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2022-2023 学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 04 一元二次方程的实际应用
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022·肥西模拟）在肥西悬主城区，共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月
投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多690辆．设该公司第二、三两个月投放单车数
量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【完整解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得：
，
故答案为：A．
【思路引导】根据题意列出一元二次方程
2．（2分）（2022·兖州模拟）欧几里得的《原本》记载，形如 的方程的图解法是：画
，使 ， ， ，再在斜边 上截取 .则该方程的一个正根是
（ ）
A． 的长 B． 的长 C． 的长 D． 的长
【答案】B【完整解答】解：用求根公式求得：
∵
∴
∴
AD的长就是方程的正根.
故答案为：B.
【思路引导】先利用求根公式求出 ，再求出
即可得到答案。
3．（2分）（2022八下·余杭月考）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，
全班共送1035张照片，如果全班有 名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【完整解答】解： 全班有x名同学，
每名同学要送出(x-1) 张；
又 是互送照片，
总共送的张数应该是 x(x-1)，故可列方程x（x-1）=1035.
故答案为：C.
【思路引导】由题意可得每名同学要送(x-1)张，然后根据每名同学送的张数×学生的人数=总张数即可列
出方程.
4．（2分）（2022八下·杭州月考）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，
全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为( )
A．x(x＋1)＝1035 B．x(x－1)＝1035
C． x(x＋1)＝1035 D． x(x－1)＝1035
【答案】B
【完整解答】解：设全班有x名同学，
∴每名同学要送出(x-1)张，
∵送照片是同学之间互送，共送1035张，
则x(x- 1)= 1035.
故答案为：B.
【思路引导】设全班有x名同学，则每名同学要送出(x-1)张， 共送x(x- 1)张，结合全班共送1035张
照片，建立关于x的方程求解即可.
5．（2分）（）某厂家1~5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均
月增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．180（1-x）2=461 B．180（1+x）2=461
C．368（1-x）2=442 D．368（1+x）2=442
【答案】B
【完整解答】解：根据统计图，2月份产量为180，4月份产量为461
设平均月增长率为x
∴180（x+1）2=461故答案为：B.
【思路引导】根据一元二次方程的实际运用，列出式子即可。
6．（2分）（2018九上·孝感月考）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条
同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为 ，则下面所列方程
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【完整解答】解：由题意得，( 32 − 2 x ) ( 20 − x ) = 570
【思路引导】将六块草坪拼为一块可得一个矩形，该矩形面积为六块草坪的面积和570m2。由图易得新矩
形的长为(32−2x)m,宽为（20-x）m，所以可得方程( 32 − 2 x ) ( 20 − x ) = 570
7．（2分）某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加
工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油
率的增长率是亩产量的增长率的 ．则新品种花生亩产量的增长率为（ ）
A．20％ B．30% C．50% D．120%
【答案】A
【思路引导】本题为增长率问题，增长后的量=增长前的量×（1+增长率)。则每亩收获的花生可加工成花
生油的质量是200（1+x)•50%（1+ x)，即可列方程求解。
【完整解答】设新品种花生亩产量的增长率为x，根据题意得200（1+x)•50%（1+ x)=132，
解得x=0.2=20%，x=-3.2（不合题意，舍去)，
1 2
则新品种花生亩产量的增长率为20%，
故选A.
