文档内容
2022-2023 学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
25.1 随机事件与概率
题型导航
题型1
事件的分类
随 题型2
判断事件发生的可能性的大小
机
事
题型3
计算某事件的概率
件
与
题型4
由某事件的概率求数量
概
率
题型5
几何概率
题型变式
【题型1】事件的分类
1．（2022·辽宁丹东·七年级期末）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中9环
B．某种彩票中奖率为10%，买10张彩票有1张中奖
C．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为18
D．装有l0只红球的布袋中摸出一球，这个球一定是红球
【答案】C
【分析】根据不可能事件的定义进行求解即可：在一定条件下，一定不会发生的事件是不可能事件．
【详解】解：A、射击运动员射击一次，命中9环，可能发生，也可能不发生，不是不可能事件，不符合
题意；B、某种彩票中奖率为10%，买10张彩票有1张中奖，可能发生，也可能不发生，不是不可能事件，不符
合题意；
C、随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为18，是不可能发生的，因为每个骰子的最大点数是6，
两个骰子的点数之和不能超过12，是不可能事件，符合题意；
D、装有l0只红球的布袋中摸出一球，这个球一定是红球，是一定会发生的事件，不是不可能事件，不符
合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了不可能事件的定义，熟知不可能事件的定义是解题的关键．
【变式1-1】
2．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）下列事件：①打开电视，正在播放新闻；②抛掷一枚硬币，正面向上；
③5张相同的小标签分别标有数字1～5，从中任意抽取1张，抽到0号签；④在纸上画两条直线，这两条
直线互相垂直．属于随机事件的是________（填序号）．
【答案】①②④
【分析】直接利用随机事件的定义分别分析得出答案．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称
为随机事件．
【详解】①打开电视，正在播放新闻，是随机事件；
②抛掷一枚硬币，正面向上，是随机事件；
③5张相同的小标签分别标有数字1～5，从中任意抽取1张，抽到0号签，是不可能事件；
④在纸上画两条直线，这两条直线互相垂直，是随机事件．
故答案为：①②④．
【点睛】此题主要考查了随机事件以及确定事件的定义，正确掌握相关定义是解题关键．事先能肯定它一
定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事
件都是确定的．
【题型2】判断事件发生的可能性的大小
1．（2022·浙江·九年级专题练习）一个不透明的袋子中装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，
从中摸出1个球，下列说法中正确的是（ ）
A．摸出的球一定是白球 B．摸出的球一定是黑球
C．摸出白球的可能性大 D．摸出黑球的可能性大【答案】D
【分析】个数最多的球，摸出其可能性最大．
【详解】解：在袋子中，黑球比白球多，所以从袋子中任意摸出一个球，可能性最大的是黑球，
故选：D．
【点睛】本题考查了比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
【变式2-1】
2．（2022·江苏南京·八年级期中）排队时，3个人站成一横排，其中小亮“站在中间”的可能性_____小亮
“站在两边”的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）．
【答案】小于
【分析】要求“小亮站在正中间”与“小亮站在两端”这两个事件发生的可能性的大小，只需求出各自所
占的比例大小即可得到相应的可能性，比较即可．
【详解】解：3个人站成一排，小亮站在那个位置都有可能，“小亮站在正中间”的可能性为 ，
“小亮站在两端”的可能性有 ，
故小亮“站在中间”的可能性＜小亮“站在两边”的可能，
故答案为：小于．
【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可
能性等于所求情况数与总情况数之比．
【题型3】计算某事件发生的概率
1．（2021·江苏·宿迁市钟吾初级中学八年级期中）在一个不透明的布袋中有3个白球和2个红球，除颜色
外其他完全相同，从袋子中随机地摸出一个球，摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵一个不透明的袋中有3个白球，2个红球，除颜色外完全相同，
∴从袋子中随机摸出一个球是白球的概率为 ；故选：D．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，掌握概率公式是解题的关键．
【变式3-1】
2．（2022·辽宁·丹东市第十七中学七年级期末）“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”端午佳节，小明妈妈准备了
豆沙粽2个、红枣粽3个、鲜肉粽5个，小明任意选取一个，选到红枣粽的概率是______．
【答案】
【分析】用红枣粽的数量除以粽子的总数量即可．
【详解】解：小明任意选取一个共有10种等可能结果，其中选到红枣粽的有3种结果，
所以选到红枣粽的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率的知识．解题的关键是知道概率 所求情况数与总情况数之比．
【题型4】由某事件的概率求数量
1．（2022·甘肃·凉州区中佳育才学校九年级期末）袋中有5个白球，若干个红球，从中任意取一个球，恰
为红球的概率是 ，则红球的个数为（ ）
A．4 B．5 C．10 D．15
【答案】C
【分析】设红球有n个，利用概率公式列方程求解即可．
【详解】解：设红球有n个，根据题意，得 ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，
所以，红球的个数为10，
故选：C．
【点睛】本题考查求简单的概率，理解题意，正确列出方程是解答的关键．【变式4-1】
2．（2021·四川成都·三模）在一不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的4个红色小球和绿色小球若干个，
若从袋中随机摸出一个小球是红色的概率为 ，则袋子里装有_____个绿色小球．
【答案】20
【详解】设袋子里有 个绿色小球，根据概率公式建立方程，解方程即可得．
【解答】解：设袋子里有 个绿色小球，
由题意得： ，
解得 ，
经检验， 是所列方程的解，
则袋子里装有20个绿色小球，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了概率、分式方程，熟练掌握概率公式是解题关键．
【题型5】几何概率
1．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，是由 个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，
那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设每个小等边三角的面积为 ，则阴影部分的面积是 ，得出整个图形的面积是 ，再根据
