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2022-2023 学年人教版数学九年级上册章节考点精讲精练
第 24 章《圆》
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知识点01：圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到 定点的距离等于定长的点的集合 .
细节剖析：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条 封闭曲线 .
2．圆的性质
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对
称中心是 圆心 .
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那
么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
(3)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 两条弧 .
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧 .
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
细节剖析：
在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在
这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的
弦不能是直径）
3．两圆的性质
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是 两圆连心线 .
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过 切点 .
4．与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它 所对的弧所对的圆心角的一半 .
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为 直角 .
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
细节剖析：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆 相交 .
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
知识点02：与圆有关的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为 ，OP= ，则有
点P在⊙O 外； 点P在⊙O 上； 点P在⊙O 内.
细节剖析：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道
数量关系也可以确定位置关系.
2．判定几个点 在同一个圆上的方法
当 时， 在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
设⊙O 半径为R，点O到直线 的距离为 .
(1)直线 和⊙O没有公共点 直线和圆相离 .
(2)直线 和⊙O有唯一公共点 直线 和⊙O相切 .
(3)直线 和⊙O有两个公共点 直线 和⊙O相交 .
4．切线的判定、性质
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离 等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过 圆心 .
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线
的夹角.
5．圆和圆的位置关系
设 的半径为 ，圆心距 .
(1) 和 没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部 外离
.
(2) 和 没有公共点，且 的每一个点都在 内部 内含
(3) 和 有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部 外切
.
(4) 和 有唯一公共点，除这个点外， 的每个点都在 内部 内切
.
(5) 和 有两个公共点 相交 .
知识点03：三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三
角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形
内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距
离相等，通常用O表示.
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍，
通常用G表示.
(4)垂心：是 三角形三边高线的交点 .
细节剖析：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的
一半，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外 三角形三边中垂线的 (1)OA=OB=OC；(2)外心不
接圆的圆心) 交点 一定在三角形内部
内心(三角形内 三角形三条角平分线 (1)到三角形三边距离相等；
切圆的圆心) 的交点 (2)OA、OB、OC分别平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.
2．圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于 内对角 .
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
知识点04：圆中有关计算
1．圆中有关计算
圆的面积公式： ，周长 .
圆心角为 、半径为R的弧长 .
圆心角为 ，半径为R，弧长为 的扇形的面积 .
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为 的圆柱的体积为 ，侧面积为 ，全面
积为 .
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为 R，母线长为 ，高为 的圆锥的侧面积为 ，全面积为
，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 .