【点评】本题为一般的增长率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的
解。找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键。
8．（2分）（2020九上·遵化期末）已知 ， ， 是1，3，4中的任意一个数（ ， ，
互不相等），当方程 的解均为整数时，以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边
形一定是（ ）
A．轴对称图形 B．中心对称图形
C．轴对称图形或中心对称图形 D．非轴对称图形或中心对称图形
【答案】C
【完整解答】解：∵方程ax2-bx+c=0的解均为整数
∴△=b2 4ac≥0
∵已知a，b，c是1，3，4中的任意一个数（a，b，c互不相等），
当b=1时，△=1-4×4×3＜0，不符合题意；
当b=3时，△=9-4×1×3＜0，不符合题意；
当b=4时，△=16-4×1×3=4＞0，符合题意．
∴b=4，a=1，c=3或b=4，a=3，c=1；
当b=4，a=1，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解
∴x=3，x=1，两个根均为整数，符合题意；
1 2
当b=4，a=3，c=1时，方程ax2-bx+c=0的解∴x=1，x= ，不符合题意，故舍去；
1 2
∴当b=4，a=1，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解为x=3，x=1，
1 2
∵以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形有两种情况：
①1，1作对边，3.3作对边，
此时多边形为平行四边形，为中心对称图形；
②1，1作邻边，3.3作邻边，1与3也相邻
此时多边形为筝形，为轴对称图形．
∴以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是中心对称图形或轴对称图形．
故答案为：C．
【思路引导】先根据一元二次方程由整数解，可得出△=b2 4ac≥0，再对a、b、c分别取值试算，从而
得出b=4，a=1，c=3或b=4，a=3，c=1时方程有解，再分类计算出方程的根，两者均为整数时符合要求，
则此时围成的多边形机器性质也可作出判断，从而得解。
9．（2分）（2022八下·杭州开学考）现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个球队必须和
其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
【答案】A
【完整解答】解：设有x支球队参加篮球比赛，根据题意得
.
故答案为：A.
【思路引导】利用已知条件可知此比赛是单循环，由此列方程即可.
10．（2分）一个两位数，个位数字比十位数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，
设个位数字为x，则方程为（ ）
A．x2+（x+4）2=10（x+4）+x-4 B．x2+（x+4）2=10x+x-4-4
C．x2+（x-4）2=10（x+4）+x-4 D．x2+（x-4）2=10x+（x-4）-4【答案】A
【完整解答】解：设个位数字为x，则十位数字为（x+4），根据题意得：
x2+（x+4）2=10（x+4）+x-4
故答案为：A.
【思路引导】此题的等量关系为：个位数字=十位数字-4；个位数字的平方十位数字平方=10×十位数
字-4，据此列方程即可.
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021九上·临江期末）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，
一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有 个飞机场
【答案】5
【完整解答】 解：设这个航空公司有机场x个，
根据题意得： ，
解得x=5或x=-4（不符合题意，舍去），
∴ 这个航空公司共有5个机场.
【思路引导】设这个航空公司有机场x个，根据题意列出方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得
出答案.
12．（2分）（2021九上·太原期中）学校秋季运动会上，九年级准备队列表演，一开始排成8行12列，
后来又有84名同学积极参加，使得队列增加的行数比增加的列数多1．现在队列表演时的列数是
．
【答案】15
【完整解答】解：设现在队列表演时的行数是x，则现在队列表演时的列数是 ，
由题意得： ，∴
∴ ，
∴ 或 （舍去）
∴现在队列表演时的行数是12，
∴现在队列表演时的列数是15，
故答案为：15．
【思路引导】先求出 ，再计算求解即可。
13．（2分）（2021九上·阆中期中）某校九年级举行篮球赛（每两班比赛一场），共比赛了15场，则九
年级共有 个班.
【答案】6
【完整解答】解：设九年级共有x个班级.
依题意得： x（x-1）=15.
解得：x=6，x=-5（不合题意舍去）.
1 2
故答案为：6.
【思路引导】设九年级共有x个班级，则每一个班要进行（x-1）场比赛，由于每两班比赛一场则需要进行
的比赛总场次为 x（x-1）场，从而列出方程，求解即可.
14．（2分）（2021九上·海安月考）某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡，若全组
共送贺卡20张，设这个小组的同学共有x人，可列方程： .
【答案】
【完整解答】解：设这个小组的同学共有x人，根据题意得： .
故答案为： .
【思路引导】根据学生人数×(学生人数-1)=共送的贺卡张数可列出关于x的方程.
