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专题 16 用频率估计概率（综合题）
知识互联网
易错点拨
知识点：利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来
估计概率.
细节剖析：
用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精
确.
易错题专训
一．选择题
1．（2021•商河县校级模拟）如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：
①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正
面向上”的概率是0.5；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．
其中合理的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①③
【思路引导】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可
以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．
【完整解答】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率
不一定是0.47，故错误；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正
面向上”的概率是0.5，故正确；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．
故选：B．
2．（2021•贵阳模拟）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，
它的成活率如下表所示：
移植棵数 成活数（m） 成活率 移植棵数 成活数（m） 成活率
（n） （m/n） （n） （m/n）
50 47 0.940 1500 1335 0.890
270 235 0.870 3500 3203 0.915
400 369 0.923 7000 6335 0.905
750 662 0.883 14000 12628 0.902
下面有四个推断：
①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成
活的概率是0.900；
③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；
④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．
其中合理的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【思路引导】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以
估计树苗成活的概率是0.900，据此进行判断即可．
【完整解答】解：①当移植的树数是1 500时，表格记录成活数是1 335，这种树苗成活的概率不一定
是0.890，故错误；
②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成
活的概率是0.900，故正确；
③若小张移植10 000棵这种树苗，则可能成活9 000棵，故正确；
④若小张移植20 000棵这种树苗，则不一定成活18 000棵，故错误．
故选：C．
3．（2019秋•海陵区校级期末）下列说法：①概率为0的事件不一定是不可能事件；②试验次数越多，某
情况发生的频率越接近概率；③事件发生的概率与实验次数有关；④在抛掷图钉的试验中针尖朝上的概
率为 ，表示3次这样的试验必有1次针尖朝上．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
【思路引导】①根据不可能事件发生的概率为0，但是概率为0的事件不一定是不可能事件；
②试验次数越多，某情况发生的频率越接近概率；
③事件发生的概率与实验次数无关；
④在抛掷图钉的试验中针尖朝上的概率为 ，是偶然事件，不一定3次这样的试验必有1次针尖朝上．
【完整解答】解：①不可能事件发生的概率为0，但是概率为0的事件不一定是不可能事件，还有可能
是检测的手段问题，不能说明该事件是不可能事件，这个和测度论有关，
所以①正确；
②试验次数越多，某情况发生的频率越接近概率，正确；
③事件发生的概率与实验次数有关，错误；
④在抛掷图钉的试验中针尖朝上的概率为 ，是偶然事件，不一定3次这样的试验必有1次针尖朝上，故本选项错误；
故选：A．
4．（2019秋•福田区校级期末）下列四种说法：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②将2020减去它的 ，再减去剩下的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 …依次减下去，一直到减去
余下的 ，结果是1；
③实验的次数越多，频率越靠近理论概率；
④对于任何实数x、y，多项式x2+y2﹣4x﹣2y+7的值不小于2．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路引导】①根据平行线的性质即可判断；
②根据题意列出算式，进行化简计算即可；
③利用频率估计概率的方法即可判断；
④根据配方法先将多项式进行配方，再利用非负数的性质进行计算即可．
【完整解答】解：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故①错
误；
②将2020减去它的 ，再减去剩下的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 …依次减下去，一直到减去
余下的 ，结果是1，正确，
∵2020×（1﹣ ）×（1﹣ ）×（1﹣ ）×…×（1﹣ ）
＝2020× × × ×…× ×
＝2020×
＝1．
故②正确；
③实验的次数越多，频率越靠近理论概率，故③正确；
④对于任何实数x、y，多项式x2+y2﹣4x﹣2y+7的值不小于2，正确，
∵x2+y2﹣4x﹣2y+7
＝x2﹣4x+4+y2﹣2y+1+2＝（x﹣2）2+（y﹣1）2+2，
∵（x﹣2）2≥0，（y﹣1）2≥0，
∴（x﹣2）2+（y﹣1）2+2≥2，
故④正确．
其中正确的个数是3．
故选：C．
5．（2022•珙县校级模拟）在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有60个．同
