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专题 04 二次函数的三种实际应用问题
类型一、图形运动问题
例1．如图，矩形 中， ， ，动点 和 同时从点 出发，点 以每秒 的速
度沿 的方向运动，到达点 时停止，点 以每秒 的速度沿 的方向运动，到达
点 时停止．设点 运动 （秒）时， 的面积为 ，则 关于 的函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时
1s，从点C运动到点D，用时2s，
∴y与x的函数图象分三段：
①当0≤x≤2时，AE＝2x，AF＝4x，∴y＝ •2x•4x＝4x2，
这一段函数图象为抛物线，且开口向上，由此可排除选项A和选项D；
②当2＜x≤3时，点F在线段BC上，AE＝4，此时y＝ ×4×8＝16，
③当3＜x≤5时，y＝ ×4×（4＋8＋4−4x）＝32−8x，由此可排除选项C．
故选：B．
【变式训练1】如图，矩形 中， ，动点P沿着 的路径匀速运动，过点P作
，垂足为Q，设点P的运动路程为x，以B，C，P，Q为顶点的四边形的面积为y，则y与x的大
致函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∵由勾股定理得 ，分类讨论如下：
（1）如图1，当点P在 上移动时（四点围图为梯形），∴ ，
，∴ ，∴ ， ∴ ，
∴ ，∴ ；（2）如图2，当点P在 上移动时（四点围图为矩形），
∵点P的运动路程为x，∴PC=x-5，
∵ ，∴ ；
故依据函数解析式得图象如图3，
故选：A．
【变式训练2】如果 ABC和 DEF都是边长为2的等边三角形，他们的边BC，EF在同一条直线l上，点
C，E重合，现将 A△BC沿着直△线l向右移动，直至点B与点F重合时停止移动，在此过程中，设点B移动
的距离为x，两个△三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图像大致为( )A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．
∵△ABC和 DEF均为等边三角形，∴△GEJ为等边三角形．∴GE＝EJ＝GJ＝x，∠GEJ＝60°，
△
∴GH＝CGsin60°＝ EJ＝ x，∴y＝ EJ•GH＝ x2，
当x＝2时，y＝ ，且抛物线的开口向上．如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．
y＝ FJ•GH＝ （4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选：A．
类型二、拱桥问题
例1．2022年2月，在北京冬奥会跳台滑雪中，中国选手谷爱凌、苏翊鸣夺金，激起了人们对跳台滑雪运
动的极大热情．某跳台滑雪训练场的横截面如图所示，以某一位置的水平线为 轴，过跳台终点 作水平
线的垂线为 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线 近似表示滑雪场地上的一座
小山坡，某运动员从点 正上方4米处的点 滑出，滑出后沿抛物线 运动．当运动员
从点 滑出运动到离 处的水平距离为4米时，距离水平线的高度恰好为8米．(1)求抛物线 的解析式（不要求写自变量 的取值范围）；
(2)运动员从 点滑出后，当运动员距离点 的水平距离为多少米时，运动员达到最大高度，此时，距离水
平线的高度是多少米？
(3)运动员从 点滑出后，当运动员距离点 的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大
值，最大值是多少米？
【答案】(1) ；
(2)当运动员距离 的水平距离为 米时，运动员达到最大高度，高度为 米；
(3)当运动员距离 的水平距离为 米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大值，最大值为 米．
【解析】(1)解： 抛物线 经过点 ， ，
，解得 ． 抛物线 的解析式为： ．
(2)解： ，
当运动员距离 的水平距离为 米时，运动员达到最大高度，最大高度为 米．
(3)解：设运动员与小山坡的竖直距离为 ，则 ，
当 时， 取得最大值，最大值为 ．
当运动员距离 的水平距离为 米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大值，最大值为 米．
【变式训练1】鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交
于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB=28m，AB=8m，足球飞
行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离=水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表：
s/m … 9 12 15 18 21 …
h/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …
(1)根据表中数据预测足球落地时，s= m；
(2)求h关于s 的函数解析式；
(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的
最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对
足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m．
①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；
②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．
【答案】(1)30；(2) ；
(3)①守门员不能成功防守；说明见解析；②守门员的最小速度为 m/s
【解析】(1)解：由函数图象信息可得：顶点坐标为：
所以预测足球落地时， 故答案为：30
(2)解：由数据表得抛物线顶点（15，5），故设解析式为 ，
把（12，4.8）代入 得 所以解析式为 ．
(3)解：设守门员到达足球正下方的时间为t s．
①由题意得15t=20+2.5t，解得t= ，即s=24 m，把s=24代入解析式得 ，而 ，所以守门员不能成功防守．
②当h=1.8m且守门员刚好到达足球正下方时，此时速度最小．所以把h=1.8代入解析式得：