15．（2分）（2021九上·茂南月考）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，点P从点A开始沿AB向B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，
秒后△PBQ的面积等于8cm2．
【答案】4或2
【完整解答】解：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2，由题意得：
（6-x）2x=8，
解得：x=2，x=4，
1 2
故答案为：2或4．
【思路引导】设x秒后△PBQ的面积等于8cm2，然后用含x的式子表示PB、QB，再利用三角形的面积公式
求解即可。
16．（2分）（2021九上·厦门期中）一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的
小分支，若主干、支干和小分支的总数是31，每个支干长出 个小分支.
【答案】5
【完整解答】解：设每个支干长出x根小分支，
根据题意可得：1+x+x2＝31，
解得x＝5或x＝﹣6（不符合题意，舍去），
∴每个支干长出5根小分支.
故答案为：5.
【思路引导】设每个支干长出x根小分支，根据题意可得：1+x+x2＝31，求解即可.
17．（2分）（2021九上·安义月考）在2021年10月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所
示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为180，则这个最小数为 ．【答案】10
【完整解答】解：设最小的数为x，则最大的数为x+8，根据题意，
得：x(x+8)=180，即x2+8x=180，
配方，得：（x+4）2=196，
直接开平方，得：x+4=±14，
解得：x=10，x=﹣18（不符题意，舍去），
1 2
∴这个最小数为10，
故答案为：10．
【思路引导】先求出x(x+8)=180，再求出x+4=±14，最后计算求解即可。
18．（2分）（2021·甘井子模拟）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高
度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为3m，那么它的下
部应设计为多高？设它的下部设计高度为xm，根据题意，可列方程为 ．
【答案】 或
【完整解答】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（3-x）m，
由题意得： ，
即 ，故答案为： 或 ．
【思路引导】设雕像的下部高为x m，则上部长为（3-x）m， 根据：雕像的上部（腰以上）与下部（腰以
下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比， 列出方程即可.
19．（2分）（2021八下·宁波期中）某校准备组织一次篮球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，
赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，那么共有 个队参加.
【答案】8
【完整解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
∴共7×4=28场比赛，
设共有x个队参赛，
则由题意可列方程为： =28，
解得：x=8，x=-7（舍去），
1 2
答：共有8个队参赛.
故答案为：8.
【思路引导】由题意可得共7×4=28场比赛，设共有x个队参赛，根据队数×(对数-1)÷2=比赛的总场数
列出方程，求解即可.
20．（2分）如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，OA，OB（OA＜OB）的长分别
是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2＝0的两根，C（0，3），且S△ABC ＝6，则∠ABC的度数为
．
【思路引导】根据三角形AOB面积为6，OC＝3，利用三角形面积公式求出AB＝4，而AB＝OA+OB，
利用根与系数的关系求出m的值，确定出OB的长，即可确定出∠ABC的度数．
【完整解答】解：∵S△ABC ＝ AB•OC＝6，OC＝3，
∴AB＝4，即OA+OB＝4，
∵OA，OB（OA＜OB）的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2＝0的两根，∴OA+OB＝4m，即4m＝4，
解得：m＝1，
代入方程得：x2﹣4x+3＝0，即（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x ＝1，x ＝3，
1 2
∴OA＝1，OB＝3，
∴OC＝OB＝3，即△BOC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
故答案为：45°
三．解答题（共10小题，满分60分）
21．（4分）（2022·大连模拟）第24届北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行.参加比赛的每两
队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛？
【答案】解：设共有x个队参加比赛
根据握手问题可知：
解得： 或 （舍去）
答：共有10个队参加比赛．
【思路引导】一元二次方程的实际应用，重点是弄清题意，关键是寻找相等关系，最后要注意对方程的根
进行取舍。
22．（6分）（2022八下·杭州月考）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，
为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每
降价1元，商场平均每天可多售出2件。
（1）（3分）若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）（3分）商场有可能每天平均盈利1300元吗？若有可能，应降价多少元？
【答案】（1）解：设每件衬衫应降价x元.则降价x元后每件盈利（40−x）元
依题意得（40−x）（20＋2x）＝1200
解得 x＝10，x＝20…（8分）
1 2
经检验，x＝10，x＝20都是原方程的解，但要尽快减少库存，
1 2
所以x＝20.
