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专题 05 二次函数中的线段长度问题
类型一、单线段长度问题
例1．综合与探究
如图，二次函数 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．点 是射线 上的动点，过
点 作 ，并且交 轴于点 ．
(1)请直接写出 ， ， 三点的坐标及直线 的函数表达式；
(2)当 平分 时，求出点 的坐标；
(3)当点 在线段 上运动时，直线 与抛物线在第一象限内交于点 ，则线段 是否存在最大值？若
存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ， ， ；(2) ，
(3)存在，
【解析】(1)解： 二次函数 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
令 ，则 ，即 ．
令 ，则 ，解得 ，即 ， ，
， ， ．设直线 的表达式为 ，则 解得直线 的表达式是： ．
(2)∵ ，∴ ．
又∵ ．
∴ ．∴ ．
由勾股定理，得 ．
分两种情况．
如答图1，当点 在线段 上时．过点 作 轴，垂足为 ．
，则 ．∴ ．
∴ ．解得 ， ．
∴ ．∴点 ．
如答图2，当点 在线段 的延长线上时．过点 作 轴，垂足为 ．
，则 ．
∴ ．∴ ．解得 ， ．
∴ ．∴点 ．(3)如答图3.过点 作 轴，并且交直线 于点 ,过点 作 ，并且交 轴于点 ．
则 ， ．∴ ．
∵ ， ，∴ ．∴ ．
设点 ， ．∴ ．∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ 有最大值． 的最大值为 ．
【变式训练1】如图，抛物线 与x轴交于点 、 ，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是抛物线对称轴上的动点，求 的最小值；
(3)若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作 于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，
求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) ；(3)线段PQ存在最大值，此时点P坐标为
【解析】(1)解：把点A和点B坐标代入抛物线解析式得 解得
所以抛物线的解析式为 ．
(2)解：如下图所示，连接MA，设直线AC与二次函数的对称轴交于N．∵ 、 ，∴点A和点B关于二次函数的对称轴对称，OA=2．∴MA=MB．
∴MB+MC=MA+MC．∴当点M与点N重合时MA+MC取得最小值，即MB+MC取得最小值为AC．
∵抛物线 与y轴交于点C，∴ ．∴OC=2．
∴ ．∴MB+MC的最小值为 ．
(3)解：如下图所示，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于E，设 ，其中 ，设直
线AC解析式为y=kx+d．
∵OA=2，OC=2，∴OA=OC．
∴ ．
∵PD⊥x轴，∴∠ADE=90°．∴∠DEA=180°-∠ADE-∠OAC=45°．∴∠QEP=∠DEA=45°．
∵PQ⊥AC，∴∠PQE=90°， ．∴∠QPE=180°-∠PQE-∠QEP=45°．
∴∠QPE=∠QEP．∴QE=PQ．∴ ．∴ ．
∴当EP取得最大值时，PQ取得最大值．
把点A和点C坐标代入直线AC解析式得 解得
∴直线AC解析式为 ．∴ ． ．∴当 时，EP取得最大值．∴ ．
∴线段PQ存在最大值，此时点P坐标为 ．
【变式训练2】如图，二次函数 的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标
为 ，顶点C的坐标为 ．
(1)求二次函数的解析式和直线 的解析式；
(2)点P是直线 上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段
长度的最大值．
【答案】(1) ， ；(2)线段 长度有最大值为
【解析】(1)设二次函数的解析式为： ，将B的坐标 代入得：
∴二次函数的解析式为： 即： ，
∵点D是二次函数与y轴的交点，∴D点坐标为：
设直线 的解析式为： 将B的坐标 代入得：
∴直线 的解析式为： ；
(2)解：设P点的横坐标为 ，则 ，
∴ ，∵ ，∴当 时，线段 长度有最大值为 ．
类型二、双线段长度问题
例1．已知抛物线 （a，b，c为常数， ）的顶点 ，抛物线与x交于点 和
B，与y轴交于点C．平面直角坐标系内有点 和点 ．
(1)求抛物线的解析式及点B坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点E，使 的值最小，求点E的坐标；
(3)若F为抛物线对称轴上的一个定点，
①过点H作y轴的垂线l，若对于抛物线上任意一点 都满足P到直线l的距离与它到定点F的距离
