(1)解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线顶点D的坐标为（-3，-4）；
令y=0，则 ，解得 或 ，
∵抛物线 与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），
∴点A的坐标为（-5，0），点B的坐标为（-1，0）；
令 ，则 ，
∴点C的坐标为（-4，-3）；
(2)解：①设直线BC的解析式为 ，∴ ，∴ ，
∴直线BC的解析式为 ，
过点P作PE⊥x轴于E交BC于F，
∵点P的横坐标为t，
∴点P的坐标为（t， ），点F的坐标为（t，t+1），
∴ ，
∴，
∴当 时，△PBC的面积最大，最大为 ；
②如图1所示，当点P在直线BC上方时，∵∠PCB=∠CBD，∴ ，
设直线BD的解析式为 ，∴ ，∴ ，∴直线BD的解析式为 ，
∴可设直线PC的解析式为 ，∴ ，∴ ，∴直线PC的解析式为 ，
联立 得 ，解得 或 （舍去），∴ ，∴点P的坐标为（0，5）；
例2．如图，直线 与抛物线 相交于点 和点 ，抛物线与
轴的交点分别为 、 （点 在点 的左侧），点 在线段 上运动（不与点A、 重合），过点 作直
线 轴于点 ，交抛物线于点 ．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，连接 ，是否存在点 ，使 是直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请
说明理由；
(3)如图2，过点 作 于点 ，当 的周长最大时，求点 坐标，并求出此时 的面积．
【答案】(1) ；(2)存在 或 ；(3) ；
【解析】(1)解：将 代入 中 ∴
将 、 代入 中 解得： ∴
(2)设 ，则 、
令y=0代入 中得，x=-2
∴ 与x轴的交点坐标为：
∴ ，∴
如图：当 时，
则 ，解得： （舍去），∴
当 时，
，解得： （舍去）， ，综上， 或
(3)由（2）知
∴ 的周长
当 时， 最大，
∴如图2所示，当点P在直线BC下方时，设BD与PC交于点M，
∵点C坐标为（-4，-3），点B坐标为（-1，0），点D坐标为（-3，-4），
∴ , ， ，
∴ ，∴∠BCD=90°，∴∠BCM+∠DCM=90°，∠CBD+∠CDB=90°，
∵∠CBD=∠PCB，
∴MC=MB，∠MCD=∠MDC，∴MC=MD，
∴MD=MB，∴M为BD的中点，∴点M的坐标为（-2，-2），
设直线CP的解析式为 ，
∴ ，∴ ，∴直线CP的解析式为 ，
联立 得 ，解得 或 （舍去），∴ ，∴点P的坐标为（ ， ）；
综上所述，当∠PCB＝∠CBD时，点P的坐标为（0，5）或（ ， ）；
【变式训练1】如图，抛物线与x轴交于点 、 两点，与y轴交于点 ；
(1)求出此抛物线的解析式；
(2)如图1，在直线AC上方的抛物线上有一点M，求 的最大值；
(3)如图2，将线段OA绕x轴上的动点 顺时针旋转90°得到线段 ，若线段 与抛物线只有一个
公共点，请结合函数图象，求m的取值范围；
【答案】(1) ；(2) ；(3) 或
【解析】(1)由题意，设抛物线的解析式为 ，
把 代入解析式解得： ， 所以 ， 抛物线的解析式为 ；
(2)如图1，过点 作 轴，交 于点 ，设直线 的解析式为 ，把 ， 代入可
得： ，解得： ， 直线 的解析式为 ，设 点坐标为 ，则 点坐标为 ，
又 点 在直线 上方， ，
，
， ， 当 时， 有最大值为2；
(3)如图2，线段 绕 轴上的动点 顺时针旋转 得到线段 ，
由旋转性质可得： ， ， ， ，
当 在抛物线上时， ，解得： ，
当点 在抛物线上时， ，解得： 或2，
或 时，线段 与抛物线只有一个公共点；
【变式训练2】在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴的交点为 ，
两点，与y轴交于点 ，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．
(1)求二次函数的解析式；(2)点P为第三象限内抛物线上一点， 的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标．
【答案】(1) ；(2)S的最大值是 ，点P的坐标是
【解析】(1)解：∵二次函数过 ， 两点，∴设二次函数解析式为 ，
∵二次函数过C点 ，
∴ ，解得a＝1，∴ 即二次函数解析式为 ；
(2)解：设直线 解析式为：y＝kx＋b，
∵ ， ，∴ ，解得 ，∴直线 的解析式为y＝﹣x－3，
过点P作x轴的垂线交 于点G，设点P的坐标为 ，则 ，
∵点P在第三象限，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
此时 ，
∴点 .