答：每件衬衫应降价20元．
（2）解：依题意得（40−x）（20＋2x）＝1300整理得到， ，
.
此方程无实数根，所以不可能每天平均盈利1300元.
【思路引导】（1）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，利用商
场每天销售该种衬衫获得的总利润＝每件衬衫的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方
程，解得x的值，再结合要尽快减少库存，即可得出每件衬衫应降价20元；
（2）商场每天平均盈利不可能达到1300元. 设每件衬衫降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，平均每天可
售出（20+2y）件，利用商场每天销售该种衬衫获得的总利润＝每件衬衫的销售利润×每天的销售量，即
可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出商场
每天平均盈利不可能达到1300元．
23．（4分）（2022·交城模拟）我县某宾馆有若干间标准房，平时以市场管理部门批准的标价200元定
价时（定价不得超过380元），平均每日可入住50间，在去年国庆黄金周中，为了增加营业额，该宾馆决
定上调房价，经市场调查表明，定价每提高20元，每日入住房间数就减少1间，若不考虑其他因素，问国
庆期间宾馆标准房的价格定为多少元时，每日的营业额可为11520元？
【答案】解：设国庆期间宾馆标准房的价格定为 元．
解得： ， （舍去）
答：国庆期间宾馆标准房的价格定为240元
【思路引导】 设国庆期间宾馆标准房的价格定为 元，根据一间标准房的价格×每日入住的间数=营业额，
列出方程并解之即可.
24．（5分）（2021九上·秦都期末）解读诗词(通过列方程算出周瑜去世时的年龄)：大江东去浪淘尽，
千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得
快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字
小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄.
【答案】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为 ，依题意得：
，解得 ， ，
当 时， ，（不合题意，舍去），
当 时， （符合题意），
答：周瑜去世时的年龄为36岁.
【思路引导】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3，根据“个位数字的平方等于他去世
时的年龄”可得10(x-3)+x=x2，求出x的值，然后结合去世时的年龄大于30进行验证.
25．（4分）对于竖直向上抛出的物体，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：h=vt- gt2，
其中h是物体上升的高度，v是抛出时的速度，g是重力加速度（g≈10m/s2），t是抛出后的时间.如果一
物体以25m/s的初速度从地面竖直向上抛出，经过几秒钟后它在离地面20m高的地方？
【答案】解：由题意得25t- ×10t2=20，∴5t-t2=4，
∴（t- ）2= ，∴t- =± ，
解得t=1，t=4.
1 2
答：经过1s或4s后它在离地面20m高的地方.
【思路引导】根据h=vt- gt2，结合h、v和g的值，得出一个关于t的一元二次方程求解即可.
26．（5分）（2017九上·江都期末）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查
发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件
玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？
【答案】解：设该玩具的销售单价应定为 元
根据题意，得
解得
当 时， 件，当 时， 件.
答：该玩具的销售单价定为 元时，售出500件；或售价定为 元时售出200件.
【思路引导】根据题意找出相等的关系量，购进时的单价是30元，销售单价定为 x 元时，一件的利润是( x − 30 )，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，得
到销售的数量是600-10（x-40），得到等式，求出x的值，该玩具销售单价和数量.
27．（6分）“低碳生活，绿色出行”,2017年1月,某公司向深圳市场新投放共享单车640辆.
（1）（3分）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆.
