文档内容
2022-2023 学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
23.1 图形的旋转
题型导航
题型1
找旋转中心、旋转角、对应点
图
题型2
根据旋转的性质求解
形
题型3
画旋转图形
的
题型4
旋转中的规律性问题
旋
题型5
转 求旋转中坐标的变化
题型变式
【题型1】找旋转中心、旋转角、对应点
1．（2022·江苏·无锡市侨谊实验中学八年级期中）如图，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，则
的大小为_________．【答案】50°##50度
【解析】
【分析】
根据旋转的性质可得出∠B'CB=50°，此题得解．
【详解】
解：根据 等于旋转角的大小，
∴ ．
故答案为：50°
【点睛】
本题考查了旋转的性质，牢记对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．
【变式1-1】
2．（2022·湖南·通道侗族自治县教育科学研究室七年级期末）如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得
到的，则其旋转中心是点____ ，逆时针方向旋转了____度.
【答案】 N 90
【解析】
【分析】根据对应点到旋转中心的距离相等可确定旋转中心，对应点与旋转中心的连线所形成的角为旋转角进行解
答即可．
【详解】
解：如图，连接N与两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且对应点与N的
连线所成的角是直角，故旋转中心是点N，逆时针方向旋转了90°，
故答案为：N，90．
【点睛】
本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键．
【题型2】根据旋转的性质求解
1．（2022·四川·成都市树德实验中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠CAB=30º，
BC=4．将△ABC绕点C逆时针旋转α度（0<α 180），得到△DEC，A，B的对应点分别为D，E． 边
DC，DE分别交直线AB于F，G，当△DFG是直角三角形时，则BD=__________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
分两种情况：当∠DFG=90°时，当∠DGF=90°时，分别求出BD便可．
【详解】
解：根据题意得：CD=AC，∠CDE=∠A=30°，当∠DFG=90°时，如图：
∵∠ACB=90º，∠CAB=30º，BC=4．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当∠DGF=90°时，如图：
∵∠CDE=∠A=30°，∠DGB=90°，
∴∠DFG=60°=∠ABC，
∴点B与点F重合，
∴ ；
综上所述，BD的长为 或 ．
故答案为： 或【点睛】
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分情况讨论，解题的关键在于分情况讨论．
【变式2-1】
2．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，在直角三角形ABC中， ，点P
是边AB上的一动点． ，将 绕点C按顺时针方向旋转，点E是边 的中点．下列
4个结论：①点C到AB的距离为 ；② ；③PE长度的最小值为0.9，④PE长度的最大值
为5.5，其中正确的是________．（写出所有正确结论的序号）
【答案】②③④
【解析】
【分析】
利用等面积法即可求出点C到AB的距离；根据 以及 ，即
可证明 ；当 与 在AB边上的高重合时，PE长度最短为： ；当 与
的BC边重合但取反方向时，PE长度最长为： ．
【详解】
解：在直角三角形ABC中，利用等面积法可求出点C到AB的距离为 ，故①错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵点E是边 的中点， ，
∴ ，
当 与 在AB边上的高重合时，PE长度最短为： ，故③正确；当 与 的BC边重合但取反方向时，PE长度最长为： ，故④正确；
综上所述：正确结论有②③④．
故答案为：②③④
【点睛】
本题考查旋转的性质，角之间的关系，动点问题，解题的关键是掌握旋转性质，理清角之间的关系，理解
当 与 在AB边上的高重合时，PE长度最短；当 与 的BC边重合但取反方向时，PE长
度最长．
【题型3】画旋转图形
1．（2022·山东青岛·一模）如图，ΔABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（-1，0），
现将ΔABC绕A点逆时针旋转90°，再向右平移一个单位后点C的对应点C＇的坐标是__________．【答案】
【解析】
【分析】
利用旋转变换的性质画出图形，观察图形即可得结论．
【详解】
ΔABC绕A点逆时针旋转90°后的图像如图：
观察图象，可知 对应的点 坐标为（-2，3），
∴（-2，3）再向右平移一个单位后点C的对应点C＇的坐标是
故答案是： ．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-旋转、平移，解题的关键是画出旋转后的图形，属于中考常考题型．
【变式3-1】
2．（2022·江西·南昌二中八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 ABC的三个顶点坐标分别是
A(2，−1)，B(1，−2)，C(3，−3)． △(1)将 ABC先向上平移4个单位长度再沿y轴翻折得到 ABC ，请画出 ABC ；
1 1 1 1 1 1
(2)请△画出把 ABC绕原点O逆时针旋转90°得到 A 2 B 2 C△2 ． △
【答案】(1)△见解析 △
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平移的性质以及轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A，B，C 再连接即可；
1 1 1
（2）根据旋转的性质分别作出A，B，C的对应点A，B，C 再连接即可．
2 2 2
(1)
解： ABC 如图所示．
1 1 1
△
;
(2)
解： ABC 如图所示．
2 2 2
【点△睛】
本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．【题型4】旋转中的规律性问题
1．（2021·广东佛山·八年级期末）如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021
次闪烁呈现出来的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