相等，求点F的坐标；
②在①的条件下，抛物线上是否存在一点P，使 最小，若存在，求出点P的坐标及 的最
小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；B（3，0）；(2)E（1， ）；(3)① ；②P（2，3），最小值为
【解析】(1)解：∵抛物线顶点D（1，4），与x轴交于点A（-1，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4，
把A（-1，0）代入，解得a=-1，
∴y=-（x-1）2+4，
∴抛物线的解析式y=-x2+2x+3，
令y=0，可得-（x-1）2+4=0，解得x =-1，x =3，
1 2
∴B（3，0）；
(2)如图①，连接BH交对称轴于点E，连接AE，此时AE + HE 的值最小，设直线BH解析式为y=kx+b，把B（3，0），H（0， ）代入，解得k= ，b= ，
∴直线BH解析式为 ，
把x=1代入解得y= ，∴E（1， ）；
(3)①如图②，设对称轴上点F（1，t），过点P作PN⊥l，过点F作FM⊥PN，
， ，
， ，
，，
，
∵抛物线上任意一点P（m，n），
，
，
，
，
整理可得： ，
∵任意一点P（m，n），与n无关.，
，
，
；
②：如图③，
∵抛物线上任意一点P（m，n）满足PF=PN，∴FP +GP = PN +GP.根据垂线段最短可知，当G，P，N共线时，FP+GP的值最小，最小值为： ，
∵G（2，0），∴把x=2代入y=-x2+2x+3.
解得y=3.∴当P（2，3）此时FP+GP的值最小，最小值为
例2.如图，平面直角坐标系中，二次函数 图像交x轴于点A、B，交y轴于点C，图像对
称轴交x轴于点D．点P是线段OD上一动点，从O向D运动，H是射线BC上一点．
(1)则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，线段BC的长为 ；
(2)如图1，在P点运动过程中，若 OPC中有一个内角等于∠HCA，求OP的长；
△
(3)如图2，点 在二次函数图像上，在P点开始运动的同时，点Q在抛物线对称轴上从D点向上
运动，Q点运动速度是P点运动速度的2倍，连接QM，则 的最小值为 ．
【答案】(1)（－10，0）；（2，0）； ；(2) 或3；(3)
【解析】(1)二次函数 中，令y=0，得： ，
解得： ，∴A（－10，0），B（2，0），
二次函数 中，令x=0，得：y=2，∴C（0，2），
∴ ，故答案为：（－10，0）；（2，0）； ；
(2)如图，连接AE，设直线BC的函数关系式为y＝kx＋b．
∵函数图像经过B（2，0），C（0，2）
则 ，解得 ．
∴y与x的函数关系式为 ；
∵抛物线的对称轴为x＝－4∴D（4，0）．
延长BC交对称轴为E，∴E（－4，6），∴DE＝DB＝6．
又∵DE⊥DB，∴∠DEB＝∠DBE＝45°．
∵A（－10，0），AD＝DE＝DB＝6，
∴△AEB为等腰直角三角形， ．∴ ， ．
若∠CPO＝∠HCA，则 CPO∽△ACE，
∵在 ACE中，AE：CE△＝3：2，∴CO：OP＝3：2
△
∵CO＝2，∴ ；
若∠PCO＝∠HCA，则 CPO∽△CAE，
∵在 ACE中，AE：CE△＝3：2，∴OP：CO＝3：2
∵CO△＝2，∴OP＝3；
综上所述，OP长为 或3．
(3)由题意可知：∵ ，∠COP＝∠QDO＝90°，∴Rt COP∽Rt QDO．∴
△ △
∴OQ＝2CP．作点M关于直线x＝－4的对称点M’，则MQ＝M’Q．∵M（－3， ）∴M’（－5， ），过点M’作MN⊥x轴于点N，
在Rt M’NO中， ．
△
所以QM＋2CP的最小值为 ．故答案为：
【变式训练1】已知抛物线 （b，c为常数）的图象与x轴交于 ，B两点（点A在点
B左侧）．与y轴相交于点C，顶点为D．
(1)当b=2时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若点P是y轴上一点，连接BP，当PB=PC，OP=2时，求b的值；
(3)若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为 ，对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点N为线
段AB上一点，且AN=2BN，连接NQ，求 的最小值．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】(1)∵抛物线 经过点 ，∴ ，解得 ，
当 时， ，∴ ，∴抛物线的顶点坐标为 ；
(2)由（1）知，抛物线的解析式为 ，
∵抛物线的对称轴为直线x=b，
∴点B的坐标为 ．∵点P在y轴上，OP=2，
∴点P的坐标为 或 ．
∵点 在y轴负半轴上，
∴ 或 ．
在Rt△POB中，由勾股定理得
．
∵PB=PC，即 ，
∴ 或 ．
解得 或 或 ．
∵ 在y轴负半轴上，