即S的最大值是 ，此时点P的坐标是 .类型二、面积定值问题
例1.已知抛物线 与x轴交于点A和点 ，与y轴交于点 ，P是线段BC上一点，
过点P作 轴交x轴于点N，交抛物线于点M．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如果点P的横坐标为2，点Q是第一象限抛物线上的一点，且 和 的面积相等，求点Q的
坐标．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)（1+ ，1）
【解析】(1)解：（1）将B（3，0）、C（0，3）代入y=-x2+bx+c，
得： ，解得： ．∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3．
(2)依照题意画出图形，如图所示．
设直线BC的表达式为y=kx+b（k≠0），将点C（0，3）、B（3，0）代入y=kx+b， 得： ，解得： ，
∴直线BC的表达式为y=-x+3，∴P（2，1），M（2，3），∴S PCM= CM•PM=2．
△
设△QCM的边CM上的高为h，则S QCM= ×2×h=2，∴h=2，
△
∴Q点的纵坐标为1，∴-x2+2x+3=1，解得：x=1+ ，x=1- （舍去），∴点Q的坐标为（1+ ，1）．
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【变式训练1】如图，等腰直角三角形 的直角顶点 在坐标原点，直角边 ， 分别在 轴和 轴
上，点 的坐标为 ，且 平行于 轴．
(1)求直线 的解析式；
(2)求过 ， 两点的抛物线 的解析式；
(3)抛物线 与 轴的另一个交点为 ，试判定 与 的大小关系；
(4)若点 是抛物线上的动点，当 的面积与 的面积相等时，求点 的坐标．
【答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4)( ， )或( ， )或( ， )
【解析】(1)解：∵点 的坐标为 ，且 平行于 轴，∴点 的坐标为 且 ，
∵ 是等腰直角三角形， ，∴ ，
∴点 的坐标为 ，设直线 的解析式为 ，由题意得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
(2)解：∵抛物线 过 ， 两点，
∴ ，解得 ，∴抛物线的解析式为 ；
(3)解：抛物线的解析式为 ，∴抛物线的对称轴直线为 ，
∵点 的坐标为 ，点 与点D关于对称轴对称，∴点D的坐标为 ，∴ ，
∵点 的坐标为 ，∴ ，∴
(4)解：∵点 的坐标为 ，且 平行于 轴，∴ ，
∴ ，
当点M在直线AB的上方时，如图所示，
过点M作 轴，交直线AB于点N，设M的坐标为( ， )，则N的坐标为( ， )，
∴ ，
∴ ，∵ 的面积与 的面积相等，∴ ，解得 或 （舍，该点为点C），
此时M的坐标为( ， )或( ， )；
当点M在直线AB的下方时，如图所示，
过点M作 轴，交直线AB于点N，设M的坐标为( ， )，则N的坐标为( ，
)，
∴ ，∴ ，
∵ 的面积与 的面积相等，∴ ，解得
此时M的坐标为( ， )或( ， )；
综上可得，M的坐标为( ， )或( ， )或( ， )．
【变式训练2】如图，已知抛物线 经过点 ， ， ．
(1)求抛物线和直线 的解析式；
(2)点 是直线 上方抛物线上一动点．①当 的面积最大时，直接写出点 的坐标________；
②过点 作 轴交 于点 ，是否存在一点 ，使 的面积最大？若存在，求出最大面积及此
时点 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在 下方的抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1) ， ；(2)① ；② ，
(3)存在， 或
【解析】(1)解：点 ， 在抛物线上． 解得：
抛物线的解析式为：
设直线AB的解析式为：
， 在直线AB上， ，解得： ， 直线的解析式为：
(2)① ， ， 时， 最大为8，
②解：设P点的横坐标为m， 点P在抛物线上，
∵ 轴且N在直线AB上， ，
时， 取得最大为(3) 或
满足
点Q到AB的距离等于点O到AB的距离．
过点O作 ，交抛物线于点 和
且直线AB的解析式为： ，直线l经过点O
的解析式为：
解得： 或
即 ，
