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§5.1 平面向量的概念及线性运算
考试要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法
运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
知识梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 长度 ( 或模 )．
(2)零向量：长度为0 的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于 1 个单位 长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平
行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运
法则(或几何意义) 运算律
算
交换律：
a＋b＝b＋a；
加法
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； λ(μ a)＝(λμ)a；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； (λ＋μ)a＝λa＋μa；
当λ＝0时，λa＝0 λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
常用结论
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的
向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接
而成的向量和为零向量．
2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则OF＝(OA＋OB)．
3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的重心，AP＝(AB
＋AC)．
4．若OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
5．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．( √ )
(2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
(3)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( × )
(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( √ )
教材改编题
1．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．若a与b都是单位向量，则a＝b
B．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
C．若用有向线段表示的向量AM与AN不相等，则点M与N不重合
D．海拔、温度、角度都不是向量
答案 CD
解析 A错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B错误，由于只有方向，没有大
小，故x轴、y轴不是向量；C正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；
D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．
2．下列各式化简结果正确的是( )
A.AB＋AC＝BC
B.AM＋MB＋BO＋OM＝AMC.AB＋BC－AC＝0
D.AB－AD－DC＝BC
答案 B
3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
答案 －
解析 由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以解得
题型一 向量的基本概念
例1 (1)(多选)给出下列命题，不正确的有( )
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形
C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
答案 ACD
解析 A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定
有相同的起点和终点；
B正确，因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，所以
四边形ABCD为平行四边形；
C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a
＝b的充要条件，而是必要不充分条件；
D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，
EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是( )
A.AD＝BC B.AC＝BD
C.PE＝PF D.EP＝PF
答案 D
教师备选
(多选)下列命题为真命题的是( )A．若a与b为非零向量，且a∥b，则a＋b必与a或b平行
B．若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|e
C．两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向
D．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件
答案 ACD
思维升华 平行向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
(4)是与a同方向的单位向量．
跟踪训练1 (1)(多选)下列命题正确的是( )
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线
D．若a＝b，b＝c，则a＝c
答案 BCD
解析 A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
C项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即 a与b是反向共线时才成立，故
C正确；
D项，由向量相等的定义知D正确．
(2)对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若a＋b＝0，
则a＝－b，则a∥b，即充分性成立；若a∥b，则a＝－b不一定成立，即必要性不成立，
即“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．
题型二 平面向量的线性运算
命题点1 向量加、减法的几何意义
例2 (2022·济南模拟)已知单位向量e ，e ，…，e ，则|e ＋e ＋…＋e |的最大值是
1 2 2 023 1 2 2 023
________，最小值是________．
答案 2 023 0解析 当单位向量e，e，…，e 方向相同时，
1 2 2 023
|e＋e＋…＋e |取得最大值，
1 2 2 023
|e＋e＋…＋e |＝|e|＋|e|＋…＋|e |＝2 023；
1 2 2 023 1 2 2 023
当单位向量e，e，…，e 首尾相连时，
1 2 2 023
e＋e＋…＋e ＝0，
1 2 2 023
所以|e＋e＋…＋e |的最小值为0.
1 2 2 023
命题点2 向量的线性运算
例3 (多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC边上
一点，且BC＝3EC，F是AE的中点，则下列关系式正确的是( )
A.BC＝－AB＋AD
B.AF＝AB＋AD
C.BF＝－AB＋AD
D.CF＝－AB－AD
答案 ABD
解析 因为BC＝BA＋AD＋DC＝－AB＋AD＋AB＝－AB＋AD，
所以选项A正确；
因为AF＝AE＝(AB＋BE)
＝，
而BC＝－AB＋AD，
代入可得AF＝AB＋AD，
所以选项B正确；
因为BF＝AF－AB，
而AF＝AB＋AD，
代入得BF＝－AB＋AD，
所以选项C不正确；
因为CF＝CD＋DA＋AF
＝－AB－AD＋AF，
而AF＝AB＋AD，
代入得CF＝－AB－AD，
所以选项D正确．命题点3 根据向量线性运算求参数
例4 (2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD满足AD＝BC，平面内点E满足BE＝3CE，CD
与AE交于点M，若BM＝xAB＋yAD，则x＋y等于( )
A. B．－
C. D．－
答案 C
解析 如图所示，
易知BC＝4AD，
CE＝2AD，
BM＝AM－AB
＝AE－AB
＝(AB＋BE)－AB
＝(AB＋6AD)－AB
＝－AB＋2AD，
∴x＋y＝.
教师备选
1．(2022·太原模拟)在△ABC中，AD为BC边上的中线，若点O满足AO＝2OD，则OC等于(
)
A.－AB＋AC B.AB－AC
C.AB－AC D.－AB＋AC
答案 A
解析 如图所示，
∵D为BC的中点，
∴AD＝(AB＋AC)，
∵AO＝2OD，
∴AO＝AD＝AB＋AC，
∴OC＝AC－AO＝AC－＝－AB＋AC.
