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2022-2023 学年人教版数学九年级上册章节考点精讲精练
第 23 章《旋转》
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知识点01：旋转
1. 旋转的概念：把一个图形 绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换 叫做旋转..点O叫做旋转中心，
转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个
旋转的对应点.
知识要点：旋转的三个要素： 旋转中心、旋转方向和旋转角度 .
2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等( ABC≌△ ).
△
知识要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按 逆时针旋转 .
3. 旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键
沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
知识要点：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的 各对应点 .
知识点02：特殊的旋转—中心对称
1.中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两
个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的
对称点．
知识要点：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形
重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2.中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
知识要点：(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是 中心对称图形 .
知识点03：平移、轴对称、旋转
平移、轴对称、旋转之间的对比
平移 轴对称 旋转
相同点 都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．
把一个图形沿某一方向 把一个图形绕着某一定
定 把一个图形沿着某一条直
移动一定距离的图形变 点转动一个角度的图形
义 线折叠的图形变换．
换． 变换．
不
同 图
点 形
要 平移方向 旋转中心、旋转方向、
对称轴
素 平移距离 旋转角度连接各组对应点的线段 任意一对对应点所连线段 对应点到旋转中心的距
平行（或共线）且相 被对称轴垂直平分． 离相等；对应点与旋转
等． 中心所连线段的夹角都
等于旋转角．
性
对应线段平行（或共 任意一对对应点所连线段 *对应点到旋转中心的距
质
线）且相等． 被对称轴垂直平分． 离相等；对应点与旋转
中心所连线段的夹角等
于旋转角， 即：对应点
与旋转中心连线所成的
角彼此相等．
考点提优练
考点01：中心对称
1．（2022春•通州区校级月考）如图，在△OAB中，∠1＝∠2，将△OAB绕点O顺时针旋转180°，点A
的对应点记为C，点B的对应点记为D，顺次连接BC、CD、DA得到四边形ABCD．所得到的四边形
ABCD为（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
解：如图，
四边形ABCD为矩形．
故选：B．
2．（2022春•阳谷县期末）把8个边长为1的正方形按如图所示摆放在直角坐标系中，经过原点O的直线
l将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数表达式是（ ）A．y＝ x B．y＝ x C．y＝x D．y＝2x
解：如图，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴S ＝4+1＝5，
AOB
△
而OB＝3，
∴ AB•3＝5，
AB＝ ，
∴A点坐标为（ ，3），
设直线方程为y＝kx，
则3＝ k，
∴k＝ ，
∴直线l解析式为y＝ x．
故选：A．
3．（2022•海淀区校级开学）如图，正方形ABCD在第一象限内，点 A、B坐标分别为（1，1），（3，
1），若直线y＝2x+b把正方形ABCD分成面积相等的两部分，则b的值是 ﹣ 2 ．解：连接AC，BD交于点K．
∵A（1，1），B（3，1），
∴AB＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴C（3，3），
∵AK＝KC，
∴K（2，2），
当直线y＝2x+b经过点K时，
2＝4+b，
∴b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
4．（2022春•泰兴市期中）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝2，∠CAB＝90°，
则AE的长是 5 ．解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ACB≌△DCE，
∴AC＝CD＝2，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE＝3，
∴AD＝4，
∴AE＝ ＝ ＝5，
故答案为：5．
