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2022-2023 学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
14.3.2 公式法
题型导航
题型1
运用平方差公式分解因式
公 题型2
运用完全平方公式分解因式
题型3
十字相乘法
式
题型4
分组分解法
法
题型5
因式分解的应用
题型变式
【题型1】运用平方差公式分解因式
1．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）在下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方差公式，即可求解．
【详解】解：A、 ，不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意；
B、 ，能用平方差公式因式分解，故本选项符合题意；C、 ，不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意；
D、 ，不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式 是解题的
关键．
【变式1-1】
2．（2022·湖南·长沙市开福区清水塘实验学校八年级期末）分解因式：a2﹣25＝_____．
【答案】(a+5)(a−5)
【分析】本题没有公因式，直接应用平方差公式进行因式分解．
【详解】a2﹣25=(a+5)(a−5)，
故答案为：(a+5)(a−5)．
【点睛】本题考查因式分解，分解因式时多项式有两项时要考虑提公因式法和平方差公式，掌握因式分解
的方法是解题关键．
【题型2】运用完全平方公式分解因式
1．（2020·山东·高青县教学研究室八年级期中）若代数式 可化为 ，则b－a的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据完全平方公式得出−2ax＝−6x， ，求出a、b的值，再代入求出即可．
【详解】解：∵代数式 可化为 ，
∴−2ax＝−6x， ，
∴a＝3，b＝9，
∴b−a＝9−3＝6，
故选：D．【点睛】本题考查了因式分解和完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键．
【变式2-1】
2．（2022·安徽·合肥市庐阳中学二模）分解因式： ______．
【答案】
【分析】首先提取公因式 ，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
【题型3】十字相乘法
1．（2022·浙江绍兴·七年级期末）不论x为何值，等式 都成立，则代数式
的值为（ ）
A．-9 B．-3 C．3 D．9
【答案】D
【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出p与q的值，即可求
出答案．
【详解】解：由题意可得 ，
= ，
∴p=2，q=-3，
则 =9．
故选D．【点睛】本题考查了因式分解法-十字相乘法，解决本题的关键是熟练的掌握十字相乘法．
【变式3-1】
2．（2021·贵州黔西·八年级阶段练习）分解因式： =______________．
【答案】（x+3）（x-10）
【分析】利用十字相乘法分解即可．
【详解】解： =（x+3）（x-10）．
故答案为：（x+3）（x-10）．
【点睛】此题考查了因式分解－十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
【题型4】分组分解法
1．（2021·全国·八年级专题练习）已知三角形ABC的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋
bc，则三角形ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，再利用非负数的性质
求解即可．
【详解】∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，
∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0，
即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形．
故选D．
【点睛】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．
【变式4-1】
2．（2022·上海市娄山中学九年级期中）分解因式： __________．
【答案】 ##（x-y+2）（x+y-2）
【分析】先分组成 ，再利用完全平方公式化为 ，最后利用平方差公式解答．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题考查因式分解，涉及分组分解法、完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，掌握相
关知识是解题的关键．
【题型5】因式分解的应用
1．（2022·广东广州·七年级期末）满足 的有理数 和 ，一定不满足的
关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分a＞b与a＜b两种情况讨论，针对这两种情况运用完全平方式、去绝对值符号，进行因式分解，
进一步利用不等式的性质求解即可．
【详解】解：①当a＞b时，则 ，
与ab≠0矛盾，故排除；
②当a＜b时，则 ，∴ ，
∴ ，
∴（2a−b）（a−2b）＝0，
∴2a＝b或a＝2b，
当b＝2a且a＜b时，则b−a＝a＞0，
∴b＞a＞0，
∴可能满足的是ab＞0，a＋b＞0；
当a＝2b且a＜b时，则a−b＝b＜0，
∴a＜b＜0，
∴可能满足的是：ab＞0，a＋b＜0，
故一定不能满足关系的是ab＜0，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，不等式的性质．本题的切入点是就a、b的大小讨论，再分解因
式利用不等式的性质求解．
【变式5-1】
2．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的正方形，
两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（ ）．观察图形，发现多项式
可因式分解为____________．
【答案】
【分析】图中大长方形的面积有两种求法，一是由三个正方形的面积与三个小长方形的面积之和计算，二
是由大长方形的长 与宽 的乘积计算，两者相等即可确定多项式 因式分解的结果．
【详解】解：结合图形，可得长方形的面积为 ，长方形的面积也可以为 ，
∴ = ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了因式分解与几何图形的面积，弄清图形中的面积关系是解题关键．
专项训练
一．选择题
1．（2021·全国·八年级课时练习）多项式 中，各项的公因式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别对系数、字母a、字母b、字母c逐个分析即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：
系数的公因式为4，字母a的公因式为 ，字母b的公因式为b，, 字母c无公因式，
所以各项的公因式是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了求多项式的公因式，解题的关键是掌握求多项式公因式的方法．
2．（2021·全国·八年级单元测试）若多项式 因式分解的结果为 ，则常数 的值为
( )
A． B．2 C． D．6
【答案】B
【分析】根据多项式的乘法法则计算出 的结果，然后与 比较即可．【详解】解：∵ =x2+2x-8= ，
∴m=2．
故选B．
【点睛】此题考查了十字相乘法和整式的乘法，熟练掌握因式分解和整式的乘法是互为逆运算是解本题的
关键．
3．（2021·湖南·邵阳县教育科学研究室七年级期末）若 ，则 的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【详解】∵a+b=3，
∴a2-b2+6b
=(a+b)(a-b)+6b
=3(a-b)+6b
=3a-3b+6b
=3a+3b
=3(a+b)
=9．
故选C
4．（2021·江苏·九年级专题练习）不论 为任何实数， 的值都是（ ）
A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数
【答案】B
【分析】利用完全平方公式配方，进而利用偶次方的性质得出答案．
【详解】
，
∴a2＋b2−6a＋10b＋35的值恒为正数．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用以及偶次方的性质，正确配方得出是解题关键．
5．（2021·全国·八年级专题练习）对于任意的有理数 ,我们规定 ,如．求 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据新规定得出 再根据提公因式法分解因式即可得出答案．
【详解】解：
故选A
【点睛】本题考查了新定义运算，涉及到提公因式法分解因式，灵活运用因式分解的方法是解题的关键．
6．（2021·全国·八年级专题练习）已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋
c2－ab－ac－bc的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】把已知的式子化成 [（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解即可．
【详解】原式= （2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc）
= [（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）]
= [（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]= ×（1+4+1）
=3，
故选D.
【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是
关键．
二、填空题
7．（2021·全国·八年级专题练习）因式分解： ______．
【答案】 ．
【分析】两次运用平方差公式进行因式分解即可得到答案．
【详解】解： = ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了运用平方差公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8．（2022·辽宁锦州·七年级期中）若 ，且 ，则 ___．
【答案】2
【分析】将m2−n2 利用平方差公式变形，将m-n=3代入计算即可求出m+n的值．
【详解】解：∵m2-n2=（m+n）（m-n）=6，且m-n=3，
∴m+n=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查利用平方差公式因式分解，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
9．（2021·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）已知x2+mx+16能用完全平方公式因式分解，则m
的值为 ___．
【答案】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，确定出m的值即可得到答案．
【详解】解：∵要使得 能用完全平方公式分解因式，
∴应满足 ，∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握因式分解的方法、完全平方公式是解本题的关键．
10．（2022·上海·七年级期末）分解因式： _____．
【答案】
【分析】原式利用十字相乘法分解即可．
【详解】原式=（x-2）（x+5），
故答案为：（x-2）（x+5）
【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
11．（2021·全国·八年级专题练习）将代数式 分解因式的结果是______．
【答案】
【分析】先利用平方差公式将式子展开，再利用十字相乘法进行因式分解．
【详解】解：原式=
= ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了因式分解及多项式乘以多项式．熟练掌握十字相乘法是解题的关键．
12．（2021·广东江门·九年级期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”
产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝
9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作
为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是_____（写出一
个即可）．
【答案】104020
【分析】9x3-xy2=x（9x2-y2）=x（3x+y）（3x-y），当x=10，y=10时，密码可以是10、40、20的任意组合
即可．
【详解】9x3-xy2=x（9x2-y2）=x（3x+y）（3x-y），
当x=10，y=10时，密码可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一．【点睛】本题考查的是因式分解，分解后，将变量赋值，按照因式组合即可．
三、解答题
13．（2021·福建省长乐第七中学八年级阶段练习）分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据提公因式法和完全平方公式分解因式即可；
（2）根据提公因式法完全平方公式求解即可．
（1）
原式
= ；
（2）
原式
．
【点睛】本题考查了提公因式法和完全平方公式进行分解因式，解决本题的关键是掌握以上的运算法则．
14．（2022·陕西·西大附中浐灞中学八年级阶段练习）因式分解
(1)m(5-m)+2(m-5)
(2)
(3)
(4) ；【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解即可；
（2）根据平方差公式进行因式分解即可；
（3）根据完全平方公式进行因式分解即可；
（4）综合提公因式及完全平方公式进行因式分解即可．
（1）
解：原式= ；
（2）
解：原式= ；
（3）
解：原式= ；
（4）
解：原式= ．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
15．（2022·全国·九年级专题练习）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，
∴ m＝n＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)a2﹣2a+1+b2＝0，则a＝______，b＝______；(2)已知x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值；
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，求△ABC的周长．
【答案】(1)1，0
(2)xy＝
(3)△ABC的周长为11
【分析】（1）利用因式分解将已知等式进行变形，得到： ，结合非负数的性质求得 、 的
值；
（2）将 变形为 ，再根据非负数的性质求出 ， ，
代入 ，计算即可；
（3）利用因式分解把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可．
（1）
解： ，
， ，
， ，
， ，
故答案为：1，0；
（2）
解： ，
，
， ，
， ，
；
（3）
解：∵2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，∴2a2﹣4a+2+b2﹣10b+25＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣5）2＝0，
则a﹣1＝0，b﹣5＝0，
解得，a＝1，b＝5，
∵5-1＜c＜5+1，即4＜c＜6，且c是正整数
∴c=5
即三角形三边分别为1、5、5，
∴△ABC的周长为1+5+5＝11．
【点睛】本题考查的是因式分解的应用和三角形三边关系，非负性、灵活运用完全平方公式、解题的关键
是因式分解为两个非负数的和．
16．（2018·全国·七年级课时练习）阅读材料：若 ，求 的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1) ，则 ， ．
(2)已知 ，求 的值．
(3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）通过完全平方公式进行变式得 ，然后由非负数性质求得结果；
（2）由 得 ，然后由非负数性质求得结果；
（3）把两个方程通过变式得 ，然后由非负数性质求得a、c，进而得b，便可求得三角
形的周长．（1）
解：由 ，得 ，
∵ ≥0， ，
∴a-3=0，b=0，
∴a=3，b=0．
故答案为：3；0．
（2）
由 得，
∴x-y=0，y-4=0，
∴x=y=4，
∴ =16；
（3）
∵a+b=8，
∴b=8-a，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴a-4=0，c-5=0，
∴a=4，c=5，
∴b=4，
∴△ABC的周长为a+b+c=4+4+5=13．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性，理解阅读材料中的解题思路
是解题的关键．
17．（2021·全国·八年级专题练习）观察下列分解因式的过程： ．
解：原式=像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．
（1）请你运用上述配方法分解因式： ；
（2）代数式 是否存在最小值？如果存在，请求出当a、b分别是多少时，此代数式存在
最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）（a-b）（a+5b）；（2）存在最小值，当a=-1，b=3时，最小值为2．
【分析】(1)理解题意，按题意所给方法分解因式即可；
(2)根据题中所给方法，对原式进行变形求解即可．
【详解】解：(1) ，
，
，
，
；
（2）代数式 ，
=a2+2a+1+b2-6b+9-1-9+12，
= ，
，
∴当 ，b-3=0即 ，b=3时原式有最小值，最小值是2．
【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，掌握因式分解的方法，正确理解问题情境是解题关键．
18．（2022·广东·德庆县德庆中学七年级期中）已知长方形的长宽为x、y，周长为16cm，且满足，求长方形的面积．
【答案】长方形的面积为 或 ．
【分析】利用完全平方公式和十字相乘法将等式左侧因式分解，然后根据两个式子乘积为0，则必有一个
式子为0，分类讨论，分别得出关于x和y的二元一次方程，然后和长方形的周长所得的方程联立，分别
求出x、y即可求出长方形的面积．
【详解】解： ．
．
．
．
或 ．
又∵
∴ ，
或 ．
解得 或 ．
当 时，长方形的面积为5×3= ；
当 时，长方形的面积为
长方形的面积为 或 ．
【点睛】此题考查的是因式分解的应用和解二元一次方程组，掌握利用完全平方公式、十字相乘法因式分
解、两个式子乘积为0，则必有一个式子为0和二元一次方程组的解法是解决此题的关键．
