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专题 13 弧长和扇形面积（综合题）
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易错点拨
知识点01：弧长公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式： (弧是圆的一部分)
细节剖析:
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ，即 ；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量： ，知道其中的两
个量就可以求出知识点02：扇形面积公式
1.扇形的定义
叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
细节剖析:
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是 1°的扇形面积是圆面积的 ，即
；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就
可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式 ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点类
似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系： .
知识点03：圆锥的侧面积和全面积
连接 叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为 ，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积 ，
圆锥的全面积 .
细节剖析:
就是圆锥的母线， 就是圆锥底面圆的周长.
因此，要求圆锥的侧面积就是求 ，全面积是由 组成的.
易错题专训
一．选择题
1．（2021•余干县校级二模）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则劣弧 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020•斗门区二模）若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积为（ ）
A．5π B．10π C．20π D．40π
3．（2022•惠阳区校级开学）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该
圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）度．
A．120° B．135° C．150° D．160°
4．（2022•五华区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DB得到扇形
DAB（阴影部分），且扇形DAB的面积为4π．若扇形DAB正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底
面圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的
长为（ ）A．6π B．2π C． π D．π
6．（2022•虞城县模拟）如图，正方形ABCD中，点O为中心，连接OA，OB，分别以C，D为圆心，以CD的
长为半径，在正方形内部作弧，两弧交于点E，连接DE，CE，分别交OA，OB于点M，N，若AB＝2，则
阴影部分的面积为（ ）
A．6﹣3 B．4﹣2 C．2﹣ D．2+
二．填空题
7．（2022•河南模拟）如图，在扇形AOB中，OA＝2，点P为 上一动点，过点P作PC⊥OA于点C，
PD⊥OB于点D，连接CD，当CD取得最大值时，扇形OAB的周长为 ．
8．（2022•曲靖模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，若CD＝2 ，CB＝2，则阴影部分的面
积是 ．
9．（2020•工业园区一模）如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，若恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ＝ ．
10．（2020秋•东莞市校级月考）如图，点C在以O为圆心的半圆内一点，直径AB＝4，∠BCO＝90°，
∠OBC＝30°，将△BOC绕圆心逆时针旋转到使点C的对应点C′在半径OA上，则边BC扫过区域（图中
阴影部分）面积为 .（结果保留π）
11．（2019•覃塘区三模）如图，扇形OAB的圆心角为直角，以OA为边作矩形OAFE，边EF交弧AB于点
D，如果图中两个阴影部分面积相等，则 ＝ ．
12．（2022•鼓楼区校级模拟）如图，AB＝12，点C，D为线段AB的三等分点，则以四段圆弧围成的阴影部
分面积为 ．13．（2022•滑县模拟）如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于 的 处且靠近
点A的位置．点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE．在CD滑动过程中
（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为 ．
14．（2021秋•沙坪坝区月考）如图，线段BD、AC互相垂直平分，以点B为圆心的圆恰经过A、D、C三个
点，以DB为直径作圆，DE＝1，则图中阴影部分面积和为 ．（结果保留π）
三．解答题
15．（2022•衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．16．（2022•荆门）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S ；
阴
（2）在扇形AOB的内部，⊙O与OA，OB都相切，且与 只有一个交点C，此时我们称⊙O为扇形AOB
1 1
的内切圆，试求⊙O的面积S．
1 1
17．（2022•海门市二模）如图，⊙O的半径为5，弦AB，CD互相垂直，垂足为点E．点F在ED上，且EF
＝EC．连接AF，∠EAF＝25°．
（1）求 的长；
（2）延长AF交⊙O于点M，连接BM．若EC＝EB，求∠AMB的度数．
18．（2021秋•亭湖区期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积＝ （弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”
指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际
面积之间存在误差．现有圆心角∠AOB为120°，弦长AB＝2 m的弧田．
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？
（取π近似值为3， 近似值为1.7）
19．（2022•高唐县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAO＝30°，AC＝8．过点O
作OH⊥AB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度．
20．（2021•雨花区校级一模）如图，点D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两
弧相交于点A，连接AB，AC，AD，点E为AD上一点，连接BE，CE．（1）求证：BE＝CE；
（2）以点E为圆心，ED长为半径画弧，分别交BE，CE于点F，G．若BC＝4，EB平分∠ABC，求图中阴
影部分（扇形）的面积．