学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【思路引导】设红球个数为x个，根据概率公式列出方程，然后求解即可得出答案．
【完整解答】解：设红球个数为x个，
根据题意得： ＝0.25，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
则袋中红球个数可能为20个．
故选：B．
6．（2021秋•黔江区期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其
他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在 15%和35%，则
口袋中白色球的个数可能是（ ）
A．6个 B．14个 C．20个 D．40个
【思路引导】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率＝频数计算白球的个数，即可
求出答案．
【完整解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和35%，
∴摸到白球的频率为1﹣15%﹣35%＝50%，
故口袋中白色球的个数可能是40×50%＝20（个）．
故选：C．
7．（2021秋•下城区期中）在一个不透明的布袋中装有45个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，
小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.4左右，则
布袋中黑球的个数可能有（ ）
A．18 B．27 C．36 D．30【思路引导】由摸到黑球的频率稳定在0.4附近得出口袋中得到黑色球的概率，进而求出黑球个数即可．
【完整解答】解：设袋子中黑球的个数为x，
根据题意，得： ＝0.4，
解得x＝30，
经检验x＝30是分式方程的解，
所以袋子中黑球的个数为30，
故选：D．
二．填空题
8．（2018秋•定西期末）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷啤酒瓶盖的方法估计落地时
瓶盖“正面朝上”的概率，其试验次数分别为 10次、50次、100次、500次，其中试验相对科学的是
丁 组．
【思路引导】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率
的估计值．
【完整解答】解：根据模拟实验的定义可知，实验相对科学的是次数最多的丁组．
故答案为：丁．
9．（2021秋•鼓楼区校级期末）在一个不透明的袋子里，装有6枚白色球和若干枚黑色球，这些球除颜色
外都相同．将袋子里的球摇匀，随机摸出一枚球，记下它的颜色后再放回袋子里．不断重复这一过程，
统计发现，摸到白色球的频率稳定在0.2，由此估计袋子里黑色球的个数为 2 4 ．
【思路引导】设袋子里黑色棋子的个数为x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【完整解答】解：设袋子里黑色棋子的个数为x个，根据题意得：
＝0.2，
解得：x＝24，
经检验：x＝24是分式方程的解，
估计袋子里黑色棋子的个数为24个．
故答案为：24．
10．（2021秋•南开区期末）在一个暗箱里放有m个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的个数，
再放入3个同白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记
下颜色后再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 25%，推算m的值大约是 9
．
【思路引导】黄球的个数除以它占总数的比例即为球的总数m．【完整解答】解：m＝3÷25%﹣3＝12﹣3＝9，
故答案为：9．
11．（2022•西湖区一模）植树节过后，历下区园林绿化管理局为了考察树苗的成活率，于是进行了现场
统计，表中记录了树苗的成活情况，则由此估计这种树苗成活的概率约为 0.9 （结果精确到
0.1）．
移植总数n 400 1500 3500 7000 9000 14000
成活数m 369 1335 3203 6335 8073 12628
0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
成活的频率
【思路引导】用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【完整解答】解：根据表格数据可知：树苗移植成活的频率近似值为0.9，
所以估计这种树苗移植成活的概率约为0.9．
故答案为：0.9．
12．（2022•茶陵县模拟）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出
一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次
实验的结果．
下面有四个推断：
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在 0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计
“摸到红球”的概率是0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．
所有合理推断的序号是 ②③ ．
【思路引导】根据概率公式和给出的摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【完整解答】解：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率接
近0.33，故本选项推理错误；②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在 0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计
“摸到红球”的概率是0.35，故本选项推理正确；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球20×0.35＝7（个），故本选项推理正确；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率也是0.35，故本选项推理错
误．
故答案为：②③．
13．（2021•顺义区二模）同学们设计了一个用计算机模拟随机重复抛掷瓶盖的实验，记录盖面朝上的次
数，并计算盖面朝上的频率，下表是依次累计的实验结果．