2．(2022·长春调研)在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上
一点且AN＝AM，若AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ等于( )
A. B.
C．－ D．－
答案 A
解析 由题意，知AN＝AM＝(AB＋BM)
＝AB＋×BC
＝AB＋(AC－AB)
＝－AB＋AC，
又AN＝λAB＋μAC，
所以λ＝－，μ＝，则λ＋μ＝.
思维升华 平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
跟踪训练2 (1)点G为△ABC的重心，设BG＝a，GC＝b，则AB等于( )
A．b－2a B.a－b
C.a＋b D．2a＋b
答案 A
解析 如图所示，由题意可知
AB＋BG＝GC，
故AB＝GC－2BG＝b－2a.
(2)(2022·大连模拟)在△ABC中，AD＝2DB，AE＝2EC，P为线段DE上的动点，若AP＝λAB
＋μAC，λ，μ∈R，则λ＋μ等于( )
A．1 B. C. D．2
答案 B
解析 如图所示，由题意知，
AE＝AC，AD＝AB，
设DP＝xDE，
所以AP＝AD＋DP＝AD＋xDE
＝AD＋x(AE－AD)＝xAE＋(1－x)AD
＝xAC＋(1－x)AB，
所以μ＝x，λ＝(1－x)，
所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝.
题型三 共线定理及其应用
例5 设两向量a与b不共线．
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
(1)证明 ∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，
CD＝3(a－b)．
∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB.
∴AB，BD共线，
又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)解 ∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
教师备选
1．已知P是△ABC所在平面内一点，且满足PA＋PB＋PC＝2AB，若S ＝6，则△PAB的
△ABC
面积为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
答案 A
解析 ∵PA＋PB＋PC＝2AB＝2(PB－PA)，
∴3PA＝PB－PC＝CB，
∴PA∥CB，且两向量方向相同，
∴＝＝＝3，
又S ＝6，∴S ＝＝2.
△ABC △PAB2．设两个非零向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，tb，(a＋b)的终点在同一条
直线上，则实数t的值为________．
答案
解析 ∵a，tb，(a＋b)的终点在同一条直线上，且a与b的起点相同，
∴a－tb与a－(a＋b)共线，
即a－tb与a－b共线，
∴存在实数λ，使a－tb＝λ，
又a，b为两个不共线的非零向量，
∴
解得
思维升华 利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．
(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
跟踪训练3 (1)若a，b是两个不共线的向量，已知MN＝a－2b，PN＝2a＋kb，PQ＝3a－
b，若M，N，Q三点共线，则k等于( )
A．－1 B．1 C. D．2
答案 B
解析 由题意知，
NQ＝PQ－PN＝a－(k＋1)b，
因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，
使得MN＝λNQ，
即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，解得λ＝1，k＝1.
(2)如图，已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不
重合)，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1，] D．(－1,0)
答案 B
解析 因为线段CO与线段AB交于点D，
所以O，C，D三点共线，所以OC与OD共线，
设OC＝mOD，则m>1，
因为OC＝λOA＋μOB，
所以mOD＝λOA＋μOB，
可得OD＝OA＋OB，
因为A，B，D三点共线，
所以＋＝1，可得λ＋μ＝m>1，
所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．
课时精练
1．(多选)下列选项中的式子，结果为零向量的是( )
A.AB＋BC＋CA
B.AB＋MB＋BO＋OM
C.OA＋OB＋BO＋CO
D.AB－AC＋BD－CD
答案 AD
解析 利用向量运算，易知A，D中的式子结果为零向量．
2．若a，b为非零向量，则“＝”是“a，b共线”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 ，分别表示与a，b同方向的单位向量，＝，则有a，b共线，而a，b共线，则，是
相等向量或相反向量，所以“＝”是“a，b共线”的充分不必要条件．
3．设a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)，b是一个非零向量，则下列结论不正确的是( )
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|＝|a|＋|b|
答案 B
解析 由题意得，a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)＝AC＋CA＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；由a＋b＝b，所以B不正确，C正确；由|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，
所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D正确．
4．(2022·汕头模拟)下列命题中正确的是( )
A．若a∥b，则存在唯一的实数λ使得a＝λb
B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
D．|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
答案 D
解析 若a∥b，且b＝0，则可有无数个实数λ使得a＝λb，故A错误；
若a∥b，b∥c(b≠0)，则a∥c，若b＝0，
则a，c不一定平行，故B错误；
若a·b＝0，也可以为a⊥b，故C错误；
根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知，
|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|成立，故D正确．
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点．若AC＝a，BD＝b，
则AE等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
答案 C
解析 如图所示，
∵AC＝a，BD＝b，
∴AD＝AO＋OD
＝a＋b，
∴AE＝AD－ED＝a＋b－b＝a＋b.
6．下列说法正确的是( )
A．向量AB与向量BA的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
D．向量的模是一个正实数
答案 A
解析 A项，AB与BA的长度相等，方向相反，正确；
B项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C项，向量a与b平行时，若a或b为零向量，不满足条件，故错误；
D项，向量的模是一个非负实数，故错误.