观察图形的变化易得每旋转一次的度数，根据阴影所处的位置可得相应选项．
【详解】
解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周，
∵2021÷4＝505...1，
即第2021次与第1次的图案相同．
故选：A．
【点睛】
此题考查了图形的变换规律问题，解题的关键是找到图形旋转的规律周期．
【变式4-1】
2．（2021·重庆南川·九年级期中）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对
称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，
……，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（ ）A．图① B．图② C．图③ D．图④
【答案】A
【解析】
【分析】
观察图形不难发现，四次旋转后矩形又回到初始水平位置，用2021除以4，根据商和余数的情况确定即可．
【详解】
解：由图可知，四次旋转后矩形又回到初始水平位置，
∵2021÷4=505余1，
∴第2021次旋转后得到的图形为第505个循环组的第一个图，是图①．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，图形变化规律，观察出四次旋转后矩形又回到初始水平位置是解题的关键．
【题型5】求旋转中坐标的变化
1．（2022·湖北省直辖县级单位·九年级阶段练习）如图，在坐标系中放置一菱形 ，已知
，点B在y轴上， ，先将菱形 沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续
翻转12次，点B的落点依次为 ， ， ， ，则 的横坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】
连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4，由于 ，因此点B向右平移8即可到达点 ，根据点B的坐标就可求出点
的坐标．
【详解】
连接AC，如图所示，
∵四边形OABC是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示，
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4，
∵ ，
∴点B向右平移2×4=8个单位到点 ，
∵B点的坐标为 ，
∴ 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．
【变式5-1】
2．（2022·广东河源·八年级期中）如图，平面直角坐标系中， 是边长为2的等边三角形，作
与 关于点 成中心对称，再作 与 于点 成中心对称，如此作下去，则
的顶点 的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据 OAB 是边长为2的等边三角形，可得A 的坐标为（1， ），B 的坐标为（2，0）；然后根据
1 1 1 1
△
中心对称的性质，分别求出点A、A、A 的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出An的坐标，
2 3 4 2
即可求出答案．
【详解】
解：∵△OAB 是边长为2的等边三角形，
1 1
∴A 的坐标为（1， ），B 的坐标为（2，0），
1 1
∵△BAB 与 OAB 关于点B 成中心对称，
2 2 1 1 1 1
∴点A
2
与点A△1 关于点B
1
成中心对称，
∵2×2 1=3，2×0 = ，
∴点A 的坐标是（3， ），
2
∵△BAB 与 BAB 关于点B 成中心对称，
2 3 3 2 2 1 2
△∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
3 2 2
∵2×4-3=5，2×0 （ ）= ，
∴点A 的坐标是（5， ），
3
∵△BAB 与 BAB 关于点B 成中心对称，
3 4 4 3 3 2 3
∴点A
4
与点A△3 关于点B
3
成中心对称，
∵2×6 5=7，2×0 = ，
∴点A 的坐标是（7， ），
4
…，
∵1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，7=2×4-1，……，
∴An的横坐标是2n-1，An的横坐标是2×2n-1=4n-1，
2
∵当n为奇数时，An的纵坐标是 ，当n为偶数时，An的纵坐标是 ，
∴顶点An的纵坐标是 ，
2
∴顶点An的坐标是（ ， ）．
2
∴点 的坐标是 ；
故答案为： ．
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形变化——旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出An的横坐标、
纵坐标各是多少．
专项训练
一．选择题
1．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在方格纸中，将 绕点 按顺时针方向旋转90°后得到，则下列四个图形中正确的是（ ）
A． B．
B．C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据绕点 按顺时针方向旋转90°逐项分析即可．
【详解】
A、 是由 关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意；
B、 是由 绕点 按顺时针方向旋转90°后得到，故B选项符合题意；
C、 与 对应点发生了变化，故C选项不符合题意；
D、 是由 绕点 按逆时针方向旋转90°后得到，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查旋转变换．解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数．2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB= ，对角线AC上有一点G（异于
A，C），连接 DG，将 AGD绕点A 逆时针旋转60°得到 AEF，则BF的长为（ ）
△ △
A． B．2 C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
过点F作FH⊥BA交BA的延长线于点H，则∠FHA=90°， AGD绕点A 逆时针旋转60°得到 AEF，得
∠FAD=60°，AF=AD=2，又由四边形ABCD是矩形，∠BA△D=90°，得到∠FAH=30°，在Rt A△FH中，FH=
△
AF=1，由勾股定理得AH= ，得到BH=AH+AB=2 ，再由勾股定理得BF=
．
【详解】