∴ ，解得 ，∴ ；
(3)如图，连接AD，过点Q作QF⊥AD于点F，抛物线与x轴交于 ，
∴抛物线的解析式为 ，∴顶点 ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵AN=2BN，∴ ，AN=2，
过点N作NG⊥AD于点G，连DN，则QF+NQ的最小值为NG，由面积相等知： ，
∴ ，∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【变式训练2】已知如图，二次函数 的图象交x轴于A，C两点，交y轴于点 ，
此抛物线的对称轴交x轴于点D，点P为y轴上的一个动点，连接 ．
(1)求a的值；(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；(2)
【解析】(1)解：把点 代入 得： ，解得： ；
(2)解：连接AB，过点D作DH⊥AB于点H，交y轴于点P，由（1）得：二次函数的解析式为 ，令y=0，则 ，解得：
，
∴点A（-3，0），C（5，0），∴抛物线的对称轴为直线 ，∴点D（1，0），∴AD=4，
∵点 ，∴ ，∴ ，∴AB=2OA，
∵∠AOB=90°，∴∠OBA=30°，∴ ，∴ 的最小值为PD+PH=DH的长，
∵DH⊥AB，∠OAB=60°，∴∠ADH=30°，∴ ，∴ ，∴ 的最小值为 ．
【变式训练3】如图，已知抛物线 与x轴相交于 ， 两点，与y轴相交于点
，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作 轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．
②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求 的最小值．
【答案】(1)y＝x2－2x－3；(2)① ；②
【解析】(1)解：把 ，点 代入抛物线 中
得： ，解得： ， 抛物线的解析式为： ；
(2)解：①如图，
令 ，即 ，解得 或 ， ，
，设 的解析式为： ，则 ，解得： ，
的解析式为： ，
设 ，则 ， ，
当 时， 有最大值为 ；
②当 有最大值， ，
在 轴的负半轴上取一点 ，使 ，过 作 于 ，
当 、 、 三点共线时， 最小，即 的值最小，中， ， ， ， ，
中， ，
，
， 的最小值是 ．
【变式训练4】已知抛物线 过点 ， 两点，与 轴交于点 ， ．
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2)过点 作 ，垂足为 ，求证：四边形 为正方形；
(3)若点 为线段 上的一动点，问： 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1) ， ；(2)见解析；(3)存在，
【解析】(1)∵抛物线 过点 ， 两点，∴设抛物线解析式为 ，
∵ ，∴ ，
∵这个抛物线与 轴交于点 ，∴ ，∴ ，
∴抛物线的解析式为： ．
∵ ，∴这个抛物线的顶点 ；
(2)连接 ， ，由（1）得： ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ， ∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴四边形 为菱形，
∵ ，∴四边形 为正方形；
(3)存在，理由：
如图，点 作与 轴夹角为 的直线 ，交 轴于点 ，过点 作 ，垂足为 ， 交 于
点 ，则 ， 的最小值 ，
∵ ， ，∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ∴ 的最小值为 ．类型三、周长问题
例1．如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．
(1)求该抛物线和直线BC的解析式；
(2)设抛物线与直线BC相交于点D，求 ABD的面积；
(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q△，使得 QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，
请说明理由． △
【答案】(1)y＝﹣ x2+4x﹣6，y＝ x﹣6；(2) ；(3)存在，点Q的坐标为（4，﹣2）
【解析】(1)解：将A（2，0）、B（0，﹣6）代入抛物线解析式得： ，解得： ，
故抛物线的解析式为：y＝﹣ x2+4x﹣6，其对称轴为：x＝4，
故点C的坐标为（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B、点C的坐标代入可得： ，解得： ，
故直线BC的解析式为y＝ x﹣6；
(2)解：联立直线BC与抛物线的解析式： ，解得： 或 ，故点D的坐标为（5， ），则S ABD＝S ACD+S ABC＝ AC×D + AC×|B |＝ ．