5．（2022春•历城区期末）如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要
求解答下列问题：
（1）△ABC 与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B 的坐标为 （ 2 ， 2 ） ．
1 1 1 1
（2）△ABC 的面积为 4. 5 ．
1 1 1
（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A （﹣1，﹣2），B （1，﹣3），C （0．﹣
2 2 2
5），则旋转中心的坐标为 （ 0 ，﹣ 1 ） ．
解：（1）∵B（﹣2，﹣2），
∴B（2，2）．
1
故答案为：（2，2）．
（2）△ABC 的面积为： × × ＝2.5
1 1 1
故答案为：4.5．
（3）根据旋转的性质，旋转中心在对称点的连线的垂直平分线上，所以两对对称点的垂直平分线的交
点就是旋转中心．
所以旋转中心的坐标为：（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
6．（2022春•宁海县期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC的顶点A的坐标为A（4，0），B的坐标为B（6，2）．
（1）请直接写出平行四边形OABC的中心P的坐标 （ 3 ， 1 ） ；
（2）求出直线PA的解析式；
（3）试说明：不论k取何值，平行四边形OABC都被直线y＝kx+1﹣3k分成面积相等的两部分．
（1）解：∵A（4，0），
∴OA＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA＝4，
∵B（6，2），
∴C（2，2），
∵PC＝PA，
∴P（3，1），
故答案为：（3，1）；
（2）解：设直线PA的解析式为y＝kx+b，
则有 ，
∴ ，
∴直线PA的解析式为y＝﹣x+4；
（3）证明：对于直线y＝kx+1﹣3k，
当x＝3时，y＝3k+1﹣3k＝1，
∴直线y＝kx+1﹣3k经过点P（3，1），
∴直线y＝kx+1﹣3k平分四边形OABC的面积．7．（2017•中原区校级三模）有这样一个问题：探究函数y＝ 的图象与性质．
下面是小强的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝ 的自变量x的取值范围 x ≠﹣ 1 ；
（2）如表是y与x的几组对应值．
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 …
y … ﹣2 0 …
﹣ ﹣ ﹣
如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．
①观察图中各点的位置发现：点A 和B ，A 和B ，A 和B ，A 和B 均关于某点中心对称，则该点的坐
1 1 2 2 3 3 4 4
标为 （﹣ 1 ，﹣ 1 ） ；
②小文分析函数y＝ 的表达式发现：当x＜﹣1时，该函数的最大值为﹣2，则该函数图象在直线x
＝﹣1左侧的最高点的坐标为 （﹣ 2 ，﹣ 2 ） ；
（3）小强补充了该函数图象上两个点（﹣ ， ），（﹣ ，﹣ ），
①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象；
②写出该函数的一条性质： 当 x ＜﹣ 2 时， y 随 x 的增大而增大．当﹣ 2 ＜ x ＜﹣ 1 时， y 随 x 的增大而减
小 ．
解：（1）函数y＝ 的自变量x的取值范围x≠﹣1．
故答案为x≠﹣1．
（2）①观察图中各点的位置发现：点A 和B ，A 和B ，A 和B ，A 和B 均关于某点中心对称，则该
1 1 2 2 3 3 4 4点的坐标为（﹣1，﹣1）；
②小文分析函数y＝ 的表达式发现：当x＜﹣1时，该函数的最大值为﹣2，则该函数图象在直线x
＝﹣1左侧的最高点的坐标为（﹣2，﹣2）．
故答案为（﹣1，﹣1），（﹣2，﹣2）．
（3）①两个点如图所示，函数图象如图所示：
②当x＜﹣2时，y随x的增大而增大．当﹣2＜x＜﹣1时，y随x的增大而减小．
故答案为：当x＜﹣2时，y随x的增大而增大．当﹣2＜x＜﹣1时，y随x的增大而减小．
考点02：关于原点对称的点的坐标
8．（2022•海港区校级开学）若P（x，3）与点Q（4，y）关于原点对称，则xy的值是（ ）
A．12 B．﹣12 C．64 D．﹣64
解：∵P（x，3）与点Q（4，y）关于原点对称，
∴x＝﹣4，y＝﹣3，
∴xy＝12．
故选：A．
9．（2022春•宽城区期末）在平面直角坐标系中，点A（5，m）与点B（﹣5，﹣3）关于原点对称，则m
的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
解：∵点A（5，m）与点B（﹣5，﹣3）关于原点对称，
∴m＝3．
故选：A．
10．（2021秋•滨城区期末）已知A（2x+1，3），B（﹣5，3y﹣3）关于原点对称，则x+y＝ 2 ．
解：∵A（2x+1，3），B（﹣5，3y﹣3）关于原点对称，∴2x+1＝5，3y﹣3＝﹣3，
解得：x＝2，y＝0，
∴x+y＝2，
故答案为：2．
11．（2022春•古冶区期末）若点A（2，1）与点B是关于原点O的对称点，则点B的坐标为 （﹣ 2 ，﹣
1 ） ．
解：点A（2，1）与点B是关于原点O的对称点，则点B的坐标为（﹣2，﹣1），
故答案为（﹣2，﹣1）．
12．（2021秋•南雄市期中）若点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，则a的整数解有
2 个．
