文档内容
2022-2023 学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
24.1.2 垂直于弦的直径
题型导航
题型1
利用垂径定理求值
垂
题型2
利用垂径定理求平行弦问题
直
与
题型3
弦 利用垂径定理求同心圆问题
的
题型4
直 利用垂径定理求解其他问题
径
题型5
垂径定理的推论
题型6
垂径定理的实际应用
题型变式
【题型1】利用垂径定理求值
1．（2020·内蒙古·阿荣旗孤山学校九年级期中）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，
且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【答案】B【解析】
【分析】
根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值．根据垂径定理和勾股定理求解．
【详解】
解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值，
此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，
连接OA，AM＝ AB＝4，
由勾股定理知，OA2＝OM2+AM2．
即OA2＝42+32，
解得：OA＝5．
所以⊙O的半径是5cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理，根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值是解题的关键．
【变式1-1】
2．（2022·江苏·九年级）在⊙O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么该圆的半径为__cm．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意画出相应的图形，由OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB别的中点，由AB的长求出BC的
长，再由弦心距OC的长，利用勾股定理求出OB的长，即为圆的半径．
【详解】
解：如图所示：过点O作 于点C，∵AB＝16cm，OC⊥AB，
∴BC＝AC AB＝8cm，
在Rt BOC中，
△
故答案为：10．
【点睛】
此题考查了勾股定理，以及垂径定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
【题型2】利用垂径定理求平行弦问题
1．（2022·黑龙江·一模）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF
=4，那么AD =______．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在 OHF中，勾股定理计算．
【详解】 △
如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH= EF=2，∵GB=5，
∴OF=OB= ，
在 OHF中，勾股定理，得
△
OH= ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形OADH也是矩形，
∴AD=OH= ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
【变式2-1】
2．（2021·湖北·武汉市第四中学九年级阶段练习）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中
点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据垂径定理进行解答即可．【详解】
解：∵E为AB中点，MN过圆心O，
∴MN⊥AB ，
∴∠MEB＝90°，
∵AB∥CD ，
∴∠MFD＝∠MEB＝90°，
即MN⊥CD ，
∴CF＝DF．
【点睛】
本题考查了垂径定理的运用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
【题型3】利用垂径定理求同心圆问题
1．（2021·全国·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌
面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有
水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股
定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】
解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC= ，
∴AB=2AC= .
故答案为C.
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
【变式3-1】
2．（2021·全国·九年级专题练习）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D
（如图）．
求证：AC=BD．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而
求证出AC=BD．
【详解】
过O作OE⊥AB于点E，则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE.
即AC=BD.
【点睛】
本题考查垂径定理的实际应用．
【题型4】利用垂径定理求解其他问题
1．（2022·安徽合肥·九年级期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、
B重合），下列符合条件的OP的值可以是（ ）
A．3.1 B．4.2 C．5.3 D．6.4
【答案】B
【解析】
【分析】
取AB的中点O，分别连接OC、OB，由垂径定理及勾股定理可求得OC的长，根据垂线段小于斜线段，则
OP的值介于OC与OB之间，由此可求得结果．
【详解】
如图，取AB的中点O，分别连接OC、OB，则OC⊥AB，且
在Rt OBC中，OB=5，由勾股定理得：
△
点P线段BC上，则 ，即
由对称性，当点P在线段AC上时，∴当点P在弦AB上时，
∵
∴选项B符合题意
故选：B
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理，垂线段小于斜线段等知识，垂线段小于斜线段是问题的关键．
【变式4-1】
2．（2022·山东烟台·九年级期中）如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠 后，恰好经过点
O，则 等于（ ）
A．120° B．125° C．130° D．145°
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD= OE，根据圆周角定理得到
∠ACB=90°，根据三角形的中位线的性质得到OD= BC，求得∠COB=60°，得到∠AOC=120°，于是得到
结论．
【详解】
解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，∵把半圆沿弦AC折叠， 恰好经过点O，
∴OD= OE，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴OD∥BC，
∵OA=OB，
∴OD= BC，
∴BC=OE=OB=OC，
是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠AOC=120°，
【点睛】
本题考查了折叠的性质，垂径定理，中位线的性质，等边三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题
的关键．
【题型5】垂径定理的推论
1．（2021·贵州·黔西南州金成实验学校九年级阶段练习）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE=2，
则下列结论正确的是（ ）A． B．
C． 垂直平分 D． 垂直平分
【答案】D
【解析】
【分析】
由垂径定理和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．
【详解】
解：连接OA，
条件不足，不能求出OE和EC的长，故选项A、B不符合题意；
∵OC⊥AB于点E，
∴OC是线段AB的垂直平分线，故选项D正确，符合题意；
选项C不符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
【变式5-1】
2．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，A、B、C是 上的点， ，垂足为点D，且D为OC的中
点，若 ，则BC的长为___________．【答案】7
【解析】
【分析】
根据垂径定理可得 垂直平分 ，根据题意可得 平方 ，可得四边形 是菱形，进而根据菱
形的性质即可求解．
【详解】
解：如图，连接 ，
A、B、C是 上的点， ，
，
D为OC的中点，
，
四边形 是菱形， ，
．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键．
【题型6】垂径定理的实际应用
2．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为______cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．
【答案】7.5
【解析】
【分析】
如详解中图所示，将题中主视图做出来，用垂径定理、勾股定理计算即可.