几何概率的求法即可得出答案．
【详解】解：先设每个小等边三角的面积为 ，
则阴影部分的面积是 ，整个图形的面积是 ，
则这个点取在阴影部分的概率是 ．
故选：D．【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求
事件 ；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件 发生的概率．
【变式5-1】
2．（2022·黑龙江·兰西县崇文实验学校八年级期末）如图：一路人行走在如图所示每个格子都是正方形的
地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是________________．
【答案】
【分析】根据几何概率的求法：最终停在地板上阴影部分的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：观察图形可知：黑色区域（3块）的面积占总面积（9块）的 ，
故最终停在地板上阴影部分的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求
事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
专项训练
一．选择题1．（2022·四川乐山·九年级期末）某随机事件 发生的概率 的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】概率取值范围： ，随机事件的取值范围是 ．
【详解】解：概率取值范围： ．而必然发生的事件的概率 （A） ，不可能发生事件的概率
（A） ，随机事件的取值范围是 ．观察选项，只有选项 符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了概率的意义和概率公式，解题的关键是：事件发生的可能性越大，概率越接近于
1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
2．（2018·湖南长沙·中考真题）下列判断正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上 B．天气预报说“明天的降水概率为
40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件
【答案】C
【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．
【详解】A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误，不符合题意；
B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误，不符合题意；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确，符合题意；
D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误，不符合题意．
故选C．
【点睛】此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．
3．（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校八年级阶段练习）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同
其余都相同的球，如果口袋中装有4个黑球且摸到黑球的概率为 ，那么口袋中球的总数为（ ）
A．12个 B．9个 C．6个 D．3个
【答案】A
【详解】解：∵口袋中装有4个黑球且摸到黑球的概率为 ，
∴口袋中球的总数为：4÷ =12（个）．
故选A．4．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在 的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，
小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能
的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部
分）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：由图可知，总面积为：5×6=30， ，
∴阴影部分面积为： ，
∴飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求
事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
5．（2022·北京市三帆中学模拟预测）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它
是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正
方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先设正方形的面积，再表示出阴影部分面积，然后可得概率．
【详解】解：设“东方模板”的面积为4，则阴影部分三角形面积为1，平行四边形面积为 ，
则点取自黑色部分的概率为： ，
故选C．
【点睛】此题主要考查了概率，关键是表示图形的面积和阴影部分面积．
6．（2022·全国·九年级单元测试）分别向如图所示的四个区域投掷一个小球，小球落在阴影部分的概率最
小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合图形求出各个阴影部分所占的比例即为小球落在阴影部分的概率，进行比较即可．
【详解】解：A、小球落在阴影部分的概率为 ；
B、小球落在阴影部分的概率为 ；
C、小球落在阴影部分的概率为 ；
D、小球落在阴影部分的概率为 ；
小球落在阴影部分的概率最小的是A，
故选：A．
【点睛】题目主要考查概率的基本计算方法，理解题意，掌握概率的基本计算方法是解题关键．
二、填空题
7．（2022·湖南·中考真题）从 ， ， ，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是__．【答案】 ##0.4
【分析】先确定无理数的个数，再除以总个数．
【详解】解： ， 是无理数，
（恰好是无理数） ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算是解决本题的关
键．
8．（2018·江苏扬州·中考真题）有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好
能搭成一个三角形的概率是__________．
【答案】
【分析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的
情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．
【详解】根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，
而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P= .