解：∵点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，
∴点P在第三象限，
∴ ，
解得：﹣ ＜a＜2，
∵a为整数，
∴a＝0或1，共2个，
故答案为：2．
13．（2021秋•雷州市校级月考）已知点A（2m，﹣3）与B（6，1﹣n）关于原点对称，求出m和n的值．
解：A（2m，﹣3）与B（6，1﹣n）关于原点对称，得
，解得 ．
14．（2018秋•德清县期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示
（1）分别写出△ABC各个顶点的坐标：
A（ ﹣ 4 ， 3 ）；B（ 3 ， 0 ）
C（ ﹣ 2 ， 5 ）
（2）顶点A关于x轴对称的点A′的坐标（ ﹣ 4 ， ﹣ 3 ），顶点C关于原点对称的点C的坐标（
2 ， ﹣ 5 ）
（3）△ABC的面积为 1 0 ．解：（1）故答案为：（﹣4，3），（3，0），（﹣2，5），
（2）故答案为：（﹣4，﹣3），（2，﹣5），
（3）△ABC的面积为：5×7﹣（2×2）÷2﹣（7×3）÷2﹣（5×5）÷2＝10，
故答案为：10．
15．（2018秋•林甸县期末）在平面直角坐标系中，已知点A（2a﹣b，﹣8）与点B（﹣2，a+3b）关于原
点对称，求a、b的值．
解：根据题意，得 ，
解得 ．
16．（2021秋•阳东区期中）直角坐标系第二象限内的点P（x2+2x，3）与另一点Q（x+2，y）关于原点对
称，试求x+2y的值．
解：根据题意，得
（x2+2x）+（x+2）＝0，y＝﹣3．∴x＝﹣1，x＝﹣2（不符合题意，舍）．
1 2
∴x＝﹣1，y＝﹣3
∴x+2y＝﹣7．
考点03：作图-旋转变换
17．（2022春•驿城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，第一次将△ABC作原点的中心对称图形得到
△ABC ，第二次在作△ABC 关于x轴的对称图形得到△ABC ，第三次△ABC 作原点的中心对称图
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
形得到△ABC ，第四次再作△ABC 关于x轴的对称图形得到△ABC ，按照此规律作图形的变换，
3 3 3 3 3 3 4 4 4
可以得到△A B C 的图形，若点C（3，2），则C 的坐标为（ ）
2022 2022 2022 2022A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）
解：根据题意画出图形，由图形知每四次一个循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴C 的坐标在第二象限，
2022
∴C （﹣3，2），
2022
故选：C．
18．（2021•五华区一模）如图所示，将△CDA绕边AC的中点O旋转180°．小颖发现旋转后的△ABC与
△CDA构成了平行四边形，她的推理思路如下：
点A、C分别转到点C、A处，而点D转到点B处．由AD＝CB，得四边形ABCD是平行四边形．为保
证小颖的推理更严谨，小明想在“由 AD＝CB，”和“得四边形……”之间作补充．应补充的是
（ ）A．且CD＝AB B．且∠CDA＝∠ABC
C．且CD∥AB D．且OC＝OA
解：∵△CDA绕边AC的中点O旋转180°得到△ABC，
∴AD＝CB，CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故选：A．
19．（2021•海南模拟）如图，正方形ABCD的边长为1；将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到
CEFG的位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是（ ）
A． B．2﹣ C． ﹣1 D．
解：正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在
对角线CF上，
∴EF＝CE＝1，
∴CF＝ ，
∴BF＝ ﹣1，
∵∠BFE＝45°，
∴BH＝BF＝ ﹣1，
∴阴影部分的面积＝ ×1×1﹣ ×（ ﹣1）2＝ ﹣1，
故选：C．20．（2021秋•南开区期末）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），若在所给的网格中存在
一点D，使得CD与AB垂直且相等．
（1）直接写出点D的坐标 （ 6 ， 6 ） ；
（2）将直线AB绕某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合，则这个旋转中心的坐标为 （ 4 ， 2 ）
或（ 1 ， 5 ） ．
解：（1）D（6，6）；
（2）旋转中心Q（4，2）或Q′（1，5）．
故答案为：（4，2）或（1，5）．21．（2022•河西区一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点
上．
（1）∠ACB的大小为 9 0 （度）
（2）在如图所示的网格中，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABC逆时针旋转，请用无刻度的
直尺，画出旋转后的△ABC，并简要说明旋转后点C和点B的对应点点C′和点B′的位置是如何而找到的
（不要求证明）
解：（1）∵AC＝3 ，BC＝4 ，AB＝5 ，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
故答案为90．
（2）如图，延长AC到格点B′，使得AB′＝AB＝5 ，取格点E，F，G，H，连接EG，FH交于点Q，
