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九年级上册数学全册高分突破必刷密卷（培优版）
全解全析
1．B
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重
合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以不是
中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．B
【分析】根据随机事件的概率，抓到红球的概率是 ，抓到白球的概率是 ，抓到红球的概率大于抓到白球
的概率，由此即可求解．
【详解】解：抓到红球的概率是 ，抓到白球的概率是 ，
∵ ，即抓到红球的概率大于抓到白球的概率，
故选： ．
【点睛】本题主要考查随机事件的概率问题，解题的关键是计算各事件的概率．
3．D
【分析】根据中心对称的性质判断即可．
【详解】解： 与 关于点 成中心对称，
点 与 是一组对称点， ， ，
， ， 都不合题意．
与 不是对应角，
不成立．
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键．
4．C
【分析】先要把方程化成一般形式，再根据一次项的概念即可解答．
【详解】解：把一元二次方程 化成一般形式ax2+bx+c=0得：
∴一次项和常数项分别是：4．
故选C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，在一般形式 （a，b，c是常数且a≠0）中，
叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
5．B
【分析】由二次函数图象可得： ，可判断①；由对称轴 ，可判断②；将 代入函数，
求得 值，判断③；抛物线与 轴有两个交点，可判断④
【详解】解：二次函数开口向下，对称轴在 轴右侧，与 轴交在正半轴上，所以 ，即 ，故
①错；对称轴 ，即 ，所以 ，故②正确；当 时， ，故③错误；抛
物线与 轴有两个交点，所以 ，故④正确，正确的共有②④两个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象，与系数有关的代数式的符号的判定，熟记各系数符号与函数图象的关
系是解题的关键．
6．A
【分析】根据正方形为中心对称图形，可得到 ， ，根据勾股定理可得
，再由勾股定理与正方形面积关系可得 ，对二次函数关系式进行配方求出顶点式，
根据抛物线开口方向和顶点位置，即可确定函数图像大致位置．
【详解】解：已知四边形 、 为正方形
则 ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，则函数图像为抛物线，开口向上，顶点为 ，选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图像、正方形性质、勾股定理等知识，结合正方形性质与勾股定理知识列出函数关系
式是解题关键．
7．D
【分析】根据二次函数的性质即可判断．
【详解】解： 二次函数 中， ，
抛物线开口向下，对称轴为 轴，
， ，且 ，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
8．B
【分析】由旋转的性质可证 为等边三角形，当 最短， 最短， 时， 最短，由直角三角形
等面积法，即可求得．
【详解】解：由旋转的性质得， ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
当 最短， 最短，当 时， 最短，此时 ，
即 ，
在 中， ， ， ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
∴ ，
∴线段DE长度的最小值是 ，
如图，过D作 于F，∵ 为等边三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 面积的最小值为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，关键是利用旋转的性质证明 为等边三角形，把求 的最小值转化为求
的最小值．
9．C
【分析】连接 ，设正方形 的边长为a，正方形 边长为b， ，根据正方形的性质
，根据勾股定理得出 得出
把等式的左边分解因式后得出 求出 ，再代入①，即可求
出答案．
【详解】解：连接 ，设正方形 的边长为a，正方形 边长为b， ，则
，
∵四边形 和 都是正方形，
∴ ，∵半圆O的半径为10，
∴ ，
由勾股定理得：
① ②，得：
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴ ， 即 ，
把 代入①，得 ，
即正方形 的面积与正方形 的面积之和是100，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识点，能求出 是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．
10．D
【分析】①计算出三个数的平均数即可判断；②找出三个数中最大的数即可判断；③根据题意列出不等式组，解
不等式组即可判断；④根据题意得出不等式组，求解即可判断；⑤建立函数则y＝x+1，y＝（x﹣1）2，y＝2﹣x作
出三个函数的图象，利用图象即可判断．
【详解】解：①P ，故①错误；
②﹣3，﹣ ，﹣π三个数中最大的数﹣ ，故②正确；
③若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则 ，解得0≤x≤1，故③错误；
④P{2，x+1，2x}＝x+1，
