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培优专题 22 统计与概率的综合应用
【巩固训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型
号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾
用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜
色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据
图中信息，解答下列问题：
用过的餐巾纸投放情况统计图：
(1)此次调查一共随机采访了______名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为_____ ；
(2)补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
(3)若该校有4000名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
(4)李老师计划从 ， ， ， 四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法
或列表法求出恰好抽中 ， 两人的概率．
【答案】(1)200，198
(2)见解析
(3)320人
(4)
【分析】（1）由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以投放灰色垃圾桶的人数所占比例；
（2）根据投放四种垃圾桶的人数之和等于总人数求出绿色部分的人数，从而补全图形；
（3）用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数占被调查人数的比例即可；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中A，B两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
（1）
解：此次调查一共随机采访学生44÷22%=200（名），
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 ，
故答案为：200，198；
（2）
解：绿色部分的人数为200-（16+44+110）=30（人），补全图形如下：
（3）
解：估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数 （人）；
（4）
解：列表如下：
A B C D
A (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D)由表格可知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的有2种结果，
所以恰好抽中A，B两人的概率为 ．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图，用到的知识点为：概率=所
求情况数与总情况数之比，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
2．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间
开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学
校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动 舞蹈 篮球 围棋 足球
人数 50 30 80
参加四个社团活动人数扇形统计图
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)抽取的学生共有 人，其中参加围棋社的有 人；
(2)若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
(3)某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表
法说明恰好抽到一男一女的概率．
【答案】(1)200，40
(2) 人
(3)
【分析】（1）用足球的人数除以足球所占的百分比，即可求得样本容量，进而求出参加围棋社的人数．
（2）先求出参加篮球社的学生所占百分比，再乘以3200，即可得出答案．
（3）用树状图表示3男2女共5名学生，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，所有可能出现的结果
情况，进而求出答案即可．（1）
抽取的学生共有： （人）,
参加围棋社的有： （人）;
（2）
若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有
（人）,
（3）
设事件 为：恰好抽到一男一女
所有等可能出现的结果总数为20个，事件 所含的结果数为12个
恰好抽到一男一女概率为 ．
【点睛】本题主要考查了读统计表与扇形图的能力和利用图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，
必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了利用树状图或列表法求概
率．
3．（2021·甘肃·模拟预测）经典国学著作是中华民族文化教育的庞大载体，是民族生存的根基，为进一步
培养学生的人文素养，某校举办了以“弘扬传统文化，品经典国学”为主题的诵读比赛，分“单人项目”
和“双人项日”两种形式，诵读的篇目有四种类型：A．人生管理；B．家国情怀；C励志劝勉；D．山明
水秀，且每种类型包含的篇目数相同，参赛者需从中随机抽取一篇进行诵读．
(1)若小甘参加“单人项目”，求他抽中的篇目恰好属于“B．家国情怀”的概率；
(2)张帆和李欣参加“双人项目”，比赛规定：同一小组的两名同学的篇目类型不能相同，且每人只能抽取
一次，求他们恰好抽到“A、人生管理”和“C励志劝勉”类篇目的概率是多少？（画树状图或列表求
解）【答案】(1)他抽中的篇目恰好属于“B．家国情怀”的概率为
(2)他们恰好抽到“A、人生管理”和“C励志劝勉”类篇目的概率为
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
（1）
解：他抽中的篇目恰好属于“B．家国情怀”的概率为 ；
（2）
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中他们恰好抽到“A、人生管理”和“C励志劝勉”类篇目的结果数为2；
所以他们恰好抽到“A、人生管理”和“C励志劝勉”类篇目的概率为 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选
出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
4．（2022·河南郑州·七年级期末）如图为计算机“扫雷”游戏的画面，在 个小方格的雷区中，随机地
埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．(1)小明如果踩在 个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是______；
(2)如图，小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字3，它表示与这个小方格相邻的8个小方格（图中黑框
所围区域，设为A区域）中埋藏着3颗地雷．
①若小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地面的概率是______；
②小明和小亮约定：若第二步选择踩在A区域内的小方格，不踩雷则小明胜；若选择踩在A区域外的小方
格，不踩雷则小亮胜，请用所学的概率的知识，通过计算来说明这个约定对谁有利．
【答案】(1)
(2)① ；②这个约定对小亮有利，理由见解析．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）①直接利用概率公式计算； ②根据概率公式，分别计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后比较
两概率的大小即可得到这个约定对谁有利．
（1）
解：小明如果踩在9×9个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率为 ；
故答案为： ；
（2）
①小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地雷的概率= ；故答案为： ；
②小明胜的概率= ，小亮胜的概率=
∵ ，
∴小亮胜的机会大， 即这个约定对小亮有利．
【点睛】考查了概率的计算公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．（2022·河南省实验中学八年级开学考试）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的
面积，小明设计了一个如下方法：
①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆．
②在此封闭图形旁边闭上眼晴向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 500 …
小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 203 …
小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数
29 91 176 293 …
n
m∶n 0.689 0.694 0.689 0.706
(1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m∶n的值越来越接近 （结果精确到0.1）．
(2)若以小石子所落的有效区域为总数（即m＋n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）
的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）．
(3)请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留 ）
【答案】(1)0.7
(2)0.4
(3)封闭图形的面积为10π平方米．
【分析】（1）根据提供的m和n的值，计算m：n后即可确定二者的比值逐渐接近的值；
（2）大量试验时，频率可估计概率；（3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积．
（1）
解：20÷29≈0.69；
59÷91≈0.65；
123÷176≈0.70，
…
当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7；
故答案为：0.7；
（2）
解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4，
故答案为：0.4；
（3）
解：设封闭图形的面积为a，根据题意得： =0.4，
解得：a=10π，
答：封闭图形的面积为10π平方米．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所
求情况数与总情况数之比．
6．（2022·江苏·兴化市乐吾实验学校八年级阶段练习）自2009年以来，“中国·兴化千垛菜花旅游节”享
誉全国．“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”所描绘的就是我市发达的油菜种植业．为了解某品种油菜
籽的发芽情况，农业部门从该品种油菜籽中抽取了6批，在相同条件下进行发芽试验，有关数据如下：
批次 1 2 3 4 5 6
油菜籽粒数 100 400 800 1000 2000 5000
发芽油菜籽粒
318 652 793 1604 4005
数
发芽频率 0.850 0.795 0.815 0.793 0.801
(1)分别求 和 的值；
(2)请根据以上数据，直接写出该品种油菜籽发芽概率的估计值（精确到0.1）；
(3)农业部门抽取的第7批油菜籽共有8000粒．请你根据问题（2）的结果，通过计算来估计第7批油菜籽
在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数．【答案】(1) ，
(2)该品种油菜籽发芽概率的估计值为0.8
(3)估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数为6400粒
【分析】（1）用油菜籽粒数乘以发芽频率求得a的值，用发芽油菜籽粒数除以油菜籽总数即可求得b的值；
（2）观察大量重复试验发芽的频率稳定到哪个常数附近即可用哪个数表示发芽概率；
（3）用油菜籽总数乘以发芽概率即可求得发芽粒数．
（1）
a=100×0.850=85，b= =0.802；
（2）
∵观察表格发现发芽频率逐渐稳定到0.8附近，
∴该品种油菜籽发芽概率的估计值0.8；
（3）
8000×0.8=6400，
答：估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数为6400．
【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解：大量反复试验下频率稳定值即概率．用到
的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