细节剖析：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，
即 ；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就
可以求出第三个量.(3)扇形面积公式 ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点类
似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系： .
考点提优练
考点01：垂径定理
1．（2022•荆门）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD
的面积为（ ）
A．36 B．24 C．18 D．72
解：如图，连接OC，
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，在Rt COE中，EC＝ ，
△
∴CD＝2CE＝6 ，
∴四边形ACBD的面积＝ ．
故选：A．
2．（2022秋•南岗区校级月考）如图，在⊙O中，AD⊥BC，连接AB、CD，当AB＝2，CD＝6时，则⊙O
半径长为 2 ．
解：如图，连接CO，延长CO交⊙O于H，连接BH，DH，BD．
∵CH是直径，
∴∠CBH＝∠CDH＝90°，
∴CB⊥BH，
∵CB⊥AD，
∴AD∥BH，
∴∠CDB＝∠DBH，
∴ ＝ ，
∴DH＝BA＝2，
而CD＝6，
根据勾股定理CH＝ ＝2 ，
故答案为2 ．3．（2022•烟台模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，则
CD的长为 4 ．
解：过O作OI⊥CD于I，连接OD，则∠OID＝∠OIP＝90°，
∵AP＝4，BP＝12，
∴直径AB＝4+12＝16，
即半径OD＝OA＝8，
∴OP＝OA﹣AP＝8﹣4＝4，
∵∠IPO＝∠APC＝30°，
∴OI＝ OP＝ ＝2，
由勾股定理得：DI＝ ＝ ＝2 ，
∵OI⊥CD，OI过圆心O，
∴DI＝CI＝2 ，
即CD＝DI+CI＝4 ，
故答案为：4 ．
4．（2022•开福区一模）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂
足分别为D、E．
（1）求证：四边形ADOE是正方形；
（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AD＝ AB，AE＝ AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，
∴四边形ADOE是正方形；
（2）解：连接OA，
∵AC＝2cm，
∴AE＝1cm，
在Rt AOE中，OA＝ ＝ （cm），
△
答：⊙O的半径是 cm．
5．（2021秋•嘉祥县期末）如图，线段AB＝10，AC＝8，点D，E在以AB为直径的半圆O上，且四边形
ACDE是平行四边形，过点O作OF⊥DE于点F，求AE的长．解：过点E作EG⊥AB于点G，连接OE，则OE＝OA＝ ，∠EGO＝90°，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴DE＝AC＝8，DE∥AB，
∵OF⊥DE，即∠OFE＝90°，
∴EF＝ ＝4，∠FOG＝∠OFE＝90°，
∴四边形OFEG是矩形，
∴OG＝EF＝4，
∴AG＝5﹣4＝1，
在Rt OEG中，EG＝ ，
△
在Rt AGE中，AE＝ ．
6．（20 △ 21•浦东新区模拟）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE
＝5 ，求弦CD及圆O的半径长．
解：过点O作OM⊥CD于点M，联结OD，
∵∠CEA＝30°，∴∠OEM＝∠CEA＝30°，
在Rt OEM中，∵OE＝4，
△∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵OM过圆心，OM⊥CD，
∴CD＝2DM，
∴ ，
∵ ，
∴在Rt DOM中， ，
∴弦CD △的长为 ，⊙O的半径长为 ．
7．（2022•宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径
为（ ）
A． B．2m C． D．3m
解：如图，取圆心为O，连接OA，
设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，
∵拱高CD＝3m，
∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，∵AB＝2m，
∴AD＝BD＝ AB＝1m，
∵OA2＝AD2+OD2，
∴r2＝12+（3﹣r）2，
解得：r＝ ，
∴该拱门的半径为 m，
故选：A．
考点02：圆周角定理
8．（2022•梁子湖区二模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AO⊥BC于点E，若∠BDC＝150°，AE长为
2+ ，则弦BC的长为（ ）
A．2 B． C．2 D．4
解：连接AB、AC、OB、OC，
∵∠BDC＝150°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∴△BOC为等边三角形，
∵AO⊥BC，
∴OB＝OC＝BC，BE＝CE＝ BC，∠BOE＝30°，设⊙O的半径为r，
∴BE＝CE＝ r，OB＝r，OD＝ r，
∵AE长为2+ ，
∴r+ r＝2+ ，
∴r＝2．
故选：A．
9．（2022•南京模拟）如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A＝
26°，则∠D的度数是（ ）
A．26° B．38° C．52° D．64°
解：连接OC，
∵CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，
∴ ，
∴∠COB＝∠BOD，
∵∠A＝26°，
∴∠COB＝2∠A＝52°，
∴∠BOD＝52°，
∴∠D＝90°﹣∠BOD＝90°﹣52°＝38°．
故选：B．
10．（2022•姑苏区校级一模）如图，线段CD上一点O，以O为圆心，OD为半径作圆，⊙O上一点A，
连结AC交⊙O于B点，连结BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，则∠BDA＝ 15 ° ．解：设CD与⊙O相交于点E，连接BE，
∵BC＝BD，
∴∠C＝∠BCDC＝25°，