若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，则min{2，x+1，2x}＝x+1，
即 ，解得x＝1，故④正确；
⑤作出y＝x+1，y＝（x﹣1）2，y＝2﹣x的图象．由图可知max{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最小值为三个函数图象的交点中，纵坐标最小的点的纵坐标，为 ，故⑤
正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一次函数、二次函数的图象与性质，比较大小以及利用已知提供信息
得出函数值的方法，此题综合性较强，读懂题目信息并理解新定义是解题的关键．
11．
【分析】根据题意可列出树状图进行求解即可．
【详解】解：由题意得：
∵有6种等可能的情况，从中一次性摸出两个球，两个球都是白球的有2种，
∴两次都摸出白球的概率是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了利用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．
12．4
【分析】根据 ，推出 ，又有 ， ，可证 ，根
据全等三角形的面积相等，将 转化为 ，得出与正方形面积S的关系．【详解】解：连接 、 ．
为正方形的中心，
，
，
，
为正方形 的中心，
，
在 和 中，
，
，
，
即 ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方边形的性质以及全等三角形的判定与性质．关键是用旋转的观点，将四边
形的面积转化为三角形的面积，得出三角形在正多边形中，所占面积的比．
13．
【分析】根据韦达定理，将两个一元二次方程根与系数的关系分别表示出来，再利用 进行求解即可．
【详解】解：根据韦达定理：在 中， ，
在 中，有两个根 、 ，所以 ，
化简为 ，即
，即 ，
，
解得
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练应用韦达定理是解题的关键．
14．1
【分析】由等边 和圆的内接四边形 可推导 ，然后通过 得出 ，
最后证明 和 全等即可得出结果．
【详解】解：如图所示，连接 、 、
是等边三角形
，
即：
为等腰三角形为等腰三角形
在 和 中，
（AAS）
故答案为：1．
【点睛】此题考查了圆的内接四边形、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理；其中熟练运用圆的
内接四边形对角互补来倒角，是解决此题的关键．
15．①②③
【分析】根据旋转的性质得到 ，证得 ，则可对①进行判断；再判断
为等边三角形，得到 ， ，则可对②进行判断；根据勾股定理的逆定理证明 为直角
三角形， ，于是利用三角形面积公式可计算出四边形 的面积 ，则可对③进行判
断；过A点作 于H点，利用 得到 ，则可计算出 ，利用勾股定
理计算出 ，接着根据等边三角形的面积公式得到 ，利用三角形面积公式计算出
，即可求出 ，则可对④进行判断．
【详解】解：∵将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 可以由 绕点A逆时针旋转 得到，故①正确；
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，故②正确；∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∴四边形 的面积
，故③正确；
过点A作 于H，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∵
∴ 四边形 的面积
∴ ，故④错误；
故答案为①②③．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性质．
16．③④
【分析】根据二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】令 则 ，即该抛物线与y轴的交点坐标是 ；
①错误；
联立 得：
∴当 时， ，抛物线与直线 有交点；
②错误；
抛物线 顶点坐标为
直线 与坐标轴交点为
∵该抛物线的顶点在直线 与坐标轴围成的三角形内（包括边界）
∴
解得
∴
③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线经过 ，且 时， ，
∴抛物线与x轴一定有一个交点在点 与 之间．故④正确；
综上所述，正确的有③④．
故答案为：③④．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建不等
式或不等式组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17． ##-4+
【分析】由题意可得AB=AC，将△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△AEC，连接PE，易证△PCE是等边三角形，
然后根据等边三角形的性质和BP2+CP2＝AP2，易证△APE是直角三角形且∠AEP=90°，继而可得∠BPC=150°，则
点P在 上运动(点B、C除外)，
过B、P、C三点作 ，在∠BPC所对的弧上取一-点G(点B、C除外)，连接OB、OC、OP、GB、GC、OD，
OD与 交于点F，根据圆内接四边形对角互补和圆周角定理可证△OBC是等边三角形，又D是AC的中点，可
得 ，则△OCD是定三角形，且OD是定值，然后根据两点之间线段最短的性质可得：
，继而可得PD的最小长度是FD的长度，在 和 中，由勾股定理分别求得
， ，然后根据 即可求得答案．