解得：s=27或s=3（不合题意舍去）
所以足球飞行时间 ，守门员跑动距离为 （m），所以守门员速度为 m/s．
【变式训练2】图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向出击时，小球的飞行路线将是一条抛
物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位： ）与飞行时间 （单位： ）之间具有二次函数
关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示．
根据相关信息解答下列问题．
飞行时间 0 1 2
飞行高度 0 15 20
(1)求小球的飞行高度 （单位： ）关于飞行时间 （单位： ）的二次函数关系式；
(2)小球从飞出到落地要用多少时间？
(3)小球的飞行高度能否达到 ？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) ；(3)不能，理由见解析
【解析】(1)由题意可设 关于 的二次函数关系式为 ，
因为当 ，2时， ，20，∴ ，解得： ．
∴ 关于 的二次函数关系式为 ．
(2)当 ， ，解得： ， ．∴小球从飞出到落地所用的时间为 ．
(3)小球的飞行高度不能达到 ．
理由如下：当 时， ，方程即为 ，∵ ，∴此方程无实数根．
即小球飞行的高度不能达到 ．
【变式训练3】如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分。据《范蠡
兵法》记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．
在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向
上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB．已知，石块运动轨迹所在抛物线的
顶点坐标是 ， ， ， ， ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)通过计算说明石块能否飞越城墙AB；
(3)分别求出 和 时，石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离．
【答案】(1) ；(2)石块不能飞越防御墙AB，见解析
(3) 时石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离为 米； 时石块与斜坡OA在竖
直方向上的最大距离为 米
【解析】(1) 抛物线的顶点坐标是 ， ，
设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣50）2+25，
将 代入，得 ，解得 ，
抛物线的表达式为 ；
(2) ，把x＝75代入 ，得 ，
， ． ，∵21＞20，∴石块不能飞越防御墙AB．
(3)解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）． ， ，
把（75，12）代入，得12＝75k，∴k＝ ．
故直线OA的解析式为y＝ x．
设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t， ）．
过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t， ）．
∴PQ＝ - ＝ ，
∴当t＝ 时，PQ取最大值，最大值为 ．
在竖直方向上 ，石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离是 米．
当 时， 是对称轴，
时，石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离是 米．
【变式训练4】如图，篮球场上OF的长为25米，篮球运动员小明站在左方的点O处向右抛球，球从离地
面2米的A处抛出，球的运动轨迹可看作一条抛物线，在距O点4米的B处达到最高点，最高点C距离地
面4米；篮球在点D处落地后弹起，弹起后在点E处落地，且弹起后的轨迹与抛出后的轨迹形状相同，但
高度减少为原来最大高度的一半．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线ACD的函数表达式；(2)求篮球第二次落地点E与点O之间的距离；
(3)若运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3米的地方出手，球出手后
的运动轨迹与抛出后的轨迹形状相同，高度相等，并且恰好投入离地面3米的篮筐中，求EG的长？
【答案】(1) ；(2)17.7米；(3)1.7米
【解析】(1)解：设篮球开始飞出到第一次落地时抛物线的表达式为 ，
∵ ， ，∴ ，
由已知：当 时， ，即 ，∴ ，
∴抛物线 的函数表达式为 ；
(2)解：令 ，则 ，
解得： ， （舍去），
∴篮球第一次落地距O点约9.7米；
如图，第二次篮球弹出后的距离为DE，
根据题意： ，相当于将抛物线ACND向下平移了2个单位，
∴ ，解得： ， ，
∴ ，∴ （米），
∴篮球第二次落地点E距O点的距离约为17.7米；
(3)解：∵运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3米的地方出手，即此
时 ，∴ ，解得 ， （舍去），
∴ 米．类型三、销售利润问题
例1．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，
每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表：
售价x（元/件） 55 65 75
销售量y（件） 1500 1300 1100
(1)求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利30000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），
求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？
【答案】(1)y＝﹣20x+2600；(2)80元
(3)w＝﹣20（x﹣90）2+32000；售价定为75元时，可获得最大利润，最大利润是27500元
【解析】(1)解：设y与x之间的函数关系式为 ，则 ，解得 ，