∴∠CBD＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝130°，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠EBD＝90°，
∴∠BED＝90°﹣∠BDC＝65°，
∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BED＝115°，
∴∠BDA＝∠CBD﹣∠A＝15°，
故答案为：15°．
11．（2022•宜兴市校级二模）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，1），点C（x，y）为平面内
一动点，以AC为直径作⊙E，若过点 且平行于x轴的直线被⊙E所截的弦GH长为 ．则y
与x之间的函数关系式是 y ＝﹣ x 2 + 4 x ；经过点A的直线y＝k（x﹣2）+1（k＜0）与点C运动形成的
图象交于B，D两点（点D在点B的右侧），F为该图象的最高点，若△ADF的面积是△ABF面积的3
倍，则k＝ ﹣ 2 ．解：∵点A的坐标为（2，1），点C的坐标为（x，y），
∴点E的坐标为（ ， ），
过点E作EM⊥GH于点M，连接EH，
∴MH＝ GH＝ ．
∵点M在过点（0， ）且平行于x轴的直线上，
∴EM＝ ﹣ ＝ ，
∵AC＝ ，
∴EC＝EH＝ AC＝ ，
在Rt EMH中，EH2＝EM2+MH2，
△
即（＝ ）2＝（ ）2+（ ）2，
整理得x2﹣4x+y＝0，即y＝﹣x2+4x，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+4x，
故点C的运动轨迹为y＝﹣x2+4x，如图，过点B作BR⊥FA于点F，过点D作DN⊥FA于点N．
设点B，D的横坐标分别为x，x，
1 2
∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴点F的坐标为（2，4），
∵△ADF的面积是△ABF面积的3倍，
即DN＝3BR，
∴x﹣2＝3（2﹣x），
2 1
整理得3x+x＝8，
1 2
联立 ，
解得 ，
代入3x+x＝8，
1 2
解得k＝﹣2或2（舍去）．
故答案为：y＝﹣x2+4x；﹣2．12．（2022春•鼓楼区校级月考）如图，AB为半圆O的直径，CD＝ AB＝2 ，AD，BC交于点E，且E
为CB的中点，F为弧AC的中点，连接EF，求EF的长．
解：连接OE、OF、AC、OC、OD，AC与OF相交于H点，如图，
∵CD＝ AB，
∴CD＝OC＝OD，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠CAD＝ ∠COD＝30°，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵E为CB的中点，
∴OE⊥BC，
∵F为弧AC的中点，
∴OF⊥AC，CH＝AH，
∴四边形OECH为矩形，
∴∠EOF＝90°，OE＝CH＝ AC，
设CE＝x，则BE＝x，
在Rt ACE中，∵∠CAE＝30°，
∴AC△＝ CE＝ x，
在Rt ACB中，（ x）2+（2x）2＝（4 ）2，
解得 △x＝4，
∴AC＝4 ，
∴OE＝2 ，
在Rt OEF中，EF＝ ＝ ＝2 ．
△13．（2022•西安模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°．连接BD，作CF⊥BD，分别交
BD，⊙O于点E，F，连接BF，交AD于点M，AB＝BC．
（1）求证：BF∥CD．
（2）当AD+CD＝5 时，求线段BD的长．
解：（1）∵AB＝BC，
∴ ，
∵∠ADC＝90°．
∴∠ADB＝∠BDC＝45°，
∵CF⊥BD，
∴∠DCF＝45°，
又∠F＝∠BDC＝45°，
∴∠F＝∠DCF＝45°，
∴BF∥CD；
（2）如图：延长AD至点N，使得DN＝DC，连接NC，
∵∠ADC＝90°，DN＝DC，
∴∠N＝∠DCN＝45°，
∴sinN＝ ，
∵AD+CD＝5 ，
∴AD+DN＝AN＝5 ，
∴∠N＝∠BDC，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴△NAC∽△DBC，
∴ ，
∴ ，
解得：BD＝5，
∴线段BD的长为5．
考点03：切线的判定与性质
14．（2022•社旗县一模）如图，直线 交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点
P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（ ）A． B． 或
C． D． 或
解：∵直线y＝﹣ x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，﹣3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，
则PD⊥AB，PD＝1，
∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴ ，即 ，
∴AP＝ ，
∴OP＝ 或OP＝ ，
∴P（﹣ ，0）或P（﹣ ，0），故选：B．
15．（2022•新河县二模）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心
作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），
则⊙O与直线AB在（ ）秒时相切．
A．3 B．3.5 C．3或4 D．3或3.5
解：当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切，
∵开始时O点到AB的距离为7，
∴当圆向右移动7﹣1或7+1时，点O到AB的距离为1cm，此时⊙O与AB相切，
∴t＝ ＝3（s）或t＝ ＝4（s），
即⊙O与直线AB在3秒或4秒时相切．
故选：C．
16．（2021秋•海州区期中）如图，在矩形 ABCD中，AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形
ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则
CF的长为（ ）
A．6﹣ B．4 C．5 D．3
解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′CD′，
∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4，
∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝3，
∴B′H＝OE＝3，