【详解】
如下图所示，设球的半径为rcm，
则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，
∵EG过圆心，且垂直于AD，
∴G为AD的中点，
则AG=0.5AD=0.5×12=6cm，
在 中，由勾股定理可得，
，
即 ，
解方程得r=7.5，
则球的半径为7.5cm．【点睛】
本题考查了主视图、垂径定理和勾股定理的运用，准确做出立体图形的主视图是解题的关键．
【变式6-1】
2．（2022·内蒙古呼和浩特·三模）河面上有两座桥：一座抛物型拱桥，一座圆弧型拱桥．受降雨影响，河
水的水位持续上涨．上午8:00，两座桥的水面宽均为 ，1小时后，水面上涨了 ，此时水面宽都变为
．假设水位上涨的速度保持不变，先被淹没的桥是_________，比另一座桥被淹没早__________小时．
【答案】 圆弧型拱桥
【解析】
【分析】
根据题意，分别求出两拱桥最高点到水平面的距离即可判断；
【详解】
解：以抛物型拱桥中间为y轴，上午8:00时水平面为x轴建立直角坐标系；
设抛物型拱桥所对应的表达式为： ，
由题可得点（-4，0）、（4，0）、（1，3），
将其代入 得，
解得：
∴抛物型拱桥最高点到上午8:00时水平面的距离为 m，
∵1小时后，水面上涨了 ，
∴水位上涨的速度为1m/h，∴抛物型拱桥淹没需要 h，
由题意知，作圆弧型拱桥的几何图如下，
，O为圆心，
由圆的性质可知，
∵
∴
即
解得：
∴
∴圆弧型拱桥最高点到上午8:00时水平面的距离为2m，
∴圆弧型拱桥淹没需要2h，
∴圆弧型拱桥先被淹没，比抛物型拱桥被淹没早了 -2= h；
故答案为：圆弧型拱桥； ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用、圆的性质，掌握相关知识，正确理解题意是解题的关键．
专项训练
一．选择题
1．（2018·山东枣庄·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，
∠APC=30°，则CD的长为（ ）A． B．2 C．2 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算
出半径OA=4，则OP=OA－AP=2，接着在Rt OPH中根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=
△
OP=1，然后在Rt OHC中利用勾股定理计算出CH= ，所以CD=2CH=2 ．
△
【详解】
作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt OPH中，∵∠OPH=30°，
△
∴∠POH=30°，∴OH= OP=1，
在Rt OHC中，∵OC=4，OH=1，
△∴CH= ，
∴CD=2CH=2 ．
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，
掌握数形结合的思想是解答的关键
2．（2021·全国·九年级课时练习）如图，矩形 中， ， ， ， 分别是 ， 边
上的动点， ，以 为直径的 与 交于点 ， ．则 的最大值为（ ）．
A．48 B．45 C．42 D．40
【答案】A
【解析】
【分析】
过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD=75，则利用面积法可计算出
AH=36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断
MN的最大值．
【详解】
解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt ABD中，BD= ，
△∵ ×AH×BD= ×AD×AB，
∴AH= =36，
∵⊙O的半径为 26，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM= ，
∴此时HM有最大值，最大值为：
24，
∵OH⊥MN，
∴MN=2MH，
∴MN的最大值为2×24=48．
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了矩形的性质和勾股
定理．
3．（2020·广东广州·中考真题）往直径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面
宽 ，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为 ，
求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得油的最大深度 的长．
【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得： ，
∵⊙O的直径为 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴油的最大深度为 ，
故选： ．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利
用勾股定理解决．
4．（2022·北京市第十三中学分校九年级开学考试）在⊙O中按如下步骤作图：
（1）作⊙O的直径AD；
（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；
（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（ ）
A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD
【答案】D
【解析】
【分析】根据作图过程可知：AD是⊙O的直径， ＝ ，根据垂径定理即可判断A、B、C正确，再根据DC＝
