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专题 06 二次函数最值问题（综合题）
易错题专训
一．选择题
1．（2022春•武邑县校级期末）如图，在正方形 ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边
BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三
个结论，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：△OEF始终是等腰直角三角形；
结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；
结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．
A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错 B．结论Ⅰ和Ⅲ都对，结论Ⅱ错
C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错 D．三个结论都对
2．（2022春•台江区校级期末）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2的最小
值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣6 D．2
3．（2022•嘉兴）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为
9，则c的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（2022春•晋州市校级期末）（2023秋•庐阳区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝
，点E是线段 AD的三等分点（AE＜ED），动点 F从点D出发向终点 E运动，以 BF为边作等边
△BFG，在动点F运动的过程中，阴影部分面积的最小值是（ ）A． B． C． D．
5．（2022•贺州）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022•碑林区校级三模）已知二次函数 y＝﹣x2+bx+c，当x≤0时，函数的最大值为1；当x＞0时，函
数的最大值为2，则b+c的值为（ ）
A．3 B．1 C．﹣3 D．﹣1或3
7．（2021•罗湖区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），
∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝ BE，CF与AD相交于点G，点H在BC，且BH＝BE，连
接EC，EF，EG，EH．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG 的周长为 a；③BE2+DG2＝EG2；
④△EAF的面积的最大值是 a2；⑤当BE＝ a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
二．填空题
8．（2022•姑苏区校级一模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），
A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在
AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x
轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 ．9．（2022•南岗区校级模拟）二次函数y＝x2+4x﹣7的最小值为 ．
10．（2022•六盘水）如图是二次函数y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是 ．
11．（2022春•荔湾区期末）已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为
边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）．且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在
点E，F运动的过程中，有下列四个说法：①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是1；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是 ；④四边形OECF的面积是1．其中正确的是
．
12．（2022春•碑林区校级期中）如图，在四边形 ABCD中，AB＝BC＝2 ，∠B＝60°，∠D＝120°，点
E为四边形ABCD边上一点，当四边形ABCD面积最大时，过点A且平分该四边形ABCD面积的分割线
段AE的长为 ．13．（2021秋•吴兴区期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连结CE，以CE为
边向右上方作正方形CEFG，过点F作FH⊥AD，垂足为H，连结AF．在整个变化过程中，△AEF面积
的最大值是 ．
14．（2021秋•嘉祥县期末）如图，已知边长为12的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重
合），连接 AE，G 是 BC 延长线上的点，过点 E 作 AE 的垂线交∠DCG 的角平分线于点 F，若
FG⊥BG，则△CEF的最大面积为 ．
15．（2022•砀山县模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a
（1）若a＝1，则函数y的最小值为 ．
（2）若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为 ．
三．解答题
16．（2022春•涪陵区校级期中）已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点
E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．
（1）若DG＝2，求证四边形EFGH为正方形；
（2）若DG＝6，求△FCG的面积；
（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．17．（2022•宿豫区校级开学）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝
OC．点D、E为直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方．当四边形ACDE的周长最小
时，求点E的坐标．
18．（2022春•雁塔区校级期末）已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点
E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．
（1）若DG＝2，则四边形EFGH的形状为 ．
（2）若DG＝5，求△FCG的面积．
（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小，并求这个最小值．19．（2022春•宣州区校级期中）如图，在Rt ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开
始沿AB边向点B移动，速度为1cm/s；点△Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cm/s，点P、Q
分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．
（1）几秒时，PQ的长度为3 cm？
（2）几秒时，△PBQ的面积为8cm2？
（3）当t（0＜t＜5）为何值时，四边形APQC的面积最小？并求这个最小值．
20．（2022•香洲区一模）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝8cm，点D是AB中点，连
接CD，动点P从点C出发以 cm△/s的速度向终点D运动．过点P作PE⊥BC于E，以PE、PD为邻边
作平行四边形PDFE．设点P的运动时间为t（s），平行四边形PDFE的面积为S（cm2）．
（1）求CD的长；
（2）求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值．