∴CH＝B′C﹣B′H＝1，
∴CG＝B′E＝OH＝ ＝2 ，
∵四边形EB′CG是矩形，
∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，
∴CF＝2CG＝4 ，
故选：B．
17．（2022•晋江市模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B是直线y＝﹣x上的一个动点，
以A为圆心，以线段AB的长为半径作⊙A，当⊙A与直线y＝﹣x相切时，点B的坐标为 （ 1 ，﹣ 1 ）
．
解：如图：过点B作BM⊥OA，垂足为M，
当⊙A与直线y＝﹣x相切时，
则AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∵点A（2，0），
∴OA＝2，
∵点B是直线y＝﹣x上的一个动点，
∴设点B的坐标为（m，﹣m），
∴OM＝BM＝m，
∴∠MOB＝45°，∴∠OAB＝90°﹣∠MOB＝45°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝OB，
∵BM⊥OA，
∴OM＝AM＝ OA，
∴BM＝ OA＝1，
∴OM＝BM＝1，
∴点B的坐标为（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）．
18．（2022•宜兴市一模）如图，在四边形 ABCD中，AD＝CD＝2 ，CB＝AB＝6，∠BAD＝∠BCD＝
90°，点E在对角线BD上运动，⊙O为△DCE的外接圆，当⊙O与AD相切时，⊙O的半径为 2 ；
当⊙O与四边形ABCD的其它边相切时，其半径为 或 1 0 ﹣6 ．
解：如图，⊙O与AD相切，连接OD，连接CO并延长CO交BD于点F，∵点O到AD的距离等于⊙O的半径，且OD是⊙O的半径，
∴OD就是点O到AD的距离，
∴AD⊥OD，
∴∠ODA＝90°，
∵AD＝CD＝2 ，CB＝AB＝6，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴tan∠ADB＝ ＝ ，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC＝120°﹣90°＝30°，
∴∠ODF＝30°，∠FOD＝∠OCD+∠ODC＝60°，
∴∠OFD＝90°，
∴OF＝ OD＝ OC，DF＝OD•sin60°＝ OD＝ OC，
∵DF2+CF2＝CD2，且CD＝2 ，
∴（ OC）2+（ OC+OC）2＝（2 ）2，
∴OC＝2或OC＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴⊙O的半径为2；
如图，点O在CD边上，∵∠BCD＝90°，
∴BC⊥OC，
∴⊙O与BC相切于点C，
∵AD＝CD＝2 ，
∴OC＝OD＝ CD＝ ×2 ＝ ，
∴⊙O的半径为 ．
如图，⊙O与AD相切于点G，连接OG、OD，OC，作OL⊥AD于点L，设⊙O的半径为r，
∵∠OGA＝∠OLA＝∠A＝90°，
∴四边形OGAL是矩形，
∴AL＝OG＝OD＝OC＝r，
∴DL＝2 ﹣r，
作OH⊥CD于点H，交AB于点K，作KM⊥BC于点M，则DH＝CH＝ CD＝ ，
∵∠KMC＝∠MCH＝∠KHC＝90°，
∴四边形MKHC是矩形，
∴KM＝CH＝ ，∵∠BMK＝90°，∠KBM＝60°，
∴ ＝sin∠KBM＝sin60°＝ ，
∴ ，
∴BK＝2，
∵KH∥BC，
∴∠OKG＝∠ABC＝60°，
∵∠OGK＝90°，
∴ ＝tan∠OKG＝tan60°＝ ，
∴KG＝ OG＝ r，
∴OL＝AG＝6﹣2﹣ r＝4﹣ r，
∵∠OLD＝90°，
∴OL2+DL2＝OD2，
∴（4﹣ r）2+（2 ﹣r）2＝r2，
整理得r2﹣20 r+84＝0，
解得r＝10 ﹣6 ，r＝10 +6 （不符合题意，舍去），
∴⊙O的半径为10 ﹣6 ，
综上所述，⊙O的半径为 或10 +6 ，
故答案为：2； 或10 ﹣6 ．
19．（2021秋•南皮县校级月考）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是边BC上的动点，
连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．
（1）当BP＝3时，点C在⊙P 上 ；（填“上“内“或“外“）
（2）当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 3 或 4 ．解：（1）∵正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，
∴BM＝ AB＝4，∠B＝90°，
∵PB＝3，BC＝8，
∴PC＝5，
∵PM＝ ＝ ＝5，
∴PM＝PC，
∴点C在⊙P上，
故答案为：上；
（2）如图1，当⊙P与边CD相切时，
设PC＝PM＝x，
在Rt PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，
∴x2＝△42+（8﹣x）2，
∴x＝5，
∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．
如图2，当⊙P与边AD相切时，
设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝4，PM＝8，
在Rt PBM中，PB＝ ＝4 ．
△
综上所述，BP的长为3或4 ，
故答案为：3或4 ．
20．（2022•五华区校级模拟）如图，AB为⊙O直径，C，D为⊙O上的两点，且∠ACD＝2∠A，CE⊥DB
交DB的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2CE，AC＝4，求⊙O的半径．
（1）证明：连接OC，
∵CE⊥DE，
∴∠E＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠ACD＝2∠A，
∴∠ACD＝2∠ACO，
∴∠ACO＝∠DCO，
∴∠A＝∠DCO，
∵∠A＝∠D，
∴∠D＝∠DCO，∴OC∥DE，
∴∠E+∠OCE＝180°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CE与⊙O相切；
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∵∠OCB+∠BCE＝∠OCE＝90°，
∴∠ACO＝∠BCE，
∵∠D＝∠A＝∠ACO，
∴∠D＝∠BCE，
又∠BEC＝∠CED＝90°，
∴△BCE∽△CDE，
∵ ＝ ＝2，