纵 纵
△ △ △
(3)解：存在点Q，使得 QAB的周长最小；
点A关于抛物线对称轴的△对称点为A'，连接A'B，则A'B与对称轴的交点即是点Q的位置：
A'坐标为（6，0），B（0，﹣6），
设直线A'B的解析式为：y＝mx+n，代入两点坐标可得： ，解得： ，
即直线A'B的解析式为y＝x﹣6，故点Q的坐标为（4，﹣2）．
即存在点Q的坐标（4，﹣2）时，使得 QAB的周长最小．
【变式训练1】如图，抛物线y=ax2+bx+c△（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S NBC=S ABC时，求N点的坐标；
△ △
(3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连
接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．
【答案】(1)y=-x2+2x+3，顶点M坐标为（1，4）；(2)点N坐标为（4，-5）；(3)当m= 时，PM+PQ+QN有最小值，最小值为3 +3．
【解析】(1)解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴ ，解得： ，∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则抛物线的顶点M坐标为（1，4）；
(2)解：∵N是抛物线上第四象限的点，∴设N（t，-t2+2t+3）（t＞3），又点C（0，3），
设直线NC的解析式为y=kx+b，则 ，解得： ，
1 1
∴直线NC的解析式为y=（-t+2）x+3，
设直线CN与x轴交于点D，
当y=0时，x= ，∴D（ ，0），BD=3- ，
∵S NBC=S ABC，∴S CDB+S BDN= AB•OC，即 BD•|yC-yN|= [3-（-1）]×3，
△ △ △ △
即 ×（3- ）[3-（-t2+2t+3）]=6，整理，得：t2-3t-4=0，解得：t=4，t=-1（舍去），
1 2
当t=4时，-t2+2t+3=-5，∴点N坐标为（4，-5）；
(3)解：将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，
则MM′=3，∵P（m，3）、Q（m，0），∴PQ⊥x轴，且PQ=OC=3，
∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，∴四边形MM′QP是平行四边形，∴PM=QM′，由作图知当M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，
设直线M′N的解析式为y=kx+b（k≠0），
2 2 2
将点M′（1，1）、N（4，-5）代入，得： ，解得： ，∴直线M′N的解析式为
y=-2x+3，
当y=0时，x= ，∴Q（ ，0），即m= ，
此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，
在Rt M′EN中，∵M′E=1-（-5）=6，NE=4-1=3，∴M′N= ， ∴M′Q+QN=3 ，
△
∴当m= 时，PM+PQ+QN的最小值为3 +3．
【变式训练2】如图1，在平面直角坐标中，抛物线 与x轴交于点 、 两点，
与y轴交于点C，连接BC，直线 交y轴于点M.P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P
作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积；
(3)①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；
②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足 ，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．
【答案】(1) ；(2) ；(3)① ；②【解析】(1)解：∵抛物线 与x轴交于点 、 两点，
∴抛物线的表达式为： ，
∴ ；
(2)解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴直线 的表达式为： ，
把 代入 得： ，
∴ ；
(3)解：①过点N作 于点G，
∵ 过点 ，
∴ ，
∴ ，∴直线 的表达式为： ，
∴ ，
设 ， ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 、 ，
∴ ，
，
∴ ；
②∵ ，
∴点Q在 的垂直平分线上，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴当点B、Q、M共线时， 的周长最小，此时，点Q即为 的垂直平分线与直线 的交点，
∵ ； ，
∴ ，
把 代入 得： ，
∴ ．