解：如图，过点F作FH⊥BA交BA的延长线于点H，则∠FHA=90°，
∵ AGD绕点A 逆时针旋转60°得到 AEF
∴∠△FAD=60°，AF=AD=2， △
∵ 四边形ABCD是矩形
∴ ∠BAD=90°
∴∠BAF=∠FAD+ ∠BAD=150°∴∠FAH=180°－∠BAF=30°
在Rt△AFH中，FH= AF=1
由勾股定理得
AH=
在Rt△BFH中，FH=1，BH=AH+AB=2
由勾股定理得
BF=
故BF的长 ．
故选：A
【点睛】
本题考查了图形的旋转，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解决此题的关键
在于作出正确的辅助线．
3．（2021·河南驻马店·七年级期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转50°得△DBE，点C的对应点恰好
落在AB的延长线上，连接AD，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=DB B．∠CBD=80° C．∠ABD=∠E D．△ABC≌△DBE
【答案】C
【解析】
【分析】
利用旋转的性质得△ABC≌△DBE ，BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=50°，∠C=∠E，再由A、B、E三
点共线，由平角定义求出∠CBD=80°，由三角形外角性质判断出∠ABD＞∠E．
【详解】
解：∵△ABC绕点B顺时针旋转50°得△DBE，
∴AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=50°，△ABC≌△DBE ，故选项A、D一定成立；
∵点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，∴∠ABD+∠CBE+∠CBD =180°，.
∴∠CBD=180°-50°-50°=80°，故选项B一定成立；
又∵ ∠ABD=∠E+∠BDE，
∴∠ABD＞∠E，故选项C错误，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转
角；旋转前、后的图形全等．
4．（2022·全国·九年级）如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在
圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（ ）
A．12° B．16° C．20° D．24°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点E旋转的角度和点C旋转的角度相等,所以求出点E旋转的角度即可.
【详解】
解: 如图
设圆心为O,连接OA, OB,点E落在圆上的点E'处.
AB=OA=OB,
∠OAB= ,同理∠OAE'= ,
∠EAB= ,∠EAO=∠EAB-∠OAB= ,
∠EAE'=∠OAE'-∠EAO= - =
点E旋转的角度和点C旋转的角度相等,
点C旋转的角度为 ,
故选A.
【点睛】
本题主要考查旋转的性质，注意与圆的性质的综合.
5．（2022·山东·青岛三十九中八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标
都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A'B'C'，则旋转中心的坐标是（ ）
A．(1，1) B．(1，﹣1) C．(0，0) D．(1，﹣2)
【答案】A
【解析】
【分析】
对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，然后直接写成坐标即可．
【详解】
解：如图点O′即为旋转中心，坐标为O′(1，1) ．故选：A
【点睛】
本题主要考查了旋转中心的确定方法，熟练掌握对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心是解题的关
键．
6．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将 绕点 按顺时针
方向旋转90°，得到 ，则点 的坐标为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据网格结构作出旋转后的图形，然后根据平面直角坐标系写出点B′的坐标即可．
【详解】
△A′B′O如图所示，点B′（2，1）．
故选A．【点睛】
本题考查了坐标与图形变化，熟练掌握网格结构，作出图形是解题的关键．
二、填空题
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在菱形OBCD中，OB＝1，相邻两内角之比为1：2，将菱形
OBCD绕顶点O顺时针旋转90°，得到菱形OB′C′D′视为一次旋转，则菱形旋转45次后点C的坐标为_____．
【答案】（ ，﹣ ）
【解析】
【分析】
先求出菱形的内角度数，过 作 轴于 点，在 △ 中，利用特殊角度数及边长求解 和
长，则 点坐标可求，由 ，得出菱形4次旋转一周，4次一个循环，由 ，得
出菱形旋转45次后点 与点 重合，即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形OBCD是菱形，相邻两内角之比为1：2，
∴∠C＝∠BOD＝60°，∠D＝∠OBC＝120°．
根据旋转性质可得∠OB′C′＝120°，
∴∠C′B′H＝60°．
过C′作C′H⊥y轴于点H，如图所示：在Rt△C′B′H中，B′C′＝1，
， ．
．
坐标为 ， ，
∵360°÷90°＝4，
∴菱形4次旋转一周，4次一个循环，
∵45÷4＝11……1，
菱形旋转45次后点 与点 重合，坐标为 ， ；
故答案为： ， ．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，以及坐标与图形变化，解决此类问题要熟知旋转后的不变量，
得出规律是解题的关键．
8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，将 绕
点 按逆时针方向旋转得到 ，连接 ， ，直线 ， 相交于点 ，连接 ，在旋转过程中，
线段 的最大值为__________．【答案】
【解析】
【分析】
取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，在△ABC中，由勾股定理得到AB= ，由旋转
可知：△DCE≌△ACB，从而∠DCA=∠BCE，∠ADC=∠BEC，由∠DGC=∠EGF，可得∠AFB=90º，由直角
三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FH=CH= AB= ，在△FCH中，当F、C、H在一条直线
上时，CF有最大值为 .
