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专题 11 切线定理（综合题）
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知识点1：切线的判定定理和性质定理
1．切线的判定定理：
是圆的切线.
细节剖析:
切线的判定方法：
（1）定义： 时，这条直线就是圆的切线；
（2）定理：和 是圆的切线；
（3）判定定理： 是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一
个交点，二是直线与过交点的半径 ，缺一不可）.
2．切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
细节剖析:
切线的性质：（1）切线和圆只有一个 ；
（2） 等于圆的半径；
（3）切线 于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过
（5）经过切点垂直于切线的直线必过 .
知识点2：切线长定理
1．切线长：
经过圆外一点作圆的切线， ，叫做这点到圆的切线长.
细节剖析:
切线长是指 ，不是“切线的长”的简称.切线是 ，
而非
2．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 ，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹
角.
细节剖析:
切线长定理包含两个结论： 相等和 相等.
3．圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边之和相等.
知识点3：三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：
的内切圆.
2．三角形的内心：
，叫做三角形的内心.
细节剖析:
(1) 任何一个三角形都 内切圆，但任意一个圆都有无数个 ；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的
一半，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外 三角形三边中垂线的 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一
接圆的圆心) 交点 定在三角形内部
内心(三角形内 三角形三条角平分线 (1)到三角形三边距离相等；
切圆的圆心) 的交点 (2)OA、OB、OC分别平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.
易错题专训
一．选择题
1．（2022•吉林一模）如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O直径，过点B的切线交CA的延长线于点P．若
∠P＝32°，则∠ACB的度数是（ ）
A．29° B．30° C．31° D．32°
2．（2017秋•昆明期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，⊙A半径为3，且点A的坐标为（5，0），
将⊙A沿x轴的负方向平移，使⊙A与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．2或8
3．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，D是⊙O上一点，连接BD，CD，∠BDC＝30°，延长AB至点F，使得BF＝ AB，连接OF，过点B作BG⊥OF于点G，BG＝
2，则OC的长为（ ）
A． B． C． D．2
4．（2022•鼓楼区校级模拟）如图，AD是⊙O的直径，PA，PB分别切⊙O于点A，B，若∠BCD＝α，则∠P
的度数是（ ）
A．90°﹣2α B．90°﹣α C．45° D．2α
5．（2022•德阳）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点
G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则
∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022•临沭县二模）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，
与y轴交于A，C两点，则AC的长为（ ）A．4 B． C． D．6
二．填空题
7．（2022•南关区校级模拟）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋
转得到△O′A′B，使点O'落在圆O上，边A′B交线段AO于点C．若∠A＝15°，⊙O的半径长为2，则
BC的长为 ．
8．（2022•香坊区校级开学）如图，在⊙O中，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，连接PO，若PA＝ ，
∠APB＝60°，则线段PO的长为 ．
9．（2022•南岗区三模）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的切线，连接AD，若AD经过圆心O，且∠D＝
50°，则∠C的大小为 度．
10．（2022•老河口市模拟）PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不与A，B重合的一点，若
∠APB＝70°，则∠ACB的度数为 ．
11．（2021•鹤峰县模拟）已知正方形ABCD边长为2，DE与以AB的中点为圆心的圆相切交BC于点E，求三
角形DEC的面积 ．12．（2020秋•亭湖区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，M为AB的中点，P是BC边上的动点，连
接PM，以点P为圆心，PM长为半径作圆P，当圆P与正方形ABCD的边相切时，CP的长为 ．
13．（2021秋•广丰区期末）已知点M（2.0），⊙M的半径为1，OA切⊙M于点A，点P为⊙M上的动点，
当P的坐标为 时，△POA是等腰三角形．
14．（2021•宁波模拟）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD是腰AC上的高，点O是线段BD上一
动点，当半径为 的⊙O与△ABC的一边相切时，OB的长为 ．
三．解答题
15．（2022•长清区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且
∠ACB＝60°．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若DE＝2，求⊙O的半径．16．（2022•内黄县二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，以AB为直径作⊙O，交AC于
点D，过点D作⊙O的切线DM交BC于点M．
（1）求证：CM＝BM．
（2）若AD＝2 ，P为AB上一点，当PM+PD为最小值时，求AP的长．
17．（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作
OE∥AD交CD于点E，连接BE．
（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．18．（2022•津南区一模）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O直径，弦CD与AB相交于点E，∠BAC＝36°．
（Ⅰ）如图①，若CD平分∠ACB，连接BD，求∠ABC和∠CBD的大小；
（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若AE＝AC，求∠P的大小．
19．（2022•佛山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经
过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠OFA＝60°，半径为4，在圆O上取点P，使∠PDE＝15°，求点P到直线DE的距离．20．（2022•西青区二模）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C为⊙O上一点，连接AC，BC．
（Ⅰ）如图①，若∠APB＝70°，求∠ACB的大小；
（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径交BC于点D，若四边形PACB是平行四边形，求∠EAC的大小．