∴BC＝ CE，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵OC∥ED，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠OBC，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴△BEC∽△BCA，∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∵AC＝4，
∴AB＝2 ，
∴OA＝ ，
即⊙O的半径为 ．
21．（2022•金水区校级模拟）如图，AE是半圆O的直径，D是半圆O上不同于A，E的一点，作∠FAD＝
∠DAE，过点D作DC⊥AF于点C，CD的延长线与AE的延长线相交于点B．
（1）求证：CD是半圆O所在圆的切线；
（2）若 ，AC＝4，求⊙O的半径．
（1）证明：如图，连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠DAE，
∵∠FAD＝∠DAE，
∴∠ODA＝∠FAD，
∴OD∥AC，
∵DC⊥AF于点C，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且CD⊥OD，
∴CD是半圆O所在圆的切线．
（2）解：设OD＝OA＝OE＝2m，则AE＝4m，
∵ ，AC＝4，∴BE＝ AE＝ ×4m＝m，
∴OB＝BE+OE＝3m，AB＝BE+AE＝5m，
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴OD＝ ×4＝ ，
∴⊙O的半径长是 ．
22．（2022•河南模拟）如图所示，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，E是
△
AC的中点，连接ED．点F在 上．且FO⊥AB，连接BF并延长交AC的延长线于点C．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接AF，试说明AF、BG的数量关系．
解：（1）证明：如图1，连接OD，AD，
∵AB为⊙O直径，点D在⊙O上，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴DE＝AE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠EAD＝∠BAC＝90°，
∴∠ODA+∠EDA＝90°，即∠ODE＝90°，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2） ，理由如下：如图2，
∵FO⊥AB，AG⊥AB，
∴FO∥AG，
∵O为AB的中点，
∴F是BG的中点，
∵∠BAC＝90°，
∴ ．
考点04：切线长定理
23．（2021秋•西岗区期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（ ）A．8 B．12 C．16 D．20
解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，
即△PCD的周长为16．
故选：C．
24．（2020•河北模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，
CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（ ）
A．π B．2π C．4π D．0.5π
解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，
连接OE，OF，
则四边形OECF是正方形，
∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EOM＝∠FON，
∴△OEM≌△OFN（ASA），
∴EM＝NF，
∴CM+CN＝CE+CF＝4，
∴OE＝2，
∴⊙O的面积为4π，
故选：C．25．（2022•拱墅区模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝
6，则BD的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝6，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．
故选：B．
26．（2021秋•高阳县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内
切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形
的周长为（ ）
A．12cm B．7cm
C．6cm D．随直线MN的变化而变化
解：设E、F分别是⊙O的切点，
∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC
＝5cm，
∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，
故DM＝MF，FN＝EN，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．
故选：B．27．（2021秋•兴化市月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点
F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 1 4 ．
解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE＝EF，BC＝CF，
∵EF+FC+CD+ED＝12，
∴AE+ED+CD+BC＝12，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，
∴AE△+EF+FC+BC+AB＝14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
故答案为：14．
28．（2015秋•宜兴市校级期中）如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的
一个切点，
已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则
剪下的△AMN的周长为 2 0 cm ．
解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点，
故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．