取格点E′，F′．G′，H′，连接E′G′，F′H′交于点Q′，作直线AQ′，直线B′Q交于点C′，△AB′C′即为所求．
22．（2021•南皮县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，P是AC边上一点，连接
PB，将△PBC绕点B顺时针旋转，得到△DBE，点C，P的对应点分别是点E，D，点E在AB边上．
（1）若P是AC的中点，则DB＝ ；
（2）若PC＝1，则点D到AC的距离为 +1 ．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，AC＝ BC＝2 ，
∵P是AC的中点，
∴CP＝ AC＝ ，
∴BP＝ ＝ ＝ ，
由旋转的性质可知，BD＝BP＝ ，
故答案为： ．
（2）如图，过点D作DH⊥AC于H，交AB于点F．
∵∠EDF＝∠A＝30°，DE＝PC＝1，
∴EF＝DE•tan30°＝ ，DF＝2EF＝ ，
∴AF＝AB﹣BE﹣EF＝4﹣2﹣ ＝2﹣ ，
∵DH∥BC，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
∴HF＝1﹣ ．
∴DH＝HF+DF＝ +1，
故答案为： +1．
23．（2022秋•岳麓区校级月考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平
面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△ABC ；
1 1 1
（2）画出与△ABC关于原点对称的△ABC ，并写出A、C 的坐标．
2 2 2 2 2
解：（1）如图，△ABC 即为所求．
1 1 1
（2）如图，△ABC 即为所求．
2 2 2
点A 的坐标为（﹣2，﹣2），点C 的坐标为（﹣3，﹣1）．
2 2
24．（2022秋•雨花区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（1，﹣4），
B（5，﹣4），C（4，﹣1）．（1）将△ABC经过平移得到△ABC ，若点A的对应点A 的坐标为（2，1），则点B的对应点B 的坐
1 1 1 1 1
标为 （ 6 ， 1 ） ．
（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△ABC ．
2 2 2
（3）△ABC 的面积为 6 ．
2 2 2
解：（1）如图，△ABC 即为所求，B（6，1）；
1 1 1 1
故答案为：（6，1）；
（2）如图，△ABC 即为所求；
2 2 2
（3）△ABC 的面积＝ ×4×3＝6．
2 2 2
故答案为：6．25．（2022•长春模拟）图①、图②、图③均是10×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小
正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按
下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，作以点P为对称中心的平行四边形ABEF．
（2）在图②中，作四边形ABCD的边BC上的高AM．
（3）在图③中，在四边形ABCD的边CD上找一点N，连结AN，使∠DAN＝45°．
解：（1）如图①中，平行四边形ABEF即为所求；（2）如图②中，高AM即为所求；
（3）如图③中，点N即为所求．
考点04：利用旋转设计图案
26．（2022春•青龙县期中）在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体正在向
下运动，为了使所有图案消失，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失
（ ）
A．顺时针旋转90°，向右平移
B．逆时针旋转90°，向右平移
C．顺时针旋转90°，向左平移
D．逆时针旋转90°，向左平移
解：观察图形可知，出现的小方格体需顺时针旋转90°，向右平移至边界．
故选：A．
27．（2021秋•唐山期末）如图，（甲）图案通过旋转后得到（乙）图案，则其旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D解：如图所示：（甲）图案通过旋转后得到（乙）图案，则其旋转中心是点B．
故选：B．
28．（2022春•南关区期末）如图所示的图案，至少要绕图案中心点旋转 6 0 度后，才能与原来的图形
重合．
解：图案，至少要旋转 ＝60度后，才能与原来的图形重合．
故答案为：60．
29．（2022春•渌口区期末）在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中
心对称图形，该小正方形的序号是 ③ ．
解：选择标有序号③的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形，
故答案为③．
30．（2022春•黔江区期末）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，△ABC与△ABC 构成中
1 1 1
心对称图形．
（1）画出此中心对称图形的对称中心O；
（2）画出将△ABC ，沿直线DE方向向上平移5格得到的△ABC ；
1 1 1 2 2 2
（3）要使△ABC 与△CC C 重合，则△ABC 绕点C 顺时针方向旋转，至少要旋转 9 0 度？（不
2 2 2 1 2 2 2 2 2
要求证明）（4）求△CC C 的面积．
1 2
解：（1）如图，点O即为所求；
（2）如图，△ABC 即为所求；
