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2022-2023 学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
24.1.2 垂直于弦的直径
题型导航
题型1
利用垂径定理求值
垂
题型2
利用垂径定理求平行弦问题
直
与
题型3
利用垂径定理求同心圆问题
弦
的
题型4
直 利用垂径定理求解其他问题
径
题型5
垂径定理的推论
题型6
垂径定理的实际应用
题型变式
【题型1】利用垂径定理求值
1．（2020·内蒙古·阿荣旗孤山学校九年级期中）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，
且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【变式1-1】
2．（2022·江苏·九年级）在⊙O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么该圆的半径为__cm．
【题型2】利用垂径定理求平行弦问题
1．（2022·黑龙江·一模）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF
=4，那么AD =______．
【变式2-1】
2．（2021·湖北·武汉市第四中学九年级阶段练习）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中
点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF
【题型3】利用垂径定理求同心圆问题
1．（2021·全国·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌
面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有
水面AB的宽度是（ ）cm.A．6 B． C． D．
【变式3-1】
2．（2021·全国·九年级专题练习）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D
（如图）．
求证：AC=BD．
【题型4】利用垂径定理求解其他问题
1．（2022·安徽合肥·九年级期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、
B重合），下列符合条件的OP的值可以是（ ）
A．3.1 B．4.2 C．5.3 D．6.4
【变式4-1】
2．（2022·山东烟台·九年级期中）如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠 后，恰好经过点
O，则 等于（ ）
A．120° B．125° C．130° D．145°【题型5】垂径定理的推论
1．（2021·贵州·黔西南州金成实验学校九年级阶段练习）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE=2，
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 垂直平分 D． 垂直平分
【变式5-1】
2．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，A、B、C是 上的点， ，垂足为点D，且D为OC的中
点，若 ，则BC的长为___________．
【题型6】垂径定理的实际应用
2．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径
BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为______cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．【变式6-1】
2．（2022·内蒙古呼和浩特·三模）河面上有两座桥：一座抛物型拱桥，一座圆弧型拱桥．受降雨影响，河
水的水位持续上涨．上午8:00，两座桥的水面宽均为 ，1小时后，水面上涨了 ，此时水面宽都变为
．假设水位上涨的速度保持不变，先被淹没的桥是_________，比另一座桥被淹没早__________小时．
专项训练
一．选择题
1．（2018·山东枣庄·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，
∠APC=30°，则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．82．（2021·全国·九年级课时练习）如图，矩形 中， ， ， ， 分别是 ， 边
上的动点， ，以 为直径的 与 交于点 ， ．则 的最大值为（ ）．
A．48 B．45 C．42 D．40
3．（2020·广东广州·中考真题）往直径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面
宽 ，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京市第十三中学分校九年级开学考试）在⊙O中按如下步骤作图：
（1）作⊙O的直径AD；
（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；
（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（ ）
A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD
5．（2021·全国·九年级课时练习）如图，AB是 的直径，点B是弧CD的中点，AB交弦CD于E，且
， ，则 （ ）A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2021·福建省福州第十六中学三模）如图，在平面直角坐标系中，已知 ，点 是以
为直径的半圆上两点，且四边形 是平行四边形，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2021·全国·九年级课时练习）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点H．若 ，
，则 的半径长为____________．
8．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（0，﹣1），以点A为
圆心，AB为半径作圆，交x轴于点C、D，则CD的长是____．9．（2021·全国·九年级课时练习）如图， ，在射线AC上顺次截取 ， ，以
为直径作 交射线 于 、 两点，则线段 的长是__________cm．
10．（2015·宁夏·中考真题）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB CD，垂足为E，连接BC，若AB=
cm， ，则圆O的半径为_______cm．
11．（2021·全国·九年级单元测试）如图，在 中，点 是 的中点，连接 交弦 于点 ，若
， ，则 的长是______．
12．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在 中，半径 ， 是半径 上一点，且 ． ，是 上的两个动点， ， 是 的中点，则 的长的最大值等于__________．
三、解答题
13．（2022·全国·九年级专题练习）如图，OC为⊙O的半径，弦AB⊥OC于点D，OC＝10，CD＝4，求
AB的长．
14．（2021·全国·九年级专题练习）如图， 的两条弦 （AB不是直径），点E为AB中点，连
接EC，ED．
（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；
（2）求证： ．15．（2021·全国·九年级专题练习）如图, 在 上, 经过圆心 的线段 于点 ，
与 交于点 .
(1)如图1,当 半径为 ,若 ,求弦 的长;
(2)如图2,当 半径为 , ,若 ,求弦 的长.
16．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8
米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