故答案是：20cm．
29．（2013•西藏模拟）如图，AD、AE、CB都是⊙O的切线，切点分别为D、E、F，AD＝4cm，则△ABC
的周长是 8 cm ．
解：∵AD、AE、CB均为⊙O的切线，D、E、F分别为切点，
∴CE＝CF，BD＝BF，AE＝AD＝4cm，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB＝AC+CF+BF+AB＝AC+CE+BD+AB＝AE+AD＝8cm．
故答案为：8cm．
30．（2021秋•原州区期末）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已
知P到⊙O的切线长为8cm，那么△PDE的周长为 1 6 cm ．
解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；
∴C ＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝8+8＝16cm；
PDE
△
∴△PDE的周长为16cm．
故答案为16cm．31．（2011秋•海淀区期中）如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切
于点D、E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝ 2 ．
解：∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，
∴CD＝CE，
∵∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∴AD＝CE，
∵AD＝2，
∴CE＝2．
故答案为：2．
32．（2021•滨海县一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝
60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA＝CE，
同理DE＝DB，PA＝PB，
∴三角形PCD的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，
即PA的长为6；
（2）∵∠P＝60°，
∴∠PCE+∠PDE＝120°，∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，
∵CA，CE是圆O的切线，
∴∠OCE＝∠OCA＝ ∠ACD；
同理：∠ODE＝ ∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE＝ （∠ACD+∠CDB）＝120°，
∴∠COD＝180﹣120°＝60°．
33．（2018秋•硚口区期末）如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交
OC的延长线于点Q．
（1）求证：OQ＝PQ；
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
（1）证明：连接OP．
∵PA、PC分别与⊙O相切于点A，C，
∴PA＝PC，OA⊥PA，
∵OA＝OC，OP＝OP，
∴△OPA≌△OPC（SSS），
∴∠AOP＝∠POC，
∵QP⊥PA，
∴QP∥BA，∴∠QPO＝∠AOP，
∴∠QOP＝∠QPO，
∴OQ＝PQ．
（2）设OA＝r．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OB∥QD，
∴∠QDC＝∠B，
∵∠OCB＝∠QCD，
∴∠QCD＝∠QDC，
∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，
∴OC＝DP＝r，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，
在Rt PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，
∴（6△+r）2＝62+（2r）2，
r＝4或0（舍弃），
∴OP＝ ＝4 ，
∵OB＝PD，OB∥PD，
∴四边形OBDP是平行四边形，
∴BD＝OP＝4 ．
34．（2012秋•姜堰市校级月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交PA、PB于点E、F，已知PA＝12cm，∠P＝40°
①求△PEF的周长；
②求∠EOF的度数．
解：①∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
又∵直线EF是⊙O的切线，
∴EB＝EQ，FQ＝FA，
∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PE+PF+EB+FA＝PA+PB＝2PA＝24cm；
②连接OE，OF，则OE平分∠BEF，OF平分∠AFE，
则∠OEF+∠OFE＝ （∠P+∠PFE）+ ∠（P+∠PEF）＝ （180°+40°）＝110°，
∴∠EOF＝180°﹣110°＝70°．
35．（2008秋•恩平市校级期中）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是 上
的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．
（1）若PA＝4，求△PED的周长；
（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线，
∴DC＝DA，
同理EC＝EB，
∵P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴PA＝PB，
∴三角形PDE的周长＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝8，
即三角形PDE的周长是8；
（2）连接AB，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∵∠P＝40°，
∴∠PAB＝∠PBA＝ （180﹣40）＝70°，
∵BF⊥PB，BF为圆直径
∴∠ABF＝∠PBF＝90°﹣70°＝20°
∴∠AFB＝90°﹣20°＝70°．
答：（1）若PA＝4，△PED的周长为8；
（2）若∠P＝40°，∠AFB的度数为70°．
考点05：正多边形和圆
36．（2022春•新昌县期末）如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（ ）
A．18° B．25° C．30° D．45°