∴y与x之间的函数表达式是 ．
(2)解：由题意知， ，解得 ，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为80元．
(3)解：由题意可得， ，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价，
∴ ，解得 ，
∵ ，抛物线开口向下，
∴当x＝75时，w取得最大值，此时w＝27500元，
∴售价定为75元时，可获得最大利润，最大利润是27500元．
【变式训练1】端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比肉粽的进价每盒便宜10元，
某商家用8000元购进的肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现肉粽每盒售价50
元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设肉粽每盒售价x元，y表示该商家每天销售肉棕的利润（单位：元）．
(1)肉粽和豆沙粽每盒的进价分别为多少元
(2)若每盒利润率不超过50%，问肉粽价格为多少元时，商家每天获利1350元？
(3)若x满足 ，求商家每天的最大利润．
【答案】(1)肉粽每盒40元，豆沙粽每盒30元；(2)55元；(3)1600元
【解析】(1)解：设肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价 元．
则 ，解得 ，经检验 是方程的解， ．
答：肉粽每盒40元，豆沙粽每盒30元；
(2)解：∵ 肉粽进价每盒40元，每盒利润率不超过50%，∴ ，
由题意得， ，整理得， ，解得 （舍去）， ．
答：肉粽价格为55元时，商家每天获利1350元；
(3)解：设商家的利润为y元，则 ，
配方得， ，
∵ 时，y随x的增大而增大， ，
∴当 时，y取最大值， ．答：最大利润为1600元．
【变式训练2】某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一
次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件） 60 70 80
周销售量y（件） 100 80 60
周销售利润w（元） 2000 2400 2400
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值；
(3)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件 ，物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商
品在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的值．
【答案】(1) ；(2)进价每件40元，当 时，w有最大值为 元；(3)5
【解析】(1)解：设 ，将 ， 分别代入得
解得： ，∴y关于x的函数解析式为 ．
(2)设进价为z元，则100（60-z）=2000,解得z=40，
故进价为40元/件．
，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
∴当 时，
w有最大值为 元；
(3) ，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
∴当 时，w随x的增大而增大．
又∵ ，∴当 时，
w有最大值： ．解得： ．
【变式训练3】冰墩墩和雪容融是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，据反馈冰墩墩、雪容融玩偶一经上市，
非常畅销，小许选两款玩偶各50个，决定在网店进行销售．售后统计，一个冰墩墩玩偶利润为30元/个，
一个雪容融玩偶利润为5元/个，调研发现：冰墩墩的数量在50个的基础上每增加3个，平均每个利润减
少1元；而雪容融的利润始终不变；小许计划第二次购进两种玩偶共100个进行售卖．设冰墩墩的数量比
第一次增加 个，第二次冰墩墩售完后的利润为 元．
(1)用含 的代数式表示第二次冰墩墩售完后的的利润 ；
(2)如何安排购买方案，使得第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)(2)购进冰墩墩62个，雪容融38个或购进冰墩墩63个，雪容融37个时，第二次售卖两种玩偶的销售利润
最大，最大利润是1802元
【解析】(1)由题意，第二次购进冰墩墩的数量为（50+x）个，平均每个的利润减少 元，则第二次冰墩墩
售完后的的利润 ；
整理得： ．
(2)第二次购进冰墩墩的数量为（50+x）个，第二次购买雪容融的数量为 个，
∴第二次售卖两种玩偶的销售利润
,
∴ ,
由题意知，x为正整数，所以当x=12或13时，w最大，最大值为1802；
当x=12时，50+x=62，50-x=38；当x=13时，50+x=63，50-x=37；
即购进冰墩墩62个，雪容融38个或购进冰墩墩63个，雪容融37个时，第二次售卖两种玩偶的销售利润
最大，最大利润是1802元．
【变式训练4】某商贸公司购进某种水果的成本为20元/ ，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的
销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数关系式为 （ 为整数），已知日
销售量y（千克）与时间t（天）之间的变化规律符合一次函数关系，且y与t的关系如表：
时间t（天） 1 3 6 10 20 40 …
日销售量 118 114 108 100 80 40 …
(1)试求在第30天的日销售量是多少？
(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
【答案】(1)60 kg；(2)第10天；1250元【解析】(1)设y＝kt+b，把t＝1，y＝118；t＝3，y＝114代入得到： 解得 ，∴y＝﹣
2t+120．
将t＝30代入，得：y＝﹣2×30+120＝60．答：在第30天的日销售量是60 kg．
（2）设第t天的销售利润为w元．
当1≤t≤24时，由题意 ，
∴t＝10时，w最大值为1250元．
当25≤t≤48时， ，
∵对称轴t＝58，a＝1＞0，
∴在对称轴左侧w随t增大而减小，
∴t＝25时，w最大值＝1 085，
答：第10天利润最大，最大利润为1250元．