抛掷次数 500 1000 1500 2000 3000 4000 5000
盖面朝上次数 275 558 807 1054 1587 2124 2650
盖面朝上频率 0.550 0.558 0.538 0.527 0.529 0.531 0.530
下面有两个推断：①随着实验次数的增加，“盖面朝上”的频率总在0.530附近，显示出一定的稳定性，
可以估计“盖面朝上”的概率是0.530；②若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“盖
面朝上”的频率不一定是0.558．其中合理的推断的序号是： ①② ．
【思路引导】根据用频率估计概率解答即可．
【完整解答】解：①随着实验次数的增加，“盖面朝上”的频率总在0.530附近，显示出一定的稳定性，
可以估计“盖面朝上”的概率是0.530，此推断正确；
②由于每次实验呈现的结果不同，若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为 1000时，“盖面朝
上”的频率不一定是0.558，此推断正确；
故答案为：①②．
三．解答题
14．（2018•盘龙区二模）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组
做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行
中的一组统计数据：
摸球的次数n 2048 4040 10000 12000 24000
摸到白球的次数m 1061 2048 4979 6019 12012
0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
摸到白球的频率
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 0. 5 ；（精确到0.1）
（2）试估算口袋中白球有多少个？
（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率．
【思路引导】（1）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.5；
（2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.5，然后利用概率公式计算白球的个数；
（3）先利用列表法展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸到的球颜色相同的结果数，然后根据
概率公式求解．
【完整解答】解：（1）由题可得，当n很大时，摸到白球的频率接近0.5；
故答案为：0.5；
（2）由（1）摸到白球的概率为0.5，
所以可估计口袋中白种颜色的球的个数＝4×0.5＝2（个）；
（3）列表得：
白1 白2 黑1 黑2
第二次
第一次
白1 （白1，白1） （白1，白 （白1，黑1） （白1，黑
2） 2）
白2 （白2，白1） （白2，白 （白2，黑1） （白2，黑
2） 2）
黑1 （黑1，白1） （黑1，白 （黑1，黑1） （黑1，黑
2） 2）
黑2 （黑2，白1） （黑2，白 （黑2，黑1） （黑2，黑
2） 2）
由列表可得，共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有8种可能．
∴P（颜色相同）＝ ＝ ．
15．（2022春•峄城区期末）下面是某学校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行
研究时所得到的数据：
试验的种子 500 1000 1500 2000 3000 4000
数n
发芽的粒数 471 946 1425 1898 2853 3812
m
0.942 0.946 x 0.949 y 0.953
发芽频率
（1）求表中x，y的值；
（2）任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率约是多少？（精确到0.01）
（3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育．【思路引导】（1）根据发芽频率＝ ，代入对应的数值即可；
（2）根据概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越
接近于概率；
（3）根据（2）中的概率，可以用发芽棵树＝幼苗棵树×概率可得出结论．
【完整解答】解：（1）x＝ ＝0.950；y＝ ＝0.951；
（2）概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近
于概率；
∴这种种子在此条件下发芽的概率约为0.95．
（3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600棵，需要准备 ＝8000（粒）种子进行发芽培育．
16．（2020•罗湖区模拟）为了研究高致病传染病传播的数学模型，某医疗科研机构利用小球进行模拟试
验．在一个方框中，先放入足够多的白球模拟健康人，后在其中同时放入若干红球模拟最初感染人；程
序设定，每经过一分钟，每个红球恰能使方框中x个白球同时变成红球（x为程序设定的常数，红球颜
色保持不变）．若最初放入的红球数为6，从此刻开始，恰2分钟后，红球总数变为了96个．
（1）求x的值；
（2）若方框中，最初共有500个白球，每个球都能在方框中随机自由运动，且每个白球“被感染”
（即变为红球）的可能性都相同，则从放入红球开始，恰好 3分钟后，白球的个数为 122 个；每个
白球“被感染”（变为红球）的概率是 0.75 6 ．
【思路引导】（1）原有6个红球，1分钟后红球数为（6+6x）个，2分钟新增加的红球数为x（6+6x）
个，由2分钟后，红球总数变为了96个列方程可得结论；
（2）先根据（1）可计算3分钟后红球总数为：96×（1+x），可得白球个数，最后根据新变成红球数
÷500可得每个白球“被感染”（变为红球）的概率．
【完整解答】解：（1）根据题意得：6x+6+x（6x+6）＝96，
解得：x＝﹣5（舍），x＝3；
1 2
（2）3分钟后红球个数为：96（1+3）＝384（个），
所以白球个数为500+6﹣384＝122（个），
每个白球“被感染”（变为红球）的概率是： ＝ ＝0.756，
故答案为：122，0.756．
17．（2020•丰泽区校级模拟）由于空气污染严重，某工厂生产了两种供人们外出时便于携带的呼吸装置，其质量按测试指标划分：指标大于等于88为优质产品，现随机抽取这两种装置各100件进行检测，检
测结果统计如表：
测试指标分组 [70，76） [76，82） [82，88） [88，94） [94，100]