OD，可得AD＝2CD，进而可判断D选项．
【详解】
解：根据作图过程可知：
AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴A选项正确；
∵BD＝CD，
∴ ＝ ,
∴∠BAD＝∠CBD，
∴B选项正确；
根据垂径定理，得
AD⊥BC，
∴C选项正确；
∵DC＝OD，
∴AD＝2CD，
∴D选项错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图、含30度角的直角三角形、垂径定理、圆周角定理，解决本题的关键是熟练掌握
相关知识点．
5．（2021·全国·九年级课时练习）如图，AB是 的直径，点B是弧CD的中点，AB交弦CD于E，且
， ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C【解析】
【分析】
是 的直径，点 是弧 的中点，从而可知 ，然后利用勾股定理即可求出 的长度．
【详解】
解：设半径为 ，连接 ，
是 的直径，点 是弧 的中点，
由垂径定理可知： ，且点 是 的中点，
，
，
由勾股定理可知： ，
由勾股定理可知： ，
解得：
，
故选：C．
【点睛】
本题考查垂径定理，解题的关键是正确理解垂径定理以及勾股定理，本题属于中等题型
6．（2021·福建省福州第十六中学三模）如图，在平面直角坐标系中，已知 ，点 是以
为直径的半圆上两点，且四边形 是平行四边形，则点 的坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作MN⊥CD于点N，连接MC，作CE⊥OA于点E，则四边形MNCE是矩形．根据垂径定理即可求得CE
的长，即C的横坐标，然后在直角△MNC中，利用勾股定理求得MN的长，则C的纵坐标即可求解．
【详解】
解：作MN⊥CD于点N，连接MC，作CE⊥OA于点E．
则四边形MNCE是矩形．
∵点A的坐标是（10，0），点B的坐标是（8，0），
∴OA＝10，OB＝8，
∵四边形OCDB是平行四边形，
∴CD＝OB＝8．
∵MN⊥CD于点N，
∴CN＝DN＝ CD＝ OB＝4．
∵四边形MNCE是矩形，
∴EM＝CN＝4，
∴OE＝OM﹣EM＝5﹣4＝1．
在直角△CMN中，CM＝OM＝5，MN＝ ＝3．
∴CE＝MN＝3．
∴C的坐标是：（1，3）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及平行四边形的性质，把求点的坐标的问题转化成求线段的长的问题是常用的解题方法．
二、填空题
7．（2021·全国·九年级课时练习）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点H．若 ，
，则 的半径长为____________．
【答案】13
【解析】
【分析】
连接 ，先根据垂径定理可得 ，再在 中，利用勾股定理即可得．
【详解】
解：如图，连接 ，
是 的直径，弦 ， ，
，
设 的半径长为 ，则 ，
，
，
在 中， ，即 ，解得 ，
即 的半径长为13，
故答案为：13．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．
8．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（0，﹣1），以点A为
圆心，AB为半径作圆，交x轴于点C、D，则CD的长是____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意在 中求出 ，利用垂径定理得出结果．
【详解】
由题意，在 中， ， ，
由垂径定理知 ， ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了勾股定理及垂径定理，熟练掌握垂径定理是解决本题的关键．
9．（2021·全国·九年级课时练习）如图， ，在射线AC上顺次截取 ， ，以
为直径作 交射线 于 、 两点，则线段 的长是__________cm．
【答案】6
【解析】【分析】
过 点作 于 ，连 ，根据垂径定理得 ，在 中， ，
，利用含30度的直角三角形三边的关系可得到 ，再利用勾股定理计算出 ，由
得到答案．
【详解】
解：过 点作 于 ，连 ，如图
则 ，
在 中， ， ，
则 ，
在 中， ， ，
则 ，
则 ．
故答案为6．
【点睛】
本题考查了垂径定理，含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键．
10．（2015·宁夏·中考真题）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB CD，垂足为E，连接BC，若AB=
cm， ，则圆O的半径为_______cm．
【答案】2【解析】
【详解】
解：如图，连接OB
∵
∴
∵在⊙O中，CD是直径，弦AB CD
∴AE=BE，且△OBE是等腰直角三角形
∵AB= cm
∴BE= cm
∴OB=2 cm
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和等腰
直角三角形的性质．
11．（2021·全国·九年级单元测试）如图，在 中，点 是 的中点，连接 交弦 于点 ，若
， ，则 的长是______．【答案】8．
【解析】
【分析】
连结OA，OB，点 是 的中点，半径 交弦 于点 ，根据垂径定理可得OC⊥AB，AD=BD，由
， ，求半径OC= 5，OA= 5，在Rt OAD中，由勾股定理得DA= 即
△
可，
【详解】
解：连结OA，OB，
∵点 是 的中点，半径 交弦 于点 ，
∴OC⊥AB，AD=BD，
∵ ， ，
∴OC=OD+CD=3+2=5，
∴OA=OC=5，
在Rt OAD中，
△
由勾股定理得DA= ，