故其概率为： ．
【点睛】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点
为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．（2020·全国·九年级课时练习）从一副扑克牌（除去大、小王）中任抽一张，则抽到红心的概率为
_____；抽到黑桃的概率为_____；抽到红心3的概率为_____．
【答案】
【分析】根据题意可得：这幅牌中共有52张，其中到红心13张，黑桃13张，红心3只有1张，故从中任
抽一张，抽到红心的概率为 ，抽到黑桃的概率为 ；抽到红心3的概率为 ．
【详解】抽到红心的概率为 ，抽到黑桃的概率为 ；抽到红心3的概率为 ．故答案为： ； ； ．
【点睛】本题考查了概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出
现m种结果，那么事件A的概率P(A) ．
10．（2022·江苏·九年级专题练习）一个不透明的袋子中装有 个小球，其中 个红球、 个绿球，这些小
球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是绿球的概率是_____________．
【答案】
【分析】用绿球的个数除以总球数即可．
【详解】解：摸出的小球是绿球的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率的求法，解题关键是理解等可能事件概率的求法．
11．（2022·全国·九年级单元测试）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落
在阴影区域的概率是_________．
【答案】
【分析】根据阴影区域所在扇形圆心角的度数除以360°进行求解．
【详解】根据题意可得：指针落在阴影区域的概率是 ．
故答案为： ．
【点睛】考查了概率的求法，解题关键是利用了“概率=相应的面积与总面积之比”进行求解．
12．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机
投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），则击中黑色区域的概率是____________．【答案】
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：∵总面积为9个小等边形的面积，其中阴影部分面积为3个小等边形的面积，
∴飞镖落在阴影部分的概率是 ＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了概率求解问题，准确分析计算是解题的关键．
三、解答题
13．（2022·浙江·九年级专题练习）清新宁静，福瑞祥和．某市因优美的人居环境而荣登国家级“幸福城
市”榜单，2021年，该市城市空气质量位居全国168个城市前列．下表1是气象台发布的该市2022年7月
1日至7月10日空气质量指数（ ）的预报情况．
表1：
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日
空气质量指数（
53 48 44 29 30 37 44 57 67 63
）
根据《环境空气质量标准》（GB3095-2012），空气质量指数（ ）的数值被划分为六档，如下表2．
表2：
0～50 50～100 100～150 150～200 200～300
空气质量状况 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
(1)在表1中，因变量______________随若自变量______________的变化而变化；(2)结合表2分析，该市2022年7月6日空气质量状况是______________；
(3)小王计划从今年7月1日至10日中随机选择一天去该市旅游，求他到达该市当天空气质量状况是“优”
的概率．
【答案】(1)空气质量指数（或 ），日期
(2)优
(3)
【分析】（1）根据表格可直接得到答案；
（2）先从表中读出空气质量指数，再结合表2的数据进行判断即可得到答案；
（3）统计出10天中空气为优的天数，再结合总天数即可得到答案．
（1）
∵第一行为日期，第二行为空气质量指数（或 ），
故答案为：空气质量指数（或 ），日期；
（2）
该市2022年7月6日空气质量指数为37，
∵ ，
∴该市2022年7月6日空气质量状况是优，
故答案为：优；
（3）
从10天中随机选择一天，共有10种结果，每种结果出现的可能性相同，其中空气质量是优的结果有6种，
分别为7月2日，3日，4日，5日，6日，7日，
∴P（到达当天空气质量是优） ，
∴他到达该市当天空气质量状况是“优”的概率为： ．
【点睛】本题考查数据的调查与统计，解题的关键是结合题意读取相关的数据进行分析．
14．（2022·江苏·九年级专题练习）九八班从三名男生（含小强）和五名女生中选四名学生参加学校举行
的“中华古诗文朗诵大赛”，规定女生选n名．
（1）当n为何值时，男生小强参加是必然事件？
（2）当n为何值时，男生小强参加是不可能事件？
（3）当n为何值时，男生小强参加是随机事件？【答案】(1)1；（2）4；（3）2或3.
