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专题 07 二次函数综合题（综合题）
易错题专训
一．选择题
1．（2022•香洲区校级一模）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，
0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a＝﹣1，则b＝4；
③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2
；
④图象上有两点P（x，y）和Q（x，y），若x＜1＜x，且x+x＞2，则y＞y，
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021•历下区三模）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P，点Q同时从点B出发，点P
以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数
关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC＝6cm；②曲线MN的解
析式为y＝﹣ t2+ t（4≤t≤7）；③线段PQ的长度的最大值为 ；④若△PQC与△ABC相似，
则t＝ 秒，其中正确的说法是（ ）A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
3．（2021•覃塘区模拟）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的
横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：
①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；
②x＞0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；
③AB的长度可以等于5；
④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，
其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
4．（2018•桐梓县一模）如图，抛物线m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），
与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C，与x轴的另一个交
1
点为A．若四边形ACAC为矩形，则a，b应满足的关系式为（ ）
1 1 1
A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣3 C．ab＝﹣4 D．ab＝﹣5
5．（2022•新河县一模）如图，已知抛物线经过点B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），P为AC上的一个动点，则有以下结论：
①抛物线的对称轴为直线x＝ ；
②抛物线的最大值为 ；
③∠ACB＝90°；
④OP的最小值为 ．
则正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④
6．（2022•长沙模拟）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿
折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是 1cm/秒．设
P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线
的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；② ；③当0＜t≤5时， ；④当
秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④
7．（2021•济南一模）如图 1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P点Q同时从点B出发，点P沿
BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．设P，Q出发t
秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分）．则下
列结论：①AE＝6cm；
②当0＜t≤10时，y＝ t2；
③直线NH的解析式为y＝﹣5t+110；
④若△ABE与△QBP相似，则t＝ 秒，
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
8．（2022•江夏区模拟）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1
﹣m]的函数的一些结论：
①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（ ， ）；
②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 ；
③当m＜0时，函数在 时，y随x的增大而减小；
④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．
其中正确的结论有 ．（只需填写序号）
9．（2020•浙江自主招生）如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取点A，过
点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y＝x2（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点，
且以点Q为直角顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是 ．10．（2020•浙江自主招生）如图，P是抛物线y＝2（x﹣2）2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行y轴，
分别与y＝x、抛物线交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件
的t的值，则t＝ ．
11．（2022•香洲区模拟）已知抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+2）x+m+1（m为常数），则下列说法正确的
是 ．
①当m＝2时，点（2，1）在抛物线上；
②对于任意的实数m，x＝1都是方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0的一个根；
③若m＞0，当x＞1时，y随x的增大而增大；
④已知点A（﹣3，0），B（1，0），则当﹣4≤m＜0时，抛物线与线段AB有两个交点．
12．（2022•槐荫区模拟）已知，直线y＝ x+2与y轴交于点A，与直线y＝﹣ x交于点B，以AB为边向
右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣ x上移动．若抛物
线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是 ．
13．（2021秋•蜀山区校级月考）如图，抛物线y＝﹣ x2+ x+2与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），
与y轴交于点C，连接BC，AC．
（1）∠ACB的度数是 °；
（2）若点P是AC上一动点，则OP的最小值为 ．14．（2021秋•蒙城县月考）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝
x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．则a+b＝ ；若平移抛物线y
＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值是 ．
15．（2021•太和县一模）如图1，E是等边△ABC的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为
边向右作等边△AEF，连接CF．已知△ECF的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（P
为抛物线的顶点）．
（1）当△ECF的面积最大时，∠FEC的大小为 ．
（2）等边△ABC的边长为 ．
16．（2021•阜阳模拟）如图，二次函数y＝ 的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左
侧），交y轴于点C．
（1）若在抛物线对称轴上存在一点P，使△ACP周长最小，则P点坐标为 ；
（2）现有一长为2的线段DE在直线y＝ 上移动，且在移动过程中，线段DE上始终存在点P，使得
三条线段PA，PB，PC能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE左端点D的横坐标为t，则t
的取值范围是 ．三．解答题
17．（2022春•拱墅区校级期末）已知函数y＝kx2+（3k+2）x+2k+2．
1
（1）当k＝﹣1时，求函数y＝kx2+（3k+2）x+2k+2的顶点坐标，与x轴的交点坐标；
1
（2）试说明函数y＝kx2+（3k+2）x+2k+2始终与x轴有交点．
1
（3）若函数y＝6kx+4，且当x≥0时，函数y和y均随x的增大而减小求k的取值范围．
2 1 2
18．（2022•东莞市校级一模）二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A
（1，0）、B（ ，0）．
（1）求a、b的值；
（2）P是二次函数图象在第一象限部分上一点，且∠PAB＝∠OCA，求P点坐标；
（3）在（2）的条件下，有一条长度为1的线段EF落在OA上（E与点O重合，F与点A重合），将线段
EF沿x轴正方向以每秒 个单位向右平移，设移动时间为t秒，当四边形CEFP周长最小时，求t的值．
19．（2022秋•朝阳区校级月考）抛物线y＝ax2+ bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为x＝1，D为对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线y＝m与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求m的值．
20．如图，抛物线y＝﹣（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B与点C关于该抛物线的对称轴对称，已
知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（3，0）及C点；
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）当自变量x满足 时，一次函数的函数值不大于二次函数的函数值；
（3）在直线AC下方的抛物线上是否存在点P，使S ＝S ？（点P不与点B重合）若存在，请求出
△ACP △ACB
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
