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专题 08 中心对称（综合题）
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知识点01：中心对称和中心对称图形
1.中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果它能够与另一个图形 那么
就说这两个图形关于这个点 ，这个点叫做 ．
这两个图形中的对应点叫做关于 ．
细节剖析:
（1）有两个图形，能够 即 都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转 能够与
另一个图形 (全等图形不一定是 的，而中心对称的两个图形一定
是 的) .
2.中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能
够与原来的图形 ，那么这个图形叫做 ，这个点就是它的
．
细节剖析:
(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是
3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
①指一个图形本身成中心对
①指两个全等图形之间的相互
区 称．
位置关系．
别 ②对称中心是图形自身或内部
②对称中心不定．
的点．
如果将中心对称的两个图形看
如果把中心对称图形对称的部
联 成一个整体（一个图形），那
分看成是两个图形，那么它们
系 么这个图形就是中心对称图
又关于中心对称．
形．
知识点02：关于原点对称的点的坐标特征
关于原点对称的两个点的横、纵坐标均 .即点 关于原点的对称点 坐标为
，反之也成立.
知识点03：中心对称、轴对称、旋转对称
1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：2.中心对称图形与轴对称图形比较：
细节剖析:
中心对称图形是特殊的 ；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.
易错题专训
一．选择题
1．（2022春•青羊区校级期中）已知点P（m﹣3，m﹣1）关于原点的对称点P′在第四象限，则m的取值
范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022•威海一模）下列说法中正确的有（ ）的算术平方根是5．
②十边形的内角和是1800°．
③若关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是m≥﹣1．
④已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边长c的取值范围是2＜c＜8．
⑤平行四边形、线段、角、等边三角形四个图形中，只有线段既是轴对称图形又是中心对称图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022•烟台一模）数学中的对称之美无处不在，下列四幅常见的垃圾分类标志图案（不考虑文字说
明）中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020秋•法库县期末）已知点A关于x轴的对称点坐标为（﹣1，2），则点A关于原点的对称点的坐
标为（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）
5．（2019春•宜城市期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐
标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE
的表达式是（ ）
A．y＝x﹣2 B．y＝2x﹣4 C．y＝x﹣1 D．y＝3x﹣6
6．（2021•九龙坡区校级开学）如图，已知平面直角坐标系中的▱ABCD，点A（1，4），C（3，0），坐标
系内存在直线l：y＝kx+b（k≠0）将▱ABCD分成面积相等的两部分，且这条直线与两坐标轴围成的三角
形的面积为1，则k的值为（ ）A．4或 B． 或3 C．2或 D．4或
二．填空题
7．（2022•越秀区校级开学）如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将
这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 ．
8．（2022•富平县一模）如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，点E、F分别为边BC、AD上任意一点，
且O、E、F三点在一条直线上，连接AO，BO，EO，FO．若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则图中阴影部
分的面积是 ．
9．（2020秋•濮阳县期中）直角坐标系中，已知点A（3，2），作点A关于y轴对称点A，点A关于原点
1 1
对称点A，点A关于x轴对称点A，点A关于y轴对称点A，点A关于原点对称点A…，按此规律，则
2 2 3 3 4 4 5
点A 的坐标为 ．
2020
10．（2019秋•凌河区校级月考）如图，等边三角形的顶点A（1，3）B（1，1），规定把等边△ABC先绕
顶点A顺时针旋转90°再关于原点作中心对称得到△ABC为第一次变换，再将等边△ABC先绕顶点A
1 1 1 1 1 1 1
顺时针旋转90°再关于原点作中心对称得到△ABC为第二次变换，依次继续按照上述操作进行，如果
2 2 2这样连续经过2019次变换后，等边△A B C 的顶点C 的坐标为 ．
2019 2019 2019 2019
11．（2019春•秦淮区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以BC为一边作正方形
BDEC设正方形的对称中心为O，连接AO，则AO＝ ．
12．（2022•沈阳模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠ADC＝60°，E，F分别为菱形边上的动点，过点
E，F的直线将菱形分成面积相等的两部分，过点D作DM⊥EF于点M，连接CM，则线段CM的最大值为
．
13．（2022•海淀区校级开学）如图，正方形ABCD在第一象限内，点 A、B坐标分别为（1，1），（3，
1），若直线y＝2x+b把正方形ABCD分成面积相等的两部分，则b的值是 ．14．（2021秋•雁塔区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，点E、F分别在边AB、CD上，点
M为线段EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩形ABCD
的面积，且DF＝1，则GH的长为 ．
三．解答题
15．（2021秋•建安区期中）数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝
3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将MCD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把
AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，
把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：
如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BE+CF＞EF；
（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．
16．（2021•道里区三模）如图，网格中的每个小正方形的边长均为1．点A、点B和点C在小正方形的顶点上．
（1）在图中确定点D，点D在小正方形的顶点上，连接DC，DA，使得到的四边形ABCD为中心对称图形；
（2）在（1）确定点D后，在图中确定点E，点E（不与点C重合）在小正方形的顶点上，连接ED，EB
得到凸四边形ABED，使∠EBA＝∠EDA，直接写出ED的长．
17．（2021秋•章贡区期中）在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知 A（2，﹣
4），B（4，﹣2）．C是第四象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理
数的等腰三角形．
（1）填空：C点的坐标是 ，△ABC的面积是 ；
（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△ABC，连接AB、BA，则四边形ABAB的形状是何特殊四边形？
1 1 1 1 1 1 1
．
（3）请探究：在坐标轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，
请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2021•江西模拟）如图，在平面直角坐标系中，△OAB是边长为2的等边三角形，△BAB与△OAB
1 1 2 2 1 1 1
关于点B成中心对称，△BAB与△BAB关于点B成中心对称．
1 2 3 3 2 2 1 2
（1）直接写出点B，B，B的坐标；
1 2 3
（2）连接AB，求AB的长．
1 2 1 2
19．（2021•雁塔区校级开学）问题探究：（1）如图①，点M是矩形ABCD内一点，请你在图①中过点M作
一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分．
问题解决：（2）如图②，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示
意图，其中DC∥OB，BC⊥OB，OB＝6，BC＝CD＝4．开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设
在点P（4，2）处．为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且使这条路所
在的直线l将四边形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；
若不存在，请说明理由．20．（2021秋•夏河县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点．
（1）画图：连接AE并延长，交BC的延长线于点F，连接BE；
（2）填空：点A与点F关于点 成中心对称，若AB＝AD+BC，则△ABF是 三角形，此时点
A与点F关于直线 成轴对称；
（3）图中△ 的面积等于四边形ABCD的面积．
