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专题 09 垂径定理（综合题）
知识互联网
易错点拨
知识点1：垂径定理
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 两条弧 .
2.推论
平分弦 ( 不是直径 ) 的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
细节剖析:
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
知识点2：垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的 另一条弧 .
（4）细节剖析:
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在
这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分
的弦不能是直径）
易错题专训
一．选择题
1．（2022•泸州）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4
，DE＝4，则BC的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【易错思路引导】由垂径定理可知，点D是AC的中点，则OD是△ABC的中位线，所以OD＝ BC，设OD
＝x，则BC＝2x，则OE＝4﹣x，AB＝2OE＝8﹣2x，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB2＝AC2+BC2，即（8
﹣2x）2＝（4 ）2+（2x）2，求出x的值即可得出结论．
【规范解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，∵OD⊥AC，
∴点D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，且OD＝ BC，
设OD＝x，则BC＝2x，
∵DE＝4，
∴OE＝4﹣x，
∴AB＝2OE＝8﹣2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，
∴（8﹣2x）2＝（4 ）2+（2x）2，
解得x＝1．
∴BC＝2x＝2．
故选：C．
【考察注意点】本题主要考查中位线的性质与判定，垂径定理，勾股定理等知识，设出参数，根据勾股
定理得出方程是解题关键．
2．（2018秋•松北区月考）过⊙O内一点M的最长弦为20cm，最短弦为16cm，那么OM的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．8cm D．9cm
【易错思路引导】先根据垂径定理求出OA、AM的长，再利用勾股定理求OM．
【规范解答】解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，
如图所示．直径ED⊥AB于点M，
则ED＝20cm，AB＝16cm，
由垂径定理知：点M为AB中点，
∴AM＝8cm，
∵半径OA＝10cm，
∴OM2＝OA2﹣AM2＝100﹣64＝36，
∴OM＝6cm．
故选：B．【考察注意点】本题考查了垂径定理和勾股定理求解．能够熟练垂径定理和勾股定理是解题的关键．
3．（2022•荆门）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面
积为（ ）
A．36 B．24 C．18 D．72
【易错思路引导】根据AB＝12，BE＝3，求出OE＝3，OC＝6，并利用勾股定理求出EC，根据垂径定理求
出CD，即可求出四边形的面积．
【规范解答】解：如图，连接OC，
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
在Rt△COE中，EC＝ ，
∴CD＝2CE＝6 ，∴四边形ACBD的面积＝ ．
故选：A．
【考察注意点】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟练运用定理．垂径定理：垂直于弦的直径平分这
条弦，并且平分弦所对的两条弧．
4．（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示
的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E
三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径
就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则
这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
【易错思路引导】连接OE，交AB于点F，连接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，由矩形的判断方法得出四边形
ACDB是矩形，得出AB∥CD，AB＝CD＝16cm，由切线的性质得出OE⊥CD，得出OE⊥AB，得出四边形EFBD
是矩形，AF＝ AB＝ ×16＝8（cm），进而得出EF＝BD＝4cm，设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF
＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，由勾股定理得出方程r2＝82+（r﹣4）2，解方程即可求出半径，继而求出这种
铁球的直径．
【规范解答】解：如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，
∵AC⊥CD、BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∵AC＝BD＝4cm，
