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第一课时——二次函数的概念与形式及其平移
知识点一：二次函数的概念：
1. 二次函数的概念：
一般地，形如 的函数叫做二次函数。
其中： 是自变量， 是函数解析式的 ； 是函数解析式 ；
是函数解析式的 。
特别提示： 也叫做二次函数的一般形式，判断一个函数是否是二
次函数应先将函数化为一般形式。
2. 二次函数自变量的取值范围：
一般情况下，二次函数的自变量取值范围是 。对实际问题，自变量的
取
值范围还需使实际问题 。
【类型一：判断二次函数】
1．下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
2．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣2x+3 B．y＝5x2+1
C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y＝x3+2x2﹣13．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝（x+1）2﹣x2
C．y＝2x（x+1） D．y＝﹣
【类型二：根据二次函数的定义求字母的值】
4．若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1
5．若函数y＝m +4是二次函数，则m的值为（ ）
A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1 D．1
6．若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0
7．当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（ ）
A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a≠﹣1 D．a≠1
8．若函数y＝（m2+m） 是二次函数，那么m的值是（ ）
A．2 B．﹣1或3 C．3 D．－1±
知识点一：二次函数的三种形式：
1. 二次函数的一般式：
二次函数的一般式为： 。
2. 二次函数的顶点式：二次函数的顶点式为： 。
特别说明： 是二次函数的对称轴， 是二次函数的最值。函数顶点坐标为（h，
k）
3. 二次函数的两点式：
二次函数的两点式为： 。
特别说明：从两点式可以得到二次函数与x轴的交点坐标，分别是 和 。
【类型一：二次函数一般式与顶点式之间的转化】【提示：一元二次方程的配方法】
9．将二次函数y＝x2﹣4x+3化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，下列结果正确的是（ ）
A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
10．已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2+4 D．y＝﹣（x+1）2﹣4
11．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25
C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25
12．用配方法将二次函数y＝x2﹣6x+11化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，其结果为 ．
13．将y＝2x2﹣12x﹣12变为y＝a（x﹣m）2+n的形式，则m﹣n＝ ．
14．若把二次函数y＝x2+6x+2化为y＝（x﹣h）2+k的形式，其中h，k为常数，则h+k＝ ．
15．二次函数y＝﹣4（1+2x）（x﹣3）的一般形式y＝ax2+bx+c是 ．知识点一：二次函数的平移：
1. 左右平移：
平移规则：左右平移在 上进行加减，右 左 。
将二次函数 的图像右平移m个单位得到新函数的解析式为：
。
将二次函数 的图像左平移m个单位得到新函数的解析式为：
。
将二次函数 的图像右平移m个单位得到新函数的解析式为：
。
将二次函数 的图像左平移m个单位得到新函数的解析式为：
。
2. 上下平移：
平移规则：上下平移在 上加减，上 下 。
将二次函数 的图像上平移m个单位得到新函数的解析式为：
。
将二次函数 的图像下平移m个单位得到新函数的解析式为：
。
将二次函数 的图像上平移m个单位得到新函数的解析式为：
。
将二次函数 的图像下平移m个单位得到新函数的解析式为：。
【类型一：求平移后的函数解析式】
16．将二次函数图象y＝2x2向下平移3个单位长度，所得二次函数的解析式是（ ）
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2
17．把二次函数y＝3x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的图象的解析式
为（ ）
A．y＝3（x﹣3）2+5 B．y＝3（x+3）2+5
C．y＝3（x﹣3）2﹣5 D．y＝3（x+3）2﹣5
18．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是
（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2
19．把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ）
A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+3）2+3 C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2+3
20．将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2﹣1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2+3
【类型二：根据平移前后解析式求平移方法】
21．将抛物线y＝2x2平移，得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，下列平移方法正确的是（ ）
A．先向左平移4个单位，在向上平移1个单位
B．先向左平移4个单位，在向下平移1个单位
C．先向右平移4个单位，在向上平移1个单位
D．先向右平移4个单位，在向下平移1个单位
22．要得到抛物线y＝x2的图象，只需要将抛物线y＝（x+2）2﹣3的图象（ ）A．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
B．先向上平移3个单位，再向右平移2个单位
C．先向下平移3个单位，再向左平移2个单位
D．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
23．要将抛物线y＝x2平移后得到抛物线y＝x2+2x+3，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
24．若抛物线y＝﹣7（x+4）2﹣1平移得到y＝﹣7x2，则必须（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位一、选择题（10题）
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t﹣1 D．y＝x2+
2．若y＝（m﹣1） 是二次函数，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2
3．已知函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，则m的取值范围为（ ）
A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m≠﹣3 D．任意实数
4．将二次函数y＝x2﹣6x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．y＝（x﹣6）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣9
5．把二次函数y＝x2﹣2x﹣1配方成顶点式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x+1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣2
6．将抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（ ）
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x﹣3）2 D．y＝2（x+3）2
7．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的解
析式为（ ）A．y＝﹣2（x﹣1）2 B．y＝﹣2（x+3）2
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6 D．y＝﹣2（x+3）2﹣6
8．抛物线y＝x2+1经过平移得到抛物线y＝（x+1）2，平移的方法是（ ）
A．向左平移1个，再向下平移1个单位
B．向右平移1个，再向下平移1个单位
C．向左平移1个，再向上平移1个单位
D．向右平移1个，再向上平移1个单位
9．将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线
相应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2﹣1 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+1）2+5 D．y＝（x﹣1）2+5
10．若二次函数y＝x2﹣m x+6配方后为y＝（x﹣2）2+k，则m，k的值分别为（ ）
A．0，6 B．0，2 C．4，6 D．4，2
二、填空题（6题）
11．在二次函数y＝﹣x2+1中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ．
12．若函数y＝（m2+m） 是二次函数，则m＝ ．
13．如果函数y＝（k﹣3） +k x+1是二次函数，则k的值是 ．
14．若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝ ．
15．将抛物线y＝x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是
．
16．将抛物线y＝x2+ax向上平移3个单位，再向右平移4个单位后经过点（5，2），则平移后的抛物线解
析式为 ．
三、解答题（4题）
17．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
18．用配方法把下列函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式．
（1）y＝2x2﹣4x+1； （2）y＝﹣ x2﹣x﹣ ．
19．在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为y＝ax2+2bx+2b﹣a（a≠0）．
（1）当x＝﹣1时，求y的值．
（2）将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点（﹣1，0），求b的值．20．把二次函数y＝x2+bx+c的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度后，所得的抛物线的
顶点坐标为（﹣2，0），写出原抛物线相应的函数表达式．