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：（1）当n为1时，男生小强参加是必然事件.
（2）当n为4时，男生小强参加是不可能事件.
（3）当n为2或3时，男生小强参加是随机事件.
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事
件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即
随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
15．（2022·浙江·九年级专题练习）口袋中有红、黄、绿三种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，其中
红球有8个，绿球有10个，从中任意摸出一个球是绿色的概率为 ．求：
(1)口袋中黄球的个数；
(2)任意摸出一个球是黄球的概率．
【答案】(1)22个
(2)
【分析】（1）设有x个黄球，根据绿球的个数和任意摸出一个球是绿球的概率列出关于x的方程，解之可
得；
（2）根据（1）求出的总球的个数和黄球的个数，即可得出任意摸出一个球是黄球的概率．
（1）
解：设黄球有x个，
由题意得： ，
解得x=22，
经检验，x=22是方程的解，且符合题意，
∴黄球有22个；
（2）
解：摸到黄球的概率： ，
所以，摸到黄球的概率为 ．
【点睛】本题主要考查了等可能事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．（2022·山东泰安·七年级期末）一只口袋里放着 个红球、 个黑球和若干个白球，这三种球除颜色外
没有任何区别，并搅匀．
取出红球的概率为 ，白球有多少个？
取出黑球的概率是多少？
再在原来的袋中放进多少个红球，能使取出红球的概率达到 ？
【答案】(1)白球有 个； ， 再在原来的袋中放进 个红球，能使取出红球的概率达到 ．
【分析】（1）首先设袋中有白球x个．由题意得：4+8+x=4×5，解此方程即可求得答案；
（2）由只口袋里放着4个红球、8个黑球和8个白球，这三种球除颜色外没有任何区别，直接利用概率公
式求解即可求得答案；
（3）首先设再在原来的袋中放入y个红球．由题意得：3（4+y）=20+y，或2（4+y）=8+8，继而求得答
案．
【详解】(1)白球有 个； 取出黑球的概率为： ，
答：取出黑球的概率是 ， 设再在原来的袋中放入 个红球．
由题意得： ，或 ，
解得： ，
答：再在原来的袋中放进 个红球，能使取出红球的概率达到 ．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．（2022·海南·中考真题）某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进
行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
(1)在调查活动中，教育局采取的调查方式是___________（填写“普查”或“抽样调查”）；
(2)教育局抽取的初中生有___________人，扇形统计图中m的值是___________；
(3)已知平均每天完成作业时长在“ ”分钟的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名
学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是
___________；
(4)若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“ ”分钟的初中生约有___________
人．
【答案】(1)抽样调查；
(2)300，30
(3)
(4)3000
【分析】（1）根据题目中的“随机抽取几所学校部分初中生进行调查”可以判定是抽样调查；
（2）读图可得，A组有45人，占15%，即可求得总人数；用B组的人数除以总人数再乘100%即可得出
答案；
（3）根据概率公式计算即可；
（4）由样本中平均每天完成作业时长在“ ”分钟的初中生的比例乘以10000人即可；
（1）
根据题目中的“随机抽取几所学校部分初中生进行调查”可以判定是抽样调查；
故答案为：抽样调查；
（2）
教育局抽取的初中生人数为： （人）B组人数为：
∴B组所占的百分比为：
∴
（3）
∵9名初中生中有5名男生和4名女生，
∴从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，恰好抽到男生的概率是
（4）
样本中平均每天完成作业时长在“ ”分钟的初中生占比
∴该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“ ”分钟的初中生约有
人．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解答本题
的关键．