∴四边形ACDB是平行四边形，
∴四边形ACDB是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，
∵CD切⊙O于点E，∴OE⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴四边形EFBD是矩形，AF＝ AB＝ ×16＝8（cm），
∴EF＝BD＝4cm，
设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，
在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，
∴r2＝82+（r﹣4）2，
解得：r＝10，
∴这种铁球的直径为20cm，
故选：C．
【考察注意点】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握矩形的判定与性质，平行四边形的
判定与性质，切线的性质，垂径定理，勾股定理是解决问题的关键．
5．（2022•平桂区 一模）如图，在⊙O中，直径AB＝8，弦DE⊥AB于点C，若AD＝DE，则BC的长为（
）
A． B． C．1 D．2
【易错思路引导】根据垂径定理求出DC＝CE，求出DC＝ AD，求出∠DAB＝30°，求出∠CDB＝30°，
根据含30°角的直角三角形性质求出BD＝ AB，BC＝ BD，再求出BC即可．
【规范解答】解：∵DE⊥AB，AB过圆心O，
∴DC＝CE＝ DE，∠ACD＝∠BCD＝90°，
∵AD＝DE，
∴DC＝ AD，
∴∠DAC＝30°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴BD＝ AB＝ ＝4，
∵∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，
∴∠ABD＝60°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠CDB＝30°，
∴BC＝ BD＝ ，
故选：D．
【考察注意点】本题考查了垂径定理，直角三角形的性质和圆周角定理等知识点，能根据垂径定理求出
DC＝CE是解此题的关键，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于 30°，那么它所对的直角边等于
斜边的一半．
6．（2019秋•萧山区期末）如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE．点P为 上一点（点
P不与点B，C重合），连接AP，BP，CP，AC，BC．过点C作CF⊥BP于点F．给出下列结论：①△ABC是
等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中， 的值始终等于 ．则下列说法正确的是
（ ）
A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
【易错思路引导】如图，作CM⊥AP于M，连接AD．首先证明△AOD是等边三角形，推出∠D＝60°，即
可证明①正确．利用全等三角形的性质证明AM＝BF，PM＝PF，CF＝ PF即可判断②正确．
【规范解答】解：如图，作CM⊥AP于M，连接AD．∵AE⊥OD，OE＝DE，
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠D＝∠ABC＝60°，
∵CD⊥AB，
∴AE＝EB，
∴CA＝CB，
∴△ABC是等边三角形，故①正确，
∵∠CPA＝∠ABC＝60°，∠APB＝∠ACB＝60°，
∴∠CPF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵∠CPM＝∠CPF＝60°，CF⊥PF，CM⊥PA，
∴CF＝CM，
∵PC＝PC，∠CFP＝∠CMP，
∴Rt△CPF≌Rt△CPM（HL），
∴PF＝PM，
∵AC＝BC，CM＝CF，∠AMC＝∠CFB＝90°，
∴Rt△AMC≌Rt△BFC（HL），
∴AM＝BF，
∴AP﹣PB＝PM+AM﹣（BF﹣PF）＝2PM＝2PF，
∴ ＝ ，
在Rt△CPF中，∵∠CPF＝60°，∠CFP＝90°，
∴CF＝PF•tan60°＝ PF，∴PF＝ CF，
∴ ＝ ，故②正确，
故选：A．
【考察注意点】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角
形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
二．填空题
7．（2022•南陵县自主招生）如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C，D，E
在AB上，F、N在半圆上．若则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是16，则AB的长为 8
．
【易错思路引导】连接ON，OF，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG边长为b，OD＝c，根据正方形
的性质CN＝CD＝a，DE＝EF＝b，设OA＝ON＝OF＝OB＝r，根据勾股定理得出a2+（a+c）2＝r2①，b2+（b
﹣c）2＝r2②，①﹣②得出a2+（a+c）2﹣b2﹣（b﹣c）2＝0，把等式的左边分解因式后得出2（a+b）
（a﹣b+c）＝0，求出b＝a+c，再代入①，即可求出答案．
【规范解答】解：连接ON，OF，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG边长为b，OD＝c，则CN＝CD＝
a，DE＝EF＝b，
∵四边形CDMN和DEFG都是正方形，
∴∠NCD＝90°，∠FED＝90°，
设OA＝ON＝OF＝OB＝r，
由勾股定理得：NC2+CO2＝ON2，OE2+EF2＝OF2，
∴a2+（a+c）2＝r2①，b2+（b﹣c）2＝r2②，①﹣②，得a2+（a+c）2﹣b2﹣（b﹣c）2＝0，
（a2﹣b2）+[（a+c）2﹣（b﹣c）2）]＝0，
（a+b）（a﹣b）+（a+c+b﹣c）（a+c﹣b+c）＝0，
（a+b）（a﹣b）+（a+b）（a﹣b+2c）＝0，
（a+b）（a﹣b+a﹣b+2c）＝0，
2（a+b）（a﹣b+c）＝0，
∵a+b≠0，
∴a﹣b+c＝0，
即b＝a+c，
把b＝a+c代入①，得a2+b2＝r2，
∵正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是16，
∴a2+b2＝16，
∴r2＝16，
解得r＝4（负值舍去），
∴AB＝2r＝8．
故答案为：8．
【考察注意点】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识点，能求出b＝a+c是解此题的关键．
8．（2022•虞城县模拟）如图，以AB为直径的⨀O中，点C为⨀O上一点，且AC＝BC＝ ，过点O作
OD⊥AC，垂足为D，点P为直线OD上一个动点，则弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小值为 2
．
【易错思路引导】要使得弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小，弧BC的值不变，则BP+PC最小即可，
点C关于PD的对称点为点A，即当P点与O点重合时，弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小，求出
半径和弧BC的长即可．
【规范解答】解：要使得弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小，弧BC的值不变，
则BP+PC最小即可，
∵OD⊥AC，
∴点C关于PD的对称点为点A，即当P点与O点重合时，BP+PC最小，
即弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小，
连接OC，
∵AC＝BC＝ ，
∴∠BOC＝90°，OB＝OC＝ BC＝ ＝1，
∴弧BC的长为 ＝ ，
∴弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小为：2+ ．
故答案为：2 ．
【考察注意点】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟记定理并灵活运用．垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧．
9．（2022•青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦
AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为 m．
【易错思路引导】连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，在Rt△AOC
中利用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．
【规范解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，
∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，
∴CD⊥AB，AC＝BC＝ AB＝2m，在Rt△AOC中，∵OA＝rcm，OC＝（6﹣r）m，
∴22+（6﹣r）2＝r2，
解得r＝ ，
即⊙O的半径长为 m．
故答案为： ．
【考察注意点】本题考查了垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对
的两条弧．
10．（2022秋•南岗区校级月考）如图，在⊙O中，AD⊥BC，连接AB、CD，当AB＝2，CD＝6时，则⊙O半
径长为 2 ．
【易错思路引导】如图，连接CO，延长CO交⊙O于H，连接BH，DH，BD．首先证明DH＝BA＝2，利用勾
股定理求出CH即可．
【规范解答】解：如图，连接CO，延长CO交⊙O于H，连接BH，DH，BD．
∵CH是直径，
∴∠CBH＝∠CDH＝90°，
∴CB⊥BH，
∵CB⊥AD，
∴AD∥BH，
∴∠CDB＝∠DBH，∴ ＝ ，
∴DH＝BA＝2，
而CD＝6，
根据勾股定理CH＝ ＝2 ，
故答案为2 ．
【考察注意点】此题主要考查了圆周角定理及其推论，同时也利用了勾股定理，作出正确的辅助线是解
题的关键．
11．（2022•游仙区校级模拟）平面直角坐标系xOy如图所示，以原点O为圆心，以2为半径的⊙O中，弦
AB＝ ，点C是弦AB中点，P（ +1， ﹣1），连接PC，当弦AB在⊙O上滑动，线段PC扫过的
面积为 + π ．
【易错思路引导】首先利用已知条件求得点C 的轨迹，可得线段PC扫过的面积为四边形DOEP的面积
+大扇形ODE的面积，利用直角三角形的边角关系定理，切线长定理，三角形、扇形的面积公式解答即
可．
【规范解答】解：连接OC，OA，如图，∵点C是弦AB中点，
∴OC⊥AB，AC＝BC＝ AB＝ ，
∴OC＝ ＝ ．
∵弦AB在⊙O上滑动，
∴点C的轨迹为以点O为圆心，以 为半径的圆，如图中的虚线⊙O，
过点P作该圆的切线PD，PE，连接OD，OE，PO，如上图，
则OD＝OE＝ ．
利用勾股定理可求得PO＝ ，
∵PD，PE是虚线⊙O的切线，
∴OD⊥PD，OE⊥PE，PD＝PE，∠DPO＝∠EPO．
∵sin∠OPD＝ ＝ ，
∴∠OPD＝30°，
∴∠OPE＝30°，
∴∠DOP＝60°，∠EOP＝60°，
∴∠DOE＝120°．
∵线段PC扫过的面积为四边形DOEP的面积+大扇形ODE的面积，
∴线段PC扫过的面积为2× PD•OD+
＝ +π．
故答案为： +π．【考察注意点】本题主要考查了垂径定理，切线长定理，三角形，扇形的面积，点的轨迹，确定出点C
的轨迹是解题的关键．
12．（2022•烟台模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，则CD
的长为 4 ．
【易错思路引导】过O作OI⊥CD于I，连接OD，求出半径OD＝OA＝8，求出OP，根据含30度角的直角
三角形的性质求出OI，根据勾股定理求出DI，根据垂径定理求出DI＝CI，再求出CD即可．
【规范解答】解：过O作OI⊥CD于I，连接OD，则∠OID＝∠OIP＝90°，
∵AP＝4，BP＝12，
∴直径AB＝4+12＝16，
即半径OD＝OA＝8，
∴OP＝OA﹣AP＝8﹣4＝4，
∵∠IPO＝∠APC＝30°，
∴OI＝ OP＝ ＝2，
由勾股定理得：DI＝ ＝ ＝2 ，
∵OI⊥CD，OI过圆心O，
∴DI＝CI＝2 ，
即CD＝DI+CI＝4 ，
故答案为：4 ．
【考察注意点】本题考查了勾股定理，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点，能熟记垂
直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
13．（2022•宁海县校级模拟）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为 8 ；作弦DE∥AB，CH⊥DE于H，则CH的最大值为
．
【易错思路引导】当∠COD＝90°时，△COD面积有最大值，利用三角形的面积公式即可求解；当△COD
面积有最大值时，CH取最大值，设△APO的PO边上的高为h，△DPO的边PO上 的高为h，利用S ＝
1 2 △CDO
S +S ，列出等式，即可求得h+h＝ ，则CH＝h+h，结论可得．
△PCO △DPO 1 2 1 2
【规范解答】解：如图1，
∵ OC•OD•sin∠COD，
∴当∠COD＝90°时，△COD面积有最大值，且最大值＝ ×4×4×1＝8；
设△APO的PO边上的高为h，△DPO的边PO上 的高为h，如图，
1 2
∵S ＝S +S ，
△CDO △PCO △DPO
∴当△COD面积有最大值时，
PO×h+ PO×h＝8．
1 2
∴ ×3×（h+h）＝8，
1 2∴h+h＝ ．
1 2
∴CH的最大值为 ．
故答案为：8； ．
【考察注意点】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，勾股定理，相交弦定理，平行线的判定与
性质，利用圆的性质确定出取得最大值时点的位置是解题的关键．
三．解答题
14．（2022•合肥模拟）如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相
交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．
【易错思路引导】（1）连接BD，容易得到∠GBE和∠DBE相等，利用ASA证明△BGE和△BDE全等即可；
（2）连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，根据ED＝EG容易求出OE＝ ，再根据垂径定理求出AE的值，
最后在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值即可．
【规范解答】（1）证明：如图：连接BD，
∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，
∴∠CFG＝∠GEB，
∵∠CGF＝∠BGE，
∴∠C＝∠GBE，∵∠C＝∠DBE，
∴∠GBE＝∠DBE，
∵AB⊥CD于E，
∴∠GEB＝∠DEB，
在△GBE和△DBE中，
，
∴△BGE≌△BDE（ASA），
∴ED＝EG．
（2）解：如图：
连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，
由（1）可知ED＝EG，
∴OE＝ ，
∵AB⊥CD于E，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，
∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，
即（ ）2+42＝r2，
解得：r＝ ，
即⊙O的半径为 ．
【考察注意点】本题结合勾股定理和全等三角形的证明考查了垂径定理的应用，垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的优弧和劣弧．
15．（2022•宜昌）石拱桥是我国古代入民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400
年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为 ．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设 所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为
D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．
（1）直接判断AD与BD的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．
【易错思路引导】（1）根据垂径定理便可得出结论；
（2）设主桥拱半径为R，在Rt△OBD中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果．
【规范解答】解：（1）∵OC⊥AB，
∴AD＝BD；
（2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝26，CD＝5，
∴BD＝ AB＝13，
OD＝OC﹣CD＝R﹣5，
∵∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（R﹣5）2+132＝R2，
解得R＝19.4≈19，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m．
【考察注意点】此题考查了垂径定理，勾股定理．此题难度不大，解题的关键是方程思想的应用．
16．（2022•全椒县一模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）OM⊥CD于点M，CD＝24，⊙O的半径长为4 ，求OM的长．
（2）点G在BD上，且AG⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF．【易错思路引导】（1）连接OD，由垂径定理和勾股定理可得答案；
（2）连接AC，由垂直的定义及等腰三角形的性质可得结论．
【规范解答】（1）解：如图，连接OD，
∵OM⊥CD，OM过圆心，CD＝24，
∴DM＝CM＝ CD＝12，∠OMD＝90°，
由勾股定理得，OM＝ ＝ ＝4，
即OM的长为4；
（2）证明：如图，连接AC，
∵AG⊥BD，
∴∠DGF＝90°，
∴∠DFG+∠D＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠CEA＝90°，
∴∠C+∠EAC＝90°，∵∠EAC＝∠D，∠DFG＝∠AFC，
∴∠C＝∠AFC，
∴AF＝AC，
∵AB⊥CD，
∴CE＝EF．
【考察注意点】此题考查的是垂径定理及勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两
条弧．
17．（2022•开福区一模）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分
别为D、E．
（1）求证：四边形ADOE是正方形；
（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．
【易错思路引导】（1）根据三个直角可得矩形，再利用垂径定理可得一组邻边相等，进而可得结论；
（2）根据勾股定理可得半径．
【规范解答】（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AD＝ AB，AE＝ AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，
∴四边形ADOE是正方形；
（2）解：连接OA，∵AC＝2cm，
∴AE＝1cm，
在Rt△AOE中，OA＝ ＝ （cm），
答：⊙O的半径是 cm．
【考察注意点】本题考查正方形的判定，运用垂径定理得到AD＝AE是解题关键．
18．（2021秋•嘉祥县期末）如图，线段AB＝10，AC＝8，点D，E在以AB为直径的半圆O上，且四边形
ACDE是平行四边形，过点O作OF⊥DE于点F，求AE的长．
【易错思路引导】首先分析题干：根据平行四边形可得出ED＝8，再根据垂径定理可得EF的长；再过点
E作EG⊥AB、连接OE，从而得矩形，根据勾股定理进一步得EG、AE的长．
【规范解答】解：过点E作EG⊥AB于点G，连接OE，则OE＝OA＝ ，∠EGO＝90°，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴DE＝AC＝8，DE∥AB，
∵OF⊥DE，即∠OFE＝90°，∴EF＝ ＝4，∠FOG＝∠OFE＝90°，
∴四边形OFEG是矩形，
∴OG＝EF＝4，
∴AG＝5﹣4＝1，
在Rt△OEG中，EG＝ ，
在Rt△AGE中，AE＝ ．
【考察注意点】本题考查垂径定理，其中作垂直构造出矩形的辅助线是解题关键．
19．（2018秋•赵县期中）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD＝20cm，水深GF＝2cm．若水面上
升2cm（EG＝2cm），则此时水面宽AB为多少？
【易错思路引导】连接OA、OC，根据垂径定理求出CG，根据勾股定理求出OC，根据勾股定理求出AE，
根据垂径定理求出即可．
【规范解答】解：连接OA、OC，
∵由题意知：AB∥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，CD＝20cm，
∴CG＝ CD＝10cm，
在Rt△OGC中，由勾股定理得：OC2＝CG2+OG2，
OC2＝102+（OC﹣2）2，
解得：OC＝26（cm），
则OE＝26cm﹣2cm﹣2cm＝22cm，∵在Rt△OEA中，由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，
∴262＝222+AE2，
∴AE＝8 ，
∵OE⊥AB，OE过圆心O，
∴AB＝2AE＝16 cm．
【考察注意点】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：垂
直于弦的直径平分弦．
20．（2019秋•南昌县期末）某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形ABCD，上面是半
圆形，其中AB＝10米，BC＝2.5米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的
卡车，宽度为3米，高度为4.9米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？
【易错思路引导】如图，作OM⊥AB于M，交AB于M，图中KN＝3，作KF⊥CD于H，交⊙O于F，连接
OF．求出FK的值与4.9比较即可判断．
【规范解答】解：如图，作OM⊥AB于M，交AB于M，图中KN＝3，作KF⊥CD于H，交⊙O于F，连接
OF．
易知四边形OHKM是矩形，四边形ABCD是矩形，OH＝KM＝4，AB＝CD＝10，OF＝OD＝5，
在Rt△OHF中，FH＝ ＝ ＝3，
∵HK＝BC＝2.5，
∴FK＝2.5+3＝5.5，
∵5.5＞4.9，
∴这辆卡车能安全通过这个隧道．
【考察注意点】本题考查矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型
