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第 33 练 概率
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．甲、乙两位同学进行围棋比赛，比赛实行七局四胜制（没有平局，先胜四局者获胜），
已知每局比赛甲同学获胜的概率为 ，且前五局比赛甲3：2领先，则甲最终获胜的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：由题意知，甲最终获胜包括甲以4：2获胜和甲以4：3获胜两种情况，
其中甲以4：2获胜的概率为 ，甲以4：3获胜的概率为 ，
所以甲最终获胜的概率为 ．
故选：B．
2．素数是指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的
数.在不超过18的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共
有 种等可能的结果，
其和等于16的结果 ， 共2种等可能的结果，
故其和等于16的概率是 .
故选：B.
3．甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为 ， .则谜题被破解的概率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】
设“甲独立地破解谜题”为事件 ，“乙独立地破解谜题”为事件 ，“谜题被破解”为
事件 ，且事件 相互独立，
则 ，
故选：C
4．“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念，李明早上上学的时候，可以
乘坐公共汽车，也可以骑单车，已知李明骑单车的概率为0.7，乘坐公共汽车的概率为
0.3，而且骑单车与乘坐公共汽车时，李明准时到校的概率分别为0.9与0.8，则李明准时到
校的概率是（ ）
A．0.9 B．0.87 C．0.83 D．0.8
【答案】B
【详解】
李明上学骑单车准时到校的概率为 ，乘坐公共汽车准时到校的概率为
，因此李明准时到校的概率为： ，
故选：B
5．为宣传城市文化，提高城市知名度，我市某所学校5位同学各自随机从“趵突腾空”、
“ 历山览胜”、“明湖汇泊”三个城市推荐词中选择一个，来确定该学校所推荐的景点，
则三个推荐词都有人选的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
5位同学任意选取1个景点的方法数为 ，
三个推荐词都有人选，可以先把5人分成三组，然后每组选一个，方法数为，
所以所求概率为 ．
故选：A．
6．为进一步强化学校美育育人功能，构建德智体美劳全面培养的教育体系，某校开设了音
乐､美术､书法三门选修课程.该校某班级有5名同学分别选修其中一门课程学习，每门课程
至少有一位同学选修，则恰好有2位同学选修音乐的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
5名同学分别选修其中一门课程学习，每门课程至少有一位同学选修，
共有 种情况.
恰好有2位同学选修音乐共有 .
所以恰好有2位同学选修音乐的概率 .
故选：B
7．某校为落实“双减”政策；在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有
甲､乙､丙､丁四名同学拟参加篮球､足球､乒乓球､羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间
限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
四个同学，四个不同的项目，所有可能的方案数为：
恰有两人参加同一活动的方案根据分布计数原理：
第一步，从四名同学中选两人安排一个项目；
第二部，剩下的两名同学各安排一个项目则
所以恰有两人参加同一活动的概率为：
故选：C
8．屈原是中国历史上第一位伟大的爱国诗人，中国浪漫主义文学的奠基人，“楚辞”的创
立者和代表作者，其主要作品有《离骚》、《九歌》、《九章》、《天问》等.某校于2022
年6月第一周举办“国学经典诵读”活动，计划周一至周四诵读屈原的上述四部作品，要
求每天只诵读一部作品，则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
该校周一至周四诵读屈原的四部作品方法总数为
周一不读《天问》，周三不读《离骚》的方法总数为
则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为
故选：C
9．“田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上中
下三等．一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马都
各赛一局，采取三局两胜制．已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较
低等次的马快．若田忌不知道齐王三场比赛分别派哪匹马上场，则田忌获胜的概率为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设齐王有上、中、下三等的三匹马A，B，C，田忌有上、中、下三等的三匹马a，b，c，
所有比赛的方式有： ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ；
， ， ； ， ， ，一共6种．其中田忌能获胜的方式只有 ， ， 1种，故此时田忌获胜的概率为 ．
故选：D.
10．将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、
乙、丙三名同学，每名同学至少分得1本， 表示事件：“《三国演义》分给同学甲”；
表示事件：“《西游记》分给同学甲”； 表示事件：“《西游记》分给同学乙”，则
下列结论正确的是（ ）
A．事件 与 相互独立 B．事件 与 相互独立
C． D．
【答案】C
【详解】
解：将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、
乙、丙三名同学，共有 种基本事件，
事件A包含的基本事件数为： ，则 ，
同理 ，
事件AB包含的基本事件数为： ，则 ，
事件AC包含的基本事件数为： ，则 ，
因为 ，故A错误；
因为 ，故B错误；
因为 ，故C正确；
因为 ，故D错误；
故选：C
二、多选题11．截止5月6日，全球不明原因儿童肝炎超300例.在对前期169例病例的研究发现，74
例腺病毒检测阳性.其中20例新冠病毒检测阳性，19例腺病毒和新冠病毒均呈阳性，现从
前期病例中随机抽取2例，记事件 为“恰有1例新冠病毒阳性”，事件 为“恰有1例
腺病毒和新冠病毒均呈阳性”，下列说法错误的有：（ ）
A．事件 的对立事件为“至多有1例新冠病毒阳性”
B．
C．事件 与事件 为互斥事件
D．事件 与事件 为独立事件
【答案】ACD
【详解】
由题可知事件 的对立事件为“没有新冠病毒阳性或恰有2例新冠病毒阳性”，故A错误；
由条件概率公式可得 ，故B正确；
由题可知事件 与事件 可以同时发生，故C错误；
由题可知事件 与事件 相互影响，故D错误.
故选：ACD.
12．事件 与 互斥，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】
因为 与 互斥，所以 是必然事件，故 ，所以A正确，
因为 与 互斥，所以 ，因此 ，
所以B错误，
因为 ，所以C正确，
因为 ，所以 ，于是 ，所以D错误，
故选：AC
三、解答题
13．某建设行政主管部门对辖区内A，B，C三类工程共120个项目进行验收评估，规定评
估分数在85分及其以上的项目被确定为“验收合格”项目，未达到85分的项目被确定为
“有待整改”项目．现通过分层抽样的方法获得了三类工程的12个项目，其评估分数如下：
A类：88，90，86，87，79； B类：85，82，91，74，92； C类：84，90．
(1)试估算A，B，C这三类工程中每类工程项目的个数；
(2)在选取的样本中，从B类的5个工程项目中随机选取2个项目进行深度调研，求选出的
2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目的概率．
【答案】(1)50，50，20(2)
【解析】
(1)
根据分层抽样的定义，有A类工程有 ；
B类工程有 ；C类工程有 ．
∴A，B，C三类工程项目的个数可能是50，50，20．
(2)
易知在B类工程抽样的这5个项目中，
被确定为“验收合格”的项目有3个，所得评估分数分别为85，91，92；
被确定为“有待整改”的项目有2个，所得评估分数分别为82，74．
记选出的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目为事件M．
在B类工程的5个项目中随机抽取2个项目的评估分数数据组合有 ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，共计10
种结果．
抽取的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目的评估分数数据组合有， ， ， ， ， ，共计6种结果．
故所求概率为 ．
14．在全民抗击新冠肺炎疫情期间，某市教育部门开展了“停课不停学”活动，为学生提
供了多种网络课程资源．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高二年级的学生若干进行
网络问卷调查，统计学生每天的学习时间（单位：小时），将样本数据分成 ， ，
， ， 五组（全部数据都在 内），并整理得到如图所示的频率分布直方
图．
(1)已知该校高二年级共有800名学生，根据统计数据，估计该校高二年级每天学习时间不
低于5小时的学生人数；
(2)利用统计数据，估计该校高二年级学生每天平均学习时间；
(3)若样本容量为40，用分层抽样的方法从样本中学习时间在 和 的学生中抽取6
人，再从6人中随机抽取2人调查其学习时间安排情况，求所抽取的2人来自同一组的概
率．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】
(1)
根据统计数据估计该校高二年级每天学习时间不低于5小时的学生人数为．
所以估计该校高二年级每天学习不低于5小时的人数为640人．
(2)
样本中学生每天学习时间的各组频率分别为0.05，0.15，0.50，0.25，0.05.
样本中学生每天平均学习时间为
（小时）．
所以估计该校高二年级学生每天平均学习时间为5.6小时．
(3)
由题意知样本中每天学习时间在 的人数为 ，
每天学习时间在 的学生人数为 ，
故用分层抽样的方法从两组抽取的人数分别为4人和2人，
分别记作 ， ， ， 和 ， ，
从中任取2人的基本事件有：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共15个；
其中来自同一组的基本事件有： ， ， ， ， ， ， 共7个，
故所求概率 ．
15．第六届遵义冬至羊肉粉旅游文化美食节于2021年12月18日至23日在凤凰山文化广
场举办，本次活动旨在从地本产业特色，历史文化、消费习惯出发，打造商旅文体、吃住
行娱尝试融合的消费场景，活动组委会随机邀请100位市民，均分为A、B两个评委组，分
别对甲、乙两店羊肉粉进行品尝评分（满分100分，分数越高表示越受欢迎），A、B两组
的评分结果如下：(1)若以50名市民评分的平均值为作评判依据，甲、乙两店羊肉粉哪家更受欢迎？
(2)采用分层抽样的方法，从A组评分在区间[80，84）和[96，100]的市民中抽取5人，再
从这5人中抽取2人对甲店羊肉粉的优缺点进行总结，求这两人的评分在同一区间的概率.
【答案】(1)甲店羊肉粉受欢迎；(2) .
【解析】(1)
组的平均得分 ，
B组的平均得分 ，
由平均分可知，甲店羊肉粉受欢迎.
(2)
A组评分在区间[80，84）和[96，100]的市民分别为 人， 人，
故由分层抽样抽取评分在区间[80，84）的有2人，分别记为 ，评分在区间[96，100]的
有3人，分别记为 ,随机抽取2人的基本事件为 ，
， ,共10个基本事件，其中两人的评分在同一区间的
有4个，故这两人的评分在同一区间的概率 .