∴AB=2AD=2×4=8，
故答案为8．【点睛】
本题考查垂径定理的推论，勾股定理，线段中点定义，掌握垂径定理的推论，平分弧的直径垂直平分这条
弧所对的弦，勾股定理，线段中点定义是解题关键．
12．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在 中，半径 ， 是半径 上一点，且 ． ，
是 上的两个动点， ， 是 的中点，则 的长的最大值等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】
当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，此时F是AB的中点，则OF⊥AB，设OF为x，则DF＝x﹣
4，在Rt BOF中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】△
∵当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，如图所示，
∵F是AB的中点，
∴OC⊥AB，
设OF为x，则DF＝x﹣4，∵△ABD是等腰直角三角形，
∴DF＝ AB＝BF＝x﹣4，
在Rt BOF中，OB2＝OF2+BF2，
∵OB△＝OC＝6，
∴ ，
解得， 或 （舍去），
∴OF的长的最大值等于 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了垂径定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，确定点F与点D运动至共线时，
OF长度最大是解题的关键．
三、解答题
13．（2022·全国·九年级专题练习）如图，OC为⊙O的半径，弦AB⊥OC于点D，OC＝10，CD＝4，求
AB的长．
【答案】16
【解析】
【分析】
连接OA，根据垂径定理可得AB=2AD，再由勾股定理，可得AD=8，即可求解．【详解】
解：如图，连接OA，
∵OC为⊙O的半径，弦AB⊥OC，
∴AB=2AD，
∵OC＝10，CD＝4，
∴OA=OC=10，OD=OC-CD=6，
在 中，由勾股定理得：
，
∴AB=16．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分线所对的两条弧是解
题的关键．
14．（2021·全国·九年级专题练习）如图， 的两条弦 （AB不是直径），点E为AB中点，连
接EC，ED．
（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；
（2）求证： ．
【答案】（1）直线EO与AB垂直．理由见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论；
（2）易证 ，由垂径定理可得结论.【详解】
解：（1）直线EO与AB垂直．理由如下：
如图，连接EO，并延长交CD于F．
∵ EO过点O，E为AB的中点，
．
（2） ， ，
．
∵ EF过点O，
，
垂直平分CD，
．
【点睛】
本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键.
15．（2021·全国·九年级专题练习）如图, 在 上, 经过圆心 的线段 于点 ，
与 交于点 .
(1)如图1,当 半径为 ,若 ,求弦 的长;
(2)如图2,当 半径为 , ,若 ,求弦 的长.【答案】(1)8 (2)
【解析】
【分析】
(1)连接 ，根据垂径定理求出 的长，因为 ，进而在 中根据勾股定理求出 长，
所以求出 的长即可;
(2) 连接 ,过点D作 于点M，根据勾股定理和垂径定理求出 ，可以证明 ,进
而求出 的长，根据所做的辅助线 ，可得 为等腰直角三角形，所以可以求出 的长，
然后根据 ，进而求出 的长；
【详解】
解：(1) 连接 ，根据垂径定理求出 的长，
即： ,
,
设 ，则 ，
由勾股定理得：
,
即： ，
解得： ,
;
(2)连接 ,过点D作 于点M，如图所示：
，
在 中根据勾股定理可得：
,,
，
而 ,
,
又 在 和 中，
,
,
,
,
,
,
,
为等腰直角三角形，
,
把 代入到 中，
解得： .【点睛】
本题考查圆的知识点，要善于利用勾股定理和垂径定理去解题，善于构造辅助线去根据面积相等去解题，
最后代入求值.
16．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8
米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
【答案】（1）20米；（2）4米
【解析】
【分析】
（1）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为
R，利用勾股定理求出即可；
（2）利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．
【详解】
解：（1）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径
为R，
在Rt OBD中，OB2＝OD2+DB2，
∴R2＝△（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，
OH⊥F′E′于H，则OH＝DE′＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt OHF′中，HF′＝ ，
△∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，圆弧型桥墩高4米．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理的应用，结合勾股定理计算是解题的关键．