【详解】
解：取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，
在△ABC中，∠ACB=90º，
∵AC= ，BC=2 ，
∴AB= ，由旋转可知：△DCE≌△ACB，
∴∠DCE=∠ACB，DC=AC，CE=CB，
∴∠DCA=∠BCE，
∵∠ADC= (180º-∠ACD) ，∠BEC= (180º-∠BCE)，
∴∠ADC=∠BEC，
∵∠DGC=∠EGF，
∴∠DCG=∠EFG=90º，
∴∠AFB=90º，
∵H是AB的中点，
∴FH= AB，
∵∠ACB=90º，
∴CH= AB，
∴FH=CH= AB= ，
在△FCH中，FH+CH>CF，
当F、C、H在一条直线上时，CF有最大值 ，
∴线段CF的最大值为 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握全等的性质.
9．（2021·广东汕头·九年级期中）如图，将等边 绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得
， 的中点E的对应点为F，则 的度数是_______．【答案】
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF的度数．
【详解】
∵将等边 ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得 ACD，BC的中点E的对应点为F，
∴旋转角△为60°，E，F是对应点， △
则∠EAF的度数为：60°．
故答案为：60°．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键．
10．（2022·辽宁·阜新市第一中学一模）如图，在四边形ABCD中， ，将 绕点C顺时针
旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到 ， ， ，则BD=______．
【答案】
【解析】
【分析】
连接BE，如图，根据旋转的性质得∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，再判断 BCE为等边三角形得到
BE=BC=9，∠CBE=60°，从而有∠ABE=90°，然后利用勾股定理计算出AE即△可．
【详解】
解：连接BE，如图，∵△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到 ACE，
∴∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE， △
∴△BCE为等边三角形，
∴BE=BC=9，∠CBE=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABE=90°，
在Rt ABE中，AE= ．
△
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
旋转前、后的图形全等．
11．（2022·上海·八年级专题练习）在平面直角坐标系 中，直线 分别交x轴、y轴于C、
A两点．将射线 绕着点A顺时针旋转 ，得到射线 ．点D为 上的动点，点B为 上的动点，
点C在 的内部．
（1） 周长的最小值是____________________；
（2）当 的周长取得最小值，且 时， 的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）可作点C关于射线AM的对称点C ，点C关于射线AN的对称点C ．连接C C ．利用两点之间线段
1 2 1 2
最短，可得到当B、D两点与C 、C 在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段C C 的长．
1 2 1 2
（2）根据（1）的作图可知四边形AC CC 的对角互补，结合轴对称可得∠BCD＝90°．利用勾股定理得到
1 2CB2+CD2＝BD2＝（ ）2，因为CB+CD＝4 ﹣ ，可推出CB•CD的值，进而求出三角形的面积．
【详解】
（1）∵直线y＝ 与x轴、y轴分别交于C、A两点，把y=0代入，解得x=2 ，把x=0代入，解
得y=2，
∴点C的坐标为（2 ，0），点A的坐标为（0，2）．
∴AC＝ 4．
作点C关于射线AM的对称点C ，点C关于射线AN的对称点C ．由轴对称的性质，可知CD＝C D，CB
1 2 1
＝C B．
2
∴CB+BD+CD＝C B+BD+C D＝C C 连接AC 、AC ，
2 1 1 2 1 2
可得∠C AD＝∠CAD，∠C AB＝∠CAB，AC ＝AC ＝AC＝4．
1 2 1 2
∵∠DAB＝45°，
∴∠C AC ＝90°．
1 2
连接C C ． ，
1 2
∵两点之间线段最短，
∴当B、D两点与C 、C 在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段C C 的长．
1 2 1 2
∴△BCD的周长的最小值为4 ．
故答案为：4 ．
（2）根据（1）的作图可知四边形AECF的对角互补，其中∠DAB＝45°，因此，∠C CC ＝135°．
2 1
即∠BCC +∠DCC +∠BCD＝135°，
2 1
∴2∠BCC +2∠DCC +2∠BCD＝270°①，
2 1