【详解】解：∵正△ABC的边长为4，P是△ABC内一点，
∴AB=AC，
将△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△AEC，如图，则CE=CP， AE=BP，∠PCE=60°，∠AEC=∠BPC，
连接PE，则△PCE是等边三角形，
∴EP=CP，∠CEP=60°，
∵BP2+CP2＝AP2，
∴AE2+EP2=AP2，
∴△APE是直角三角形且∠AEP=90°，
∴∠AEC=∠AEP+∠PEC=90°+60°=150°，
∴∠BPC=∠AEC=150°，
∴点P在 上运动(点B、C除外)，
过B、P、C三点作 ，在∠BPC所对的弧上取一点G(点B、C除外)，连接OB、OC、OP、GB、GC、OD， OD
与 交于点F，
根据圆内接四边形对角互补可得∠BPC+∠BGC=180°，
∴∠BGC=180°-∠BPC=180°-150°=30°，
∴∠BOC=2∠BGC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC=BC=4，∠OCB=60°，
∴∠OCA=∠OCB+∠ACB=60°+60°=120°，
∵D是AC的中点，
∴ ，
∴△OCD是定三角形，且OD是定值，
根据两点之间线段最短的性质可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴PD的最小长度是FD的长度，
过点D作DH⊥OC，交OC的延长线于点H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
即：PD的最小长度是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间线段最短、圆内接四边形的性质、圆
周角定理、勾股定理及逆定理等，熟练掌握相关定理和解题方法是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据旋转的性质找出对应顶点的位置，顺次连接即可；
（2）根据中心对称的性质找出对应顶点的位置，顺次连接即可．
（1）
解： 如图所示：
（2）
解： 如图所示：【点睛】本题考查作图—旋转变换与中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键．
19．(1)40，图见解析
(2)72
(3)
【分析】（1）利用喜欢书法的人数÷所占百分比求出总人数，再用总人数减去喜欢舞蹈、书法、唱歌的人数得到
喜欢绘画的人数，补全条形图即可；
（2）用360º乘以喜欢绘画的人数所占的百分比即可得出图②中表示“绘画”的扇形的圆心角；
（3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
（1）
解：12÷30%＝40；40－4－12－16＝8；
补全统计图如图所示；
（2）
解： ；
（3）
解：根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，恰好是1男1女的情况有6种，
∴P（恰好是1男1女）= ．
【点睛】本题考查条形图与扇形图的综合应用，以及利用树状图求概率．通过条形图和扇形图有效的获取信息，
准确的画出树状图是解题的关键．
20．(1)5米
(2)这些资金不能购买所需的全部地面砖【分析】（1）设操场四角的每个小正方形边长是x米，根据题意列出一元二次方程进行求解即可；
（2）根据题意列出代数式进行计算即可．
【详解】（1）解：设操场四角的每个小正方形边长是x米，则阴影部分的总长为 米，宽为
x米，
依题意得：
整理得： ，
解得： ，
又∵
∴ ，
∴ ．
答：操场四角的每个小正方形边长是5米．
（2）
（元），
∵224000元 150000元，
∴这些资金不能购买所需的全部地面砖．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确地列出方程是解题的关键．
21．(1)
(2)①m= ；②m=-3
【分析】（1）根据对称轴x=1= ，确定b=2，把点A（-1，0）代入解析式确定c值即可．
（2）①设P( ， )，Q( ， )，则 、 是一元二次方程 的两个根，确定 + =2-m，
=4；根据 的面积为 ，得到 即 ，利用建立等式计算即可．
②根据 ，直线解析式变形为y=mx-3m=m(x-3)，从而判定直线过定点（3，0），故点P与点B重合，确定
直线CP的解析式为y=-x+3，从而确定与对称轴x=1的交点坐标，继而确定直线AQ的解析式，联立抛物线的解析
式，确定Q的坐标，代入直线解析式即可确定m的值．
（1）
解：因为抛物线 的对称轴为直线 ，
所以x=1= ，
所以b=2，
所以抛物线变形为 ，
把点A（-1，0）代入上式，得 ，
解得：c=3，
所以抛物线的解析式为 ．
（2）
解：①设P( ， )，Q( ， )，直线为y=mx+7，抛物线的解析式为 ，
所以 、 是一元二次方程 即 的两个根，
所以 + =2-m， =4；CH=OH-OC=7-3=4，
因为 ， 的面积为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得m= 或m= ，
因为m＜0，所以m= 舍去，
所以m= ．
②因为 ，所以直线解析式变形为y=mx-3m=m(x-3)，
故 ，
解得 ，
故不论m取何值，直线过定点（3，0），
故点P与点B重合，
设直线CP的解析式为y=kx+3，
所以3k+3=0，
解得k=-1，
所以直线CP的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=2，
所以直线与对称轴x=1的交点坐标为（1，2），
设直线AQ的解析式为y=px+q，
所以 ，
解得 ，