解：∵正方形的每个内角的度数是90°，正六边形的每个内角的度数是 ＝120°，
∴∠1＝120°﹣90°＝30°，
故选C．
37．（2022•石家庄三模）如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是
2，那么非阴影部分面积是（ ）
A．6 B． C． D．8
解：∵正方形面积是2，
∴其边长为： ，
如图，将正八边形的每一条边延长可得正方形ABCD，
∵正八边形的每个内角为180°﹣ ＝135°，
∴∠AEF＝45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，在Rt AEF中，AE＝EF•sin45°＝ × ＝1，
∴AB△＝ +1×2＝ +2．
∴正八边形的面积为：S ﹣4S
正方形ABCD AEF
△
＝
＝ ，
∴非阴影部分面积是S ﹣S ＝ ﹣2＝2+ ．
正八边形 正方形
故选：C．
38．（2022•沙湾区模拟）已知图标（如图）是由圆的六个等分点连接而成，若圆的半径为 1，则阴影部分
的面积等于 ．
解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点F．
∵如图是由圆的六等分点连接而成，
∴△ABC与△ADE是等边三角形，
∵圆的半径为1，
∴AH＝ ，BC＝AB＝ ，
∴AE＝ ，AF＝ ，
∴图中阴影部分的面积＝S +3S ＝ × × + × × ×3＝ ，
ABC ADE
△ △
故答案为： ．
39．（2022•雁塔区校级模拟）在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则 的值为 2．
解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BCD＝∠ABC＝120°，AB＝BC＝CD，
∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴∠ABM＝∠ABC﹣∠CBD＝90°，∠CBD＝∠BCA＝30°，
∴BM＝CM，
在Rt ABM中，∠BAC＝30°，
∴AM△＝2BM，
∴AM＝2CM，
∴ ＝2，
故答案为：2．
40．（2022•咸安区模拟）如图，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥y轴，将
正六边形ABCDEF绕原点O逆时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2024时，顶点A的坐标为 （﹣
， 1 ） ．
解：根据题意，连接OA，在正六边形ABCDEF中，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等腰三角形，OA＝OB＝AB＝2，
∴∠AOH＝30°，AH＝ AF＝ 2＝1，
∴OH＝ ＝ ，
∵正六边形ABCDEF绕原点O逆时针旋转6次回到原位置，
2024÷6＝337...2，
∴当n＝2024时，顶点A的坐标为（﹣ ，1），
故答案为：（﹣ ，1）．
41．（2022春•思明区校级期中）如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2
倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直
线时，停止运动．
（1）求点Q的运动总长度；
（2）若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．
解：（1）∵点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，
∴可以假设∠COQ＝n，∠BOP＝2n，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BCO＝2∠A＝120°，
∵P，O，Q共线，∴120°﹣n+2n＝180°，
∴n＝60°，
∴点Q的运动总长度＝ ＝ ；
（2）如图，取OB的中点J，连接JM，JC，过点J作JH⊥BC于点H．
∵OB＝OC＝2，∠BOC＝120°，
∴BC＝ OB＝2 ，∠OBC＝∠OCB＝30°，
∵BJ＝OJ＝1，
∴JH＝ BJ＝ ，BH＝ ，
∴CH＝ ，
∴CJ＝ ＝ ＝ ，
∵BM＝MP．BJ＝OJ，
∴JM＝ OP＝1，
∴CM≤JM+CJ＝1+ ，
∴CM的最大值为1+ ．
42．（2021秋•日喀则市月考）如图，正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6．
求正方形ABCD的边长和边心距．
解：过点O作OE⊥BC，垂足为E．∵四边形ABCD为⊙O的内接正方形，
∴∠BOC＝ ＝90°，∠OBC＝45°，OB＝6，
∴BE＝OE．
在Rt OBE中，∠BEO＝90°，由勾股定理可得
△
OE＝BE＝ ，
∴BC＝2BE＝ ．
即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为 ，边心距为 ．
43．（2019秋•垦利区期中）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发
现的结果，内容如下：
（1）如图1，等边三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM＝AN，连接BN、CM，发现
BN＝CM，且∠NOC＝60°，试说明：∠NOC＝60°．
（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、DM，那么
∠DON＝ 9 0 度，并说明理由．
（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、EM，那
么AN＝ EM ，且∠EON＝ 10 8 度．（正n边形内角和（n﹣2）×180°，正多边形各内角相等）
（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，
在△ABN和△BCM中， ，∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴∠ABN＝∠BCM，
又∵∠ABN+∠OBC＝60°，
∴∠BCM+∠OBC＝60°，
∴∠NOC＝60°；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAM＝∠ABN＝90°，AD＝AB，
又∵AM＝BN，
∴△ABN≌△DAM（SAS），
∴AN＝DM，∠ADM＝∠BAN，
又∵∠ADM+∠AMD＝90°，
∴∠BAN+∠AMD＝90°
