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3.4 圆周角和圆心角的关系
第1课时 圆周角和圆心角的关系
教学内容 第1课时 圆周角和圆心角的关系 课时 1
1.经历探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系的过程.
核心素养
2.理解圆周角的概念、了解并证明圆周升定理及其推论.
目标
3.体会分类、归纳等数学思想方法，
1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；
知识目标 2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．
教学重点 理解圆周角的概念；掌握圆周角与圆心角之间的关系定理.
教学难点 圆周角和圆心角关系定理的证明.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境 一、创设情境，导入新知
导入 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角.
顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角，
如∠BOC.
在射门过程中，球员射中球门的难易与它所处的
设计意图：
位置 B 对球门 AC 的张角（∠ABC）有关.
从生活中的实例入手，让
学生经历观察、分析，抽
象出图形的共同属性，得
出圆周角定义，理解圆周
角概念的本质.
问题2 图中的三个张角∠ABC、∠ADC 和
∠AEC 的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和
圆是什么关系？
师生活动：
学生各抒己见，谈自己的看法.
预设：顶点在☉O上，角的两边分别与 ☉O 相
交.
二、探究
新知
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆
相交的角叫做圆周角.
例如：∠ACB.
（两个条件必须同时具备，缺
一不可）
做一做 设计意图：
1.下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由. 加强学生对圆周角的理
解. 注意顶点在圆上，并
且两边都与圆相交的角叫
做圆周角，两个条件必须
同时具备，缺一不可.
1知识点二：圆周角定理及其推论
当球员在 B，D，E 处射门时，他所处的位置对
球门 AC 分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，
∠AEC . 这三个角的大小有什么关系？
设计意图：
通过这种具有探索性与挑
做一做
战性的活动，培养学生独
如图，∠AOB = 80°.
立思考、合作交流的能
（1）请你画出几个 所对的圆周角，这几个
力，渗透归纳思想，初步
圆周角有什么关系？与同伴进行交流.
认识圆周角和圆心角这三
种位
三、当堂 提示：思考圆周角和圆心角有 置关系.
练习，巩 几种不同的位置关系？
固所学
（2）这些圆周角与圆心角
∠AOB 的大小有什么关系?
师生活动：
学生在小组内交流、汇总，并在全班交流，补充.
教师投影展示学生所发现的几种位置关系，并让
其他小组补充.
设计意图：
如果直接进行圆周角定理
的证明，可能有一定困
议一议 难。通过圆周角和圆心角
改变圆心角∠AOB 的度数，上述结论还成立 关系的探索、讨论、交
吗？ 流，初步认识同弧所对的
圆周角是它所对圆心角的
2一半，为下面圆周角定理
证明打好桥铺好路。
师生活动：
教师引导学生画图发现.
学生画图、观察、测量、猜想
情况一：圆心 O 在∠C 的一边上 (特殊情形)
证明：(1) 圆心 O 在∠C 的一条边上，如图.
∵ ∠AOB 是△AOC 的外角，
∴ ∠AOB = ∠A +∠C.
∵ OA = OC，∴ ∠A =∠C.
∴ ∠AOB = 2∠C，
设计意图：充分给予学生
探索与交流的时间和空
间，体会将一般情况转化
成特殊情况的思维过程，
理解添加辅助线的必要
性，达到突破难点的目
的。
合作探究
试一试：你能完成另两种情况的证明吗？
教师提示：能否转化为第一种情况？
师生活动：学生小组讨论交流圆周角定理推
理过程学生代表讲解推理过程：
情况二：圆心 O 在∠C 的内部
情况三：圆心 O 在∠C 的外部
3教师总结概括：先特殊，再一般，转化思
想。圆心在内部时转化为两个角的和，圆心在外
部时转化为两个角的差。
出示圆周角定理：圆周角的度数等于它所对
弧上的圆心角度数的一半
设计意图：通过观察度
给学生一分钟时间体会反思圆周角定理的证
量、实验操作、图形变
明过程
换、推理来探索图形的性
归纳总结
质，从而让学生学会分析
问题和解决问题的方法．
另外，尽可能地从教学语
言的三种形态“文字语
言、图形语言、符号语
言”进行描述，以强化对
圆周角定理：
数学知识的学习与理解，
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
加强数学语言的运用与表
达．
想一想
在上面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射
门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC
的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的
结论吗？
学生画图、测量、比较、发现、猜想.再试一试，
并在小组内交流，归纳总结，最后在全班交流.
设计意图：加强学生对圆
周角定理推论的理解和运
用.
师追问：圆上一条弧所对的圆周角能做出几个？
它们之间有什么关系？
如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？
教师总结概括圆周角定理推论：同弧或等弧所对
的圆周角相等
典例精析
例1 如图，OA、OB、OC 都是 ⊙O 的半径，
∠AOB = 50°， ∠BOC = 70°.求∠ACB 和
∠BAC 度数.
设计意图：通过练习使学
4生熟练地掌握圆周角与圆
心角的关系。让学生了解
要找出圆周角与圆心角的
关系，就必须找出它们所
对的同一条弧。
师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总
结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，
加以指导.
三、当堂练习，巩固所学
1. 判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等
（ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）
1. 已知 △ABC 的三个顶点在 ⊙O 上，∠BAC
= 50°，∠ABC = 47°，
则 ∠AOB = ．
3. 如图，已知圆心角
∠AOB = 100°，则圆周
角∠ADB = .
4.如图，△ABC 的顶点 A、B、C都在 ⊙O
上，∠C＝30°，AB＝2，则 ⊙O 的半径是
.
圆周角和圆心角的关系
1．圆周角的概念
板书设计 2．圆周角定理
3．圆周角定理的推论
5课后小结
本节课的重点是圆周角与圆心角的关系，难点是应用所学知识灵活解
题．在本节课的教学中，学生对圆周角的概念和“同弧所对的圆周角相等”
这一性质较容易掌握，理解起来问题也不大，而对圆周角与圆心角的关系理
教学反思
解起来则相对困难，因此在教学过程中要着重引导学生对这一知识的探索与
理解．还有些学生在应用知识解决问题的过程中往往会忽略同弧的问题，在
教学过程中要对此予以足够的强调，借助多媒体加以突出.
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