所以直线AQ的解析式为y=x+1，
所以 ，
解得 ， ，
所以Q的坐标为（2，3），
把点Q（2，3）代入解析式y=mx-3m=m(x-3)，得
3=-m即m=-3．
【点睛】本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数与抛物线的交点问题，抛物线与一元二次方程的关系，完全
平方公式，方程组的解法，熟练掌握抛物线与一次函数、一元二次方程的关系是解题的关键．22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出 ，根据圆周角定理得出 ，据此即可得解；
（2）作 于 ，连接 ．只要证明 是等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）连 ，过F作 于G，
则
∵
∴
∴
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，∴ ，
∴ ，
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
23．(1)A（﹣1，0），B（3，0）；
(2)满足条件的点D的横坐标为0， ，
(3)
【分析】（1）令y＝0，可得 ，解得x＝3或﹣1，即可得出点A、B的坐标；
（2）先求出直线AC的解析式为y＝x+1，再分点D在AC的下方时及两种情况进行讨论，分别求出点D的横坐标；
（3）先求出 ，再求出二次函数 当x=1时，y取得最小值，且 ，
从而可得 ，求出S与 的函数关系式，并根据最值求出n的取值范围．
（1）
令y＝0，得 ，
解得x＝3或﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
故答案为：（﹣1，0），（3，0）；
（2）
当m=1时， ，
∵OP＝OA＝1 ，
∴P（0，1），
∴直线AC的解析式为y＝x+1，
①若点D在AC的下方时，
过点B作AC的平行线与抛物线交点即为∵B（3，0）， ，
∴直线 的解析式为y＝x﹣3，
由 ，解得 或 ，
∴ （0，﹣3），
∴ 的横坐标为0；
②若点D在AC的上方时，点 关于点P的对称点G（0，5），
过点G作AC的平行线l交抛物线于点 符合条件，
直线l的解析式为y＝x+5，
由 ，
可得 ，解得x＝ 或 ，
∴ 的横坐标为 ， ，
综上所述，满足条件的点D的横坐标为0， ， ，
（3）
当OE=2OA时，3m=2，
∵ ，开口向上，
∴当x=1时，y取得最小值，且 ，
又∵ 是抛物线上任意一点，
∴ ，
令 ，
∵ ，开口向下，对称轴为直线 ，
，
∴当 时，S取得最大值，且 ，
∵ 恒成立，
∴ ，
得
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的斜边中线性质、二次函数的性质、一元一次不等式及一元二次方程等
知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
24．(1) ，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用等式的性质得出 ，再证明 ，即可得出结论；
（2）利用等腰直角三角形的性质，证 是直角三角莆，然后利用勾股定理求CD长，再证 ，
得出 ，即可求解；
（3）将 绕点C顺时针旋转 ，得 ， 交 于F，连接AE，先证 是等边三角形，再证
是直角三角形，由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解： ，
证明： ，
，
，
在 和 中，
，
（2）解：∵等腰直角 和等腰直角 ，
， ， ，
在等腰直角 ，由勾股定理，得
，
∵ ，
，
在直角 ，由勾股定理，得
∴ ，即 ，
在 和 中，，
；
（3）解： ， ，
是等边三角形，
∴ ， ，
将 绕点C顺时针旋转 ，得 ， 交 于F，连接AE，如图3，
，
是等边三角形，
∴ ，
在直角 ，由勾股定理，得
，
∴ ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练等
边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质是解题词的关键．
25．(1)
(2)
(3) 的长为 或
【分析】（1）连接 ，得出 ，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得 的长，继
而求得 的长；（2）连接 ，设线段 交 于点 ，过点 作 于 ，得出四边形 是矩形，根据垂径定理以
及进行的性质得出 ，在 中，勾股定理求得 ， 中，勾股定理求得 ，即可求得
点 的坐标；
（3）分类讨论，①当 在 点上方时，过点 作 于点 ，连接 ，根据90度角所对的弦是直径，得
出 是 的直径，进而勾股定理求得 ，垂径定理求得 ，在 中，得出 ，在 中求得
，继而根据 即可求解；②当 点在 点下方时，过点 作 ，同一法证明点 重合，
进而垂径定理即可求解．
【详解】（1）如图，连接 ，
∵边 恰好与 相切于点 ，
∴
∵
∴
∴
∴ 中， ,
∴
∴ ,
故答案为： ；
（2）如图，连接 ，设线段 交 于点 ，过点 作 于 ，∵ 边与 相切于点 ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ,
∵
∴
∴
在 中，
∴ ,
∴ ，
∴ 中， ,
∴ ，
（3）解：①如图，当 在 点上方时，过点 作 于点 ，连接∵
∴ 是 的直径，
∴
∵
在 中， ，
∵
∴ ,
在 中，
∵
∴
在 中，
∴
②当 点在 点下方时，如图，
∵
∴ 是 的直径，
∴
∵
在 中， ，
过点 作 ，
∴在 中， ，
∵
∴
∴ ，即点 重合，
∴
∴