∴∠AOM＝90°；即∠DON＝90°；
（3）解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A＝∠B，AB＝AE，
又∵AM＝BN，
∴△ABN≌△EAM（SAS），
∴AN＝ME，
∴∠AEM＝∠BAN，
∴∠NOE＝∠NAE+∠AEM＝∠NAE+∠BAN＝∠BAE＝108°．
故答案为：90°，EM，108°．
考点06：扇形面积的计算
44．（2022•山西模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，AO是△ABC的中线．以O为圆
心，OA长为半径作半圆，分别交AB，AC于点D，E，交BC于点F，G．则图中阴影部分的面积为（
）A．2 ﹣ π B． C．4 ﹣ π D． π
解：连接DO，过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图，
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，
∴ ＝30°，
∴ ＝2，BO＝ ＝ ＝2 ，
∴S ＝ ＝ 2＝2 ，
ABO
△
∵∠ABO＝60°，
∴∠AOH＝30°，
∴ ＝ ＝1，AH＝ ＝ ＝ ，
∴S ＝ ＝ ＝ ，
ADO
△
∵∠DOF＝90°﹣60°＝30°，DO＝2，
S ＝ ＝ ＝ ，
扇DOF
S ＝S ﹣S ﹣S ＝2 ﹣ ＝ ，
阴BDF ABO ADO 扇DOF
△ △
S ＝2S ＝2 ．
阴 阴BDF
故选：A．
45．（2022春•大同期末）如图，正方形ABCD的边长为4，先以正方形的对角线AC为直径画圆，再以正方形的各边长为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．16 B．8π C．16π D．8
解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC＝4 ，
∴图中阴影部分的面积＝S +4×以正方形的各边长为直径的半圆的面积﹣以正方形的对角线AC
正方形ABCD
为直径圆的面积
＝4×4+4× ×22π﹣（2 ）2π＝16，
故选：A．
46．（2022•巴南区自主招生）如图，正方形ABCD的边长为6，四条弧分别以相应顶点为圆心、正方形
ABCD边长为半径，则图中阴影部分的面积为 36﹣9 π （结果保留π）．
解：由对称性可知，图中的①、②、③、④的面积相等，
所以S ＝S ﹣S
阴影部分 正方形 扇形ABD
＝36﹣
＝36﹣9π，
故答案为：36﹣9π．47．（2022•渝中区校级开学）如图，以菱形ABCD的顶点A为圆心，AB的长为半径作圆，点C恰好在
⊙A在上，点E是AB的中点，连接CE．若AD＝6，则图中阴影部分的面积为 12π﹣ （结果
保留π）．
解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，AD＝6，
∴AB＝AD＝BC＝6，
∵以菱形ABCD的顶点A为圆心，AB的长为半径作圆，点C恰好在⊙A在上，
∴AC＝AB＝BC＝6，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE＝3，CE⊥AB，
∴CE＝ ＝ ＝3 ，∴阴影部分的面积＝2×（S ﹣S ）+S
扇形CAB ABC CEB
△ △
＝2×（ ﹣ ）+
＝12π﹣ ，
故答案为：12π﹣ ．
48．（2022•临沭县二模）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是 的中点，过点E
作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 BE ＝ EM ；
（2）求证： ＝ ；
（3）若AM＝ ，MB＝2，求阴影部分图形的面积．
（1）解：结论：BE＝ EM．
理由：∵AC为⊙O的直径，点E是 的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝ EM，
故答案为：BE＝ EM；
（2）证明：连接EO，
∵AC是⊙O的直径，E是 的中点，
∴∠AOE＝90°，∴∠ABE＝ ∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴ ＝ ，
∵点E是 的中点，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ﹣ ＝ ﹣ ，
∴ ＝ ；
（3）解：连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝2，
又∵BE＝ EM，
∴BE＝2 ，
∵在Rt AEM中，EM＝2，AM＝2 ，
△
∴tan∠EAB＝ ，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝ ∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，∴OE＝BE＝2 ，
又∵ ＝ ，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝2
又∵S ＝ ＝ π，S ＝ •CN× CN＝ ×2 × ×2 ＝2 ，
扇形OCN OCN
△
∴S ＝S ﹣S ＝ π﹣2 ．
阴影 扇形OCN OCN
△
49．（2021秋•亭湖区期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧
田面积的公式为：弧田面积＝ （弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”
指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际
面积之间存在误差．现有圆心角∠AOB为120°，弦长AB＝2 m的弧田．
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？
（取π近似值为3， 近似值为1.7）
解：（1）∵OD⊥AB，OD为半径，
∴AC＝ AB＝ ×2 ＝ （m），
∠AOC＝ ∠AOB＝ ×120°＝60°，
在Rt ACO中，∠OAC＝30°，
∴设△OC＝x，则AO＝2x，
∴x2+ ＝（2x）2，解得：x＝1或﹣1（不符合题意，舍去），
∴OA＝2m，
∴弧田的实际面积＝S ﹣S
扇形AOB OAB
△
＝ ﹣ ×2 ×1
＝（ ﹣ ）m2，
∴弧田的实际面积为（ ﹣ ）m2；
（2）∵圆心到弦的距离等于1，
∴矢长为1，
∴弧田面积＝ （2 ×1+12）
＝（ + ）m2，
∴两者之差为： ﹣ ﹣（ + ）
≈ ﹣1.7﹣1.7﹣
＝0.1（m2）．