7.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若AF＝xAB＋AD，则x
等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 连接AE(图略)，因为F为DE的中点，
所以AF＝(AD＋AE)，
而AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋AD，
所以AF＝(AD＋AE)
＝
＝AB＋AD，
又AF＝xAB＋AD，
所以x＝.
8．(多选)已知4AB－3AD＝AC，则下列结论正确的是( )
A．A，B，C，D四点共线
B．C，B，D三点共线
C．|AC|＝|DB|
D．|BC|＝3|DB|
答案 BD
解析 因为4AB－3AD＝AC，
所以3AB－3AD＝AC－AB，
所以3DB＝BC，
因为DB，BC有公共端点B，
所以C，B，D三点共线，且|BC|＝3|DB|，
所以B，D正确，A错误；
由4AB－3AD＝AC，
得AC＝3AB－3AD＋AB＝3DB＋AB，
所以|AC|≠|DB|，所以C错误．
9．(2022·太原模拟)已知不共线向量a，b，AB＝ta－b(t∈R)，AC＝2a＋3b，若A，B，C三点共线，则实数t＝__________.
答案 －
解析 因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使得AB＝kAC，
所以ta－b＝k(2a＋3b)＝2ka＋3kb，
即(t－2k)a＝(3k＋1)b.
因为a，b不共线，所以
解得
10．已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若AD＝λAB，AE＝
μAC，则＋＝________.
答案 3
解析 如图，设F为BC的中点，
则AG＝AF＝(AB＋AC)，
又AB＝AD，AC＝AE，
∴AG＝AD＋AE，
又G，D，E三点共线，
∴＋＝1，即＋＝3.
11．若正六边形ABCDEF的边长为2，中心为O，则|EB＋OD＋CA|＝________.
答案 2
解析 正六边形ABCDEF中，EB＋OD＋CA＝EO＋DC＋OD＋CA＝ED＋DA＝EA，
在△AEF中，∠AFE＝120°，AF＝EF＝2，
∴|EA|＝＝2，
即|EB＋OD＋CA|＝2.
12．在平行四边形ABCD中，点M为BC边的中点，AC＝λAM＋μBD，则λ＋μ＝________.
答案
解析 AC＝λ＋μ(AD－AB)
＝(λ－μ)AB＋AD，
又因为AC＝AB＋AD，
所以解得
所以λ＋μ＝.13．(多选)点P是△ABC所在平面内一点，且满足|PB－PC|－|PB＋PC－2PA|＝0，则△ABC
不可能是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
答案 AD
解析 因为点P是△ABC所在平面内一点，且|PB－PC|－|PB＋PC－2PA|＝0，
所以|CB|－|(PB－PA)＋(PC－PA)|＝0，
即|CB|＝|AB＋AC|，
所以|AB－AC|＝|AC＋AB|，
等式两边平方并化简得AC·AB＝0，
所以AC⊥AB，∠BAC＝90°，则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不
可能是钝角三角形和等边三角形．
14．在△ABC 中，∠A＝60°，∠A 的平分线交 BC 于点 D，若 AB＝4，且AD＝AC＋
λAB(λ∈R)，则λ＝________，AD的长为________．
答案 3
解析 ∵B，D，C三点共线，
∴＋λ＝1，解得λ＝.
如图，过D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，
则AN＝AC，AM＝AB，
∵在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，
∴四边形AMDN是菱形，
∵AB＝4，∴AN＝AM＝3，
∴AD＝3.
15．(2022·滁州模拟)已知P为△ABC所在平面内一点，AB＋PB＋PC＝0，|AB|＝|PB|＝|PC|＝
2，则△ABC的面积为( )
A. B．2
C．3 D．4答案 B
解析 设BC的中点为D，AC的中点为M，连接PD，MD，BM，如图所示，
则有PB＋PC＝2PD.
由AB＋PB＋PC＝0，
得AB＝－2PD，
又D为BC的中点，M为AC的中点，
所以AB＝－2DM，则PD＝DM，
则P，D，M三点共线且D为PM的中点，
又D为BC的中点，
所以四边形CPBM为平行四边形．
又|AB|＝|PB|＝|PC|＝2，
所以|MC|＝|BP|＝2，则|AC|＝4，
且|BM|＝|PC|＝2，
所以△AMB为等边三角形，∠BAC＝60°，
则S ＝×2×4×＝2.
△ABC
16．若2OA＋OB＋3OC＝0，S ，S 分别表示△AOC，△ABC的面积，则S ∶S
△AOC △ABC △AOC △ABC
＝________.
答案 1∶6
解析 若2OA＋OB＋3OC＝0，
设OA′＝2OA，OC′＝3OC，
可得O为△A′BC′的重心，如图，
设S ＝x，S ＝y，S ＝z，
△AOB △BOC △AOC
则S ＝2x，S ＝3y，S ＝6z，
△A′OB △BOC′ △A′OC′
由2x＝3y＝6z，可得S ∶S ＝z∶(x＋y＋z)＝1∶6.
△AOC △ABC