∵∠BC C＝∠BCC ，∠DCC ＝∠DC C，∠BC C+∠DC C+∠BCC +∠DCC +∠BCD＝180°，
2 2 1 1 2 1 2 1
∴2∠BCC +2∠DCC +∠BCD＝180°②，
2 1
①-②得，∠BCD＝90°．
∴CB2+CD2＝BD2＝（ ）2= ，∵CB+CD＝4 ﹣ ，
（CB+CD）2＝CB2+CD2+2CB•CD，
∴2CB•CD＝（CB+CD）2-（CB2+CD2）=
∴ ．
故答案为：
【点睛】
本题考查了最短路径和勾股定理及一次函数的性质，解题关键利用轴对称确定最短路径，结合勾股定理来
解决问题．
12．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，正比例函数 y＝kx（k≠0）的图像经过点 A（2，4），AB⊥x 轴于
点 B，将 ABO 绕点 A逆时针旋转 90°得到 ADC，则直线 AC 的函数表达式为_____．
△ △
【答案】y=-0.5x+5
【解析】
【分析】直接把点A（2，4）代入正比例函数y=kx，求出k的值即可；由A（2，4），AB⊥x轴于点B，可得出
OB，AB的长，再由△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，由旋转不变性的性质可知DC=OB，
AD=AB，故可得出C点坐标，再把C点和A点坐标代入y=ax+b，解出解析式即可．
【详解】
解：∵正比例函数y=kx（k≠0）经过点A（2，4）
∴4=2k，
解得：k=2，
∴y=2x；
∵A（2，4），AB⊥x轴于点B，
∴OB=2，AB=4，
∵△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，
∴DC=OB=2，AD=AB=4
∴C（6，2）
设直线AC的解析式为y=ax+b，
把（2，4）（6，2）代入解析式可得： ，
解得： ，
所以解析式为：y=-0.5x+5
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及图形旋转的性质，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合
此函数的解析式是解答此题的关键．
三、解答题
13．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知：正方形 ，点 ， 分别是 ， 上的点，连接
， ， ，且 ，求证： ．
【答案】见解析．【解析】
【分析】
将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，根据旋转的性质可得GD=BE，AG=AE，∠DAG=∠BAE，然
后求出∠FAG=∠EAF，再利用“边角边”证明△AEF和△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得
EF=FG，即可得出结论．
【详解】
如解图，将 绕点 逆时针旋转 至 的位置，使 与 重合．
∴ ， ．
∵ ．
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于利用旋转变换作出全等三角
形．
14．（2022·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均
为格点（网格线的交点）．(1)将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到 ，请画出 ﹔
(2)以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到 ，请画出 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平移的方式确定出点A，B，C 的位置，再顺次连接即可得到 ；
1 1 1
（2）根据旋转可得出确定出点A，B，C 的位置，再顺次连接即可得到 ．
2 2 2
(1)
如图， 即为所作；(2)
如图， 即为所作；
【点睛】
本题考查作图-旋转变换与平移变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．（2021·湖南郴州·中考真题）如图1，在等腰直角三角形 中， ．点 ， 分别为 ，
的中点， 为线段 上一动点（不与点 ， 重合），将线段 绕点 逆时针方向旋转 得到
，连接 ， ．（1）证明： ；
（2）如图2，连接 ， ， 交 于点 ．
①证明：在点 的运动过程中，总有 ；
②若 ，当 的长度为多少时， 为等腰三角形？
【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②当 的长度为2或 时， 为等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质得AH=AG，∠HAG=90°，从而得∠BAH=∠CAG，进而即可得到结论；
（2）①由 ，得AH=AG，再证明 ，进而即可得到结论；② 为等腰三角
形，分3种情况：（a）当∠QAG=∠QGA=45°时，（b）当∠GAQ=∠GQA=67.5°时，（c）当
∠AQG=∠AGQ=45°时，分别画出图形求解，即可．
【详解】
解：（1）∵线段 绕点A逆时针方向旋转 得到 ，
∴AH=AG，∠HAG=90°，
∵在等腰直角三角形 中， ，AB=AC，
∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG，
∴ ；
（2）①∵在等腰直角三角形 中，AB=AC，点 ， 分别为 ， 的中点，
∴AE=AF， 是等腰直角三角形，
∵AH=AG，∠BAH =∠CAG，
∴ ，
∴∠AEH=∠AFG=45°，∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即： ；
②∵ ，点 ， 分别为 ， 的中点，
∴AE=AF=2，
∵∠AGH=45°， 为等腰三角形，分3种情况：
（a）当∠QAG=∠QGA=45°时，如图，则∠HAF=90°-45°=45°，
∴AH平分∠EAF，
∴点H是EF的中点，
∴EH= ；
（b）当∠GAQ=∠GQA=（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∠EAH=∠GAQ=67.5°，
∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠EHA=∠EAH，
∴EH=EA=2；
（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，点H与点F重合，不符合题意，舍去，
综上所述：当 的长度为2或 时， 为等腰三角形．【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等
三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键．
16．（2022·河南南阳·一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，动点D在直线BC上（不与点B，C
重合），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，连接
FG．
【特例感知】（1）如图1，当点D是BC的中点时，FG与BD的数量关系是 ，FG与直线BC的位置
关系是 ；
【猜想论证】（2）当点D在线段BC上且不是BC的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？
①请在图2中补全图形；
②若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】（3）若AB＝AC= ，其他条件不变，连接BF、CF．当△ACF是等边三角形时，请直接写
出△BDF的面积．
【答案】（1）FG= BD，FG⊥BC；（2）①补全图形见解析；②结论仍然成立，理由见解析；（3）
△BDF的面积为 或 ．
【解析】【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质以及中位线定理可得结果；
（2）①根据题意画出图形即可；
②根据旋转的性质证明△ABD≌△ACE，结合中位线定理证明结论；
（3）分两种情况进行讨论：当点D在点B的左侧时；当点D在点C的右侧时，分别画出图形结合等边三
角形的性质解答．
【详解】
（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵F，G分别是DE，CD的中点，
∴FG AD，FG∥AD，
∴FG BD，FG⊥BC，
故答案为：FG BD，FG⊥BC；
（2）①补全图形如图所示；
②结论仍然成立，理由如下：如图2，连接CE，
∵把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∵F，G分别是DE，CD的中点，
∴FG CE BD，FG∥CE，
∴FG⊥BC；（3）当点D在点B的左侧时，
如图3﹣1中，作AM⊥BC于M，连接FG，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC ，AM⊥BC，
∴BC＝2，BM＝CM＝AM BC＝1，∠BAM＝∠CAM＝45°，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，点F是DE中点，
∴∠EAF＝∠CAM＝45°，AF＝FD＝EF，
∵△AFC是等边三角形，
∴AF＝AC＝FC ，∠FAC＝∠AFC＝∠ACF＝60°，
∴∠CAE＝15°＝∠BAD，
∴∠ADM＝∠ABC﹣∠BAD＝30°，
∴DM AM ，
∴BD＝DM﹣BM ，
由（2）的结论可得：FG⊥BC，FG BD ，
∴△BDF的面积 ；
当点D在点C的右侧时，
如图3﹣2中，作AM⊥BC于M，连接FG，∵∠BAC＝90°，AB＝AC ，AM⊥BC，
∴BC＝2，BM＝CM＝AM BC＝1，∠BAM＝∠CAM＝45°，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，点F是DE中点，
∴∠EAF＝∠CAM＝45°，AF＝FD＝EF，∠DAF＝45°，
∵△AFC是等边三角形，
∴AF＝AC＝FC ，∠FAC＝∠AFC＝∠ACF＝60°，
∴∠CAD＝∠CAF﹣∠DAF＝15°，
∴∠ADM＝∠ACB﹣∠CAD＝30°，
∴DM AM ，∴BD＝DM+BM 1，
由（2）的结论可得：FG⊥BC，FG BD ，
∴△BDF的面积 ．
综上所述： BDF的面积为 或 ．
△
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握
以上性质定理是解本题的关键．