请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？
（2）（3分）考虑到自行车市场需求不断增加,某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规
格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为
1300元/辆。假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？
【答案】（1）解：设平均增长率为x，根据题意得：
640 =1000;
解得：x=0.25=25%或x=-2.25(舍去）；
∴四月份的销量为：1000（1+25%）=1250（辆）；
答：新投放的共享单车1250辆。
（2）解：设购进A型车y辆，则购进B型车100-y辆；根据题意可得：
500y+1000(100-y)≤70000;
解得：y≥60;
∴利润W=（700-500）y+(1300-1000)(100-y)
=200y+300(100-y)
=-100y+30000
∵-100＜0,
∴W随着x的增大而减小；
∴当y=60时，利润最大=-100×60+30000=2400（元）；
答：为使利润最大，该商城应购进60辆A型车和40辆B型车。
【思路引导】（1）根据1月和3月的销售量求得月平均增长率，然后求出4月份的销量即可。
（2）设购进A型车y辆，则购进B型车100-y辆;根据题意可得：500y+1000(100-
y)≤70000;求出答案即可。
28．（9分）（2022·锦州模拟）某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，已知这种蔬
菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折．批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的日销售量
y（箱）与当天的售价x（元/箱）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．
售价x（元/箱） … 35 38 …销售量y（箱） … 130 124 …
（1）（3分）若某天这种蔬菜的售价为42元/箱，求当天这种蔬菜的销售量；
（2）（3分）若某天该批发商销售这种蔬菜获利1320元，则当天这种蔬菜的售价为多少元？
（3）（3分）批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种蔬菜的售价定为多
少时，可获得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系为 ，将 ， 和 ，
代入表达式，
得 ，解得 ．
∴
∴当 时，
答：当售价为42元/箱，当天这种蔬菜的销售量为116箱
（2）解：依题意可得
整理方程，得
解得 ，
∴这种蔬菜售价不低于 ，所以34不满足题设要求
答：所以当获利为1320元时，当天这种蔬菜的售价为90元．
（3）解：设日获得利润为w元，
∵
∴抛物线开口向下．
∵这种蔬菜售价不低于 ，即
∴当 时， （元）
答：这种蔬菜的售价为65元，可获得最大日利润为2450元．【思路引导】（1）设y与x之间的函数关系为 ，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据题意列出方程 ，再求出x的值即可；
（3）设日获得利润为w元，根据题意列出函数解析式 ，
然后利用二次函数的性质求解即可。
29．（7分）（2022八下·嵊州期中）如图所示，在 中， ， ，
，点P从点A出发沿边 向点C以 的速度移动，点Q从C点出发沿 边向点B
以 的速度移动．
（1）（3分）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使 的面积为8平方厘米？
（2）（4分）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 的面积等于 的面积
的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：设经过x秒后，则
（2）解：∴不存在
【思路引导】(1) 设经过x秒，分别用含x的代数式表示出PC和CQ的长，结合 的面积为8平方
厘米，建立等式求解即可；
(2)设经过x秒，根据 的面积等于 的面积的一半建立方程，然后将方程化简整理成一元
二次方程的一般式，利用△=b2-4ac，进行判断即可.
30．（10分）（2021九上·包头月考）在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终
点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分
别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）（1分）填空：BQ＝ ，PB＝ （用含t的代数式表示）；
（2）（2分）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）（3分）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若
不存在，请说明理由．
（4）（3分）是否存在t的值，使△BPQ的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请
说明理由．
【答案】（1）2t；(5-t)
（2）解：由题意得： ，
解得 （不合题意，舍去）， ，
∴当t=2秒时， 的长度等于（3）解：存在．理由如下：
长方形 的面积是： ，
使得五边形 的面积等于26 ，
则 的面积为 ，
即有： ，
解得 ， ．
当 时， ，不合题意，舍去，
即当 时，使得五边形 的面积等于26
（4）解：存在，理由如下：
由（3）可知 的面积为 ，
即当 时，使得 的面积最大，等于 ．
【完整解答】解：（1）由题意： ， ，
故答案为 ， ．
【思路引导】（1）根据路程=速度×时间，分布求出BQ、AP的长，从而求出PB=AB-PB的长即可；
（2）根据勾股定理可得PB2+BQ2=PQ2，据此建立关于t的方程，解之即可；
（3）存在.先求出△PBQ的面积=长方形ABCD的面积- 五边形APQCD的面积 =4，再由△PBQ的面积=
，求出t值即可求解；
（4） 由（3）知 的面积为 ，利用二次函数的性质求解即可.