频数 装置甲 8 12 40 32 8
装置乙 7 18 40 29 6
（1）试分别估计装置甲、装置乙为优质品的概率；
（2）设该厂生产一件产品的利润率y与其质量指标的关系式为 ，根据以上统计数
据，估计生产一件装置乙的利润率大于0的概率，若投资100万生产装置乙，请估计该厂获得的平均利
润；
（3）若投资100万，生产装置甲或装置乙中的一种，请分析生产哪种装置获得的利润较大？
【思路引导】（1）根据频数求比值，得到估计装置甲、装置乙为优质品的概率；
（2）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，进而可估计该厂获得
的平均利润；
（3）比较生产装置甲或装置乙获得的利润，即可得出结论．
【完整解答】解：（1）装置甲为优质品的概率： ＝0.4；
装置乙为优质品的概率： ＝0.35；
（2）设装置乙的利润率为w，则w的可能取值为﹣2，2，4，
∵当t＜76时，即w＝﹣2时，P＝ ＝0.07，
当76≤t＜88时，即w＝2时，P＝ ＝0.58，
当t≥88时，即w＝4时，P＝0.35，
∴估计生产一件装置乙的利润率大于0的概率为P＝0.58+0.35＝0.93；
∵w＝﹣2×0.07+2×0.58+4×0.35＝2.42，
∴投资100万生产装置乙，估计该厂获得的平均利润为242万；
（3）设装置甲的利润率为m，则m的可能取值为﹣2，2，4，
∵当t＜76时，即w＝﹣2时，P＝0.08，
当76≤t＜88时，即w＝2时，P＝0.52，当t≥88时，即w＝4时，P＝0.4，
∴w＝﹣2×0.08+2×0.52+4×0.4＝2.48，
∵w＞m，
∴生产甲装置获得的利润较大．
18．（2022•定西二模）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学
习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获
得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 0.3 3 （精确到0.01），
由此估出红球有 2 个．
（2）现从该袋中摸2次球，请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求恰好摸到2个红球
的概率．
【思路引导】（1）通过表格中数据，随着次数的增多，摸到白球的频率越稳定在0.33左右，估计得出
答案；
（2）画树状图，共有6个等可能的结果，恰好摸到2个红球的情况数，再由概率公式求解即可．
【完整解答】解：（1）观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.33附近，
设红球有x个，则 ，解得x≈2．
故答案为：0.33，2；
（2）画树状图如图：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中恰好摸到2个红球的有4种．
故恰好摸到2个红球的概率为 ．
19．（2022•南京模拟）数学试验
数学学习小组在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了100次试验，试验的结果如下：
向上点数 1 2 3 4 5 6
出现次数 12 19 15 18 20 x
（1）求表格中x的值．
（2）计算“3点朝上”的频率．
数学发现
（3）数学学习小组针对数学试验的结果提出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识，这次试
验中出现1点朝上的概率是12%．”你认为数学学习小组的结论正确吗？并说明理由．
结论应用
（4）在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸
出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到
黑球的频率逐渐稳定在0.2左右．据此估计盒子中大约有白球多少个？
【思路引导】（1）根据表中给出的数据接口得出x的值；
（2）直接利用概率公式计算即可；
（3）利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可；
（4）设盒子中大约有白球x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【完整解答】解：（1）由题意得：x＝100﹣12﹣19﹣15﹣18﹣20＝16；
（2）3点朝上出现的次数是15，
所以3点朝上出现的频率＝ ＝ ；
（3）数学学习小组的结论不正确，因为1点朝上的频率为12%，不能说明1点朝上这一事件发生的概率
就是12%，只有当试验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这
个频率的稳定值作为该事件发生的概率；
（4）设盒子中大约有白球x个，根据题意得：
＝0.2，
解得：x＝160．
经检验x＝160是原方程的解，
答：估计盒子中大约有白球160个．20．（2021•罗湖区校级模拟）盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸
棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据：
摸棋的次数n 100 200 300 500 800 1000
摸到黑棋的次数m 24 51 76 124 201 250
0.240 0.255 0.253 0.248 0.251 0.250
摸到黑棋的频率 （精确到
0.001）
（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是 0.2 5 ；（精确到0.01）
（2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜色不同的概率，并说明
理由
【思路引导】（1）大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解；
（2）画树状图列出所有等可能结果，再找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得．
【完整解答】解：（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是0.25，
故答案为：0.25；
（2）由（1）可知，黑棋的个数为4×0.25＝1，则白棋子的个数为3，
画树状图如下：
由表可知，所有等可能结果共有12种情况，
其中这两枚棋颜色不同的有6种结果，
所以这两枚棋颜色不同的概率为