2 2 2
（3）要使△ABC 与△CC C 重合，则△ABC 绕点C 顺时针方向旋转，至少要旋转90度．
2 2 2 1 2 2 2 2 2
故答案为：90；
（4）△CC C 的面积＝ ×5×2＝5．
1 2
31．（2022春•醴陵市期末）图1所示的3×3正方形方格纸，涂黑其中三个方格，使剩下的部分成为轴对
称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴
影部分为涂黑部分）请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中三个方格涂黑（每个3×3的正方
形方格画一种，例图除外，并且画上对称轴）．
解：图形如图所示：考点05：几何变换的类型
32．（2022•宁夏）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．
则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
解：根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．
故选：D．
33．（2022春•叙州区期末）在平面直角坐标系中，如果点 P（x，y）经过某种变换后得到点P'（y﹣1，3
﹣x），我们把点P'（y﹣1，3﹣x）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P的终结点为P ，点P 的终结
1 1
点为P ，点P 的终结点为P ，点P 的终结点为P ，这样依次得到P ，P ，P ，P ，．，P ，若点P的
2 2 3 3 4 1 2 3 4 n
坐标为（1，0），则点P 的坐标为（ ）
2022
A．（1，0） B．（﹣1，2） C．（1，4） D．（3，2）
解：根据题意得点P 的坐标为（﹣1，2），则点P 的坐标为（1，4），点P 的坐标为（3，2），点P
1 2 3 4
的坐标为（1，0），…，
从P 开始，4个应该循环，
5
而2022＝4×505+2，
所以点P 的坐标与点P 的坐标相同，为（1，4）．
2022 2
故选：C．
34．（2021秋•松滋市期中）规定：在平面直角坐标系xOy中，“把某一图形先沿x轴翻折，再沿y轴翻折”为一次变换．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3），C（3，1），若正方形ABCD经过一次
上述变换，则点A变换后的坐标为 （﹣ 1 ，﹣ 3 ） ；对正方形ABCD连续做2021次这样的变换，则
点D变换后的坐标为 （﹣ 3 ，﹣ 3 ） ．
解：根据平面直角坐标系内关于x和y轴成轴对称点的坐标特征：关于x轴对称点的坐标特点，横坐标
不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标特点，横坐标互为相反数，
纵坐标不变．点 A（1，3）先沿 x轴翻折，再沿 y轴翻折后的坐标为（﹣1，﹣3）；由于正方形
ABCD，顶点A（1，3），C（3，1），所以D（3，3），先沿x轴翻折，再沿y轴翻折一次后坐标为
（﹣3，﹣3），两次后坐标为（3，3），三次后坐标为（﹣3，﹣3），故连续做2021次这样的变化，
则点D变化后的坐标为（﹣3，﹣3）．
故答案为：（﹣1，﹣3）；（﹣3，﹣3）．
35．（2021春•江都区月考）如图，点A坐标为（﹣2，2），点B坐标为（2，0），点C坐标为（4，
2），点D坐标为（2，﹣2）．若线段AB和线段CD间存在某种变换关系，即其中一条线段绕某点旋转
一个角度后可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是 （ 2 ， 2 ）或（ 1 ，﹣ 1 ） ．
解：如图，旋转中心为M或M′，M（2，2），M′（1，﹣1）．
故答案为：（2，2）或（1，﹣1）．36．（2022春•洪湖市期末）如图，DEF是三角形ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点
E，点C与点F分别是对应点，观察点与点坐标之间的关系，解答下面的问题：
（1）写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说明这些对应点的坐标有何特征；
（2）若点P（a+4，﹣5﹣b）与点Q（2b，2a+8）也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．
解：（1）它们的坐标分别是A（2，3），D（﹣2，﹣3），B（1，2），E（﹣1，﹣2），
C（3，1），F（﹣3，﹣1）
这些对应点横坐标互为相反数，纵坐标也是互为相反数．
（2）依题意得：a+4+2b＝0且﹣5﹣b+2a+8＝0，
∴a＝﹣2，b＝﹣1．
37．（2016秋•临沂期末）如图，正方形ABCD中对角线AC，BD相交于点O．
（1）在图1中E是OC上一点，F是OB上一点，且OE＝OF，请问可以通过平移、旋转、翻折中的哪
一种方法，如何变换使△OAF变到△OBE的位置？
（2）如图2，若点E，F分别在OC，OB的延长线上，并且OE＝OF，试写出线段AF与BE的数量关系，
并说明理由．
解：
（1）旋转，以点O为旋转中心，逆时针旋转90度．
（2）AF＝BE．
理由如下：如图2，延长EB交AF于M，∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OB，
∴∠AOB＝∠BOC＝90°，
在△AOF和△BOE中
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴AF＝BE．
