文档内容
专题 09 垂径定理（综合题）
知识互联网
易错点拨
知识点1：垂径定理
1.垂径定理
，并且平分弦所对的 .
2.推论
垂直于弦，并且平分弦所对的 .
细节剖析:
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
知识点2：垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径， 弦，并且平分弦所对的
（4）细节剖析:
在垂径定理及其推论中：过 、 于弦、 弦、平分弦所对的
、平分弦所对的 ，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“
”作为题设时，平分的弦不能是直径）
易错题专训
一．选择题
1．（2022•泸州）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4
，DE＝4，则BC的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
2．（2018秋•松北区月考）过⊙O内一点M的最长弦为20cm，最短弦为16cm，那么OM的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．8cm D．9cm
3．（2022•荆门）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面
积为（ ）A．36 B．24 C．18 D．72
4．（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示
的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E
三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径
就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则
这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
5．（2022•平桂区 一模）如图，在⊙O中，直径AB＝8，弦DE⊥AB于点C，若AD＝DE，则BC的长为（
）
A． B． C．1 D．2
6．（2019秋•萧山区期末）如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE．点P为 上一点（点
P不与点B，C重合），连接AP，BP，CP，AC，BC．过点C作CF⊥BP于点F．给出下列结论：①△ABC是
等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中， 的值始终等于 ．则下列说法正确的是
（ ）A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
二．填空题
7．（2022•南陵县自主招生）如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C，D，E
在AB上，F、N在半圆上．若则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是16，则AB的长为
．
8．（2022•虞城县模拟）如图，以AB为直径的⨀O中，点C为⨀O上一点，且AC＝BC＝ ，过点O作
OD⊥AC，垂足为D，点P为直线OD上一个动点，则弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小值为
．
9．（2022•青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦
AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为 m．
10．（2022秋•南岗区校级月考）如图，在⊙O中，AD⊥BC，连接AB、CD，当AB＝2，CD＝6时，则⊙O半径长为 ．
11．（2022•游仙区校级模拟）平面直角坐标系xOy如图所示，以原点O为圆心，以2为半径的⊙O中，弦
AB＝ ，点C是弦AB中点，P（ +1， ﹣1），连接PC，当弦AB在⊙O上滑动，线段PC扫过的
面积为 ．
12．（2022•烟台模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，则CD
的长为 ．
13．（2022•宁海县校级模拟）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P的直线与圆O
交于C，D两点，则△COD面积的最大值为 ；作弦DE∥AB，CH⊥DE于H，则CH的最大值为
．
三．解答题
14．（2022•合肥模拟）如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相
交于G．（1）求证：ED＝EG；
（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．
15．（2022•宜昌）石拱桥是我国古代入民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400
年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆
弧形，表示为 ．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设 所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为
D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．
（1）直接判断AD与BD的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．
16．（2022•全椒县一模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）OM⊥CD于点M，CD＝24，⊙O的半径长为4 ，求OM的长．
（2）点G在BD上，且AG⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF．17．（2022•开福区一模）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分
别为D、E．
（1）求证：四边形ADOE是正方形；
（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．
18．（2021秋•嘉祥县期末）如图，线段AB＝10，AC＝8，点D，E在以AB为直径的半圆O上，且四边形
ACDE是平行四边形，过点O作OF⊥DE于点F，求AE的长．19．（2018秋•赵县期中）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD＝20cm，水深GF＝2cm．若水面上
升2cm（EG＝2cm），则此时水面宽AB为多少？
20．（2019秋•南昌县期末）某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形ABCD，上面是半
圆形，其中AB＝10米，BC＝2.5米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的
卡车，宽度为3米，高度为4.9米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？
