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热点专题 05 概率初步（10 个热点）
考点一、事件类型
1.必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
2.不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
3.不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）.
说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.
（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即 (必然事件) ；
②不可能事件发生的概率为0,即 （不可能事件） ；
③如果 为不确定事件，那么
考点二、概率
1.定义：一般地，对于一个随机事件 ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 发生的概率，
记为 ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率.
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值.
2.概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的 种结果，那么事件 发生的概率为 ．
（1）一般地，所有情况的总概率之和为1;
（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个;
（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等;
（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接
近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0;
（5）可能性与概率的关系
事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．
3.求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出
来，并且各种结果出现的可能性相等时使用.等可能性事件的概率可以用列举法而求得.但是我们可以通过
用列表法和树形图法来辅助枚举法;
（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不
重不漏地列出所有可能的结果时使用;
（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，
为不重不漏地列出所有可能的结果时使用.
考点三、频率与概率
1.频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数.
2.频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率.
3.一般地，在大量重复试验中，如果事件 发生的频率 会稳定在某个常数 附近，那么，这个常数
就叫作事件 的概率，记为 .
题型一 事件的分类
【例1】下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．在一个只装有黑球的箱子里摸到白球
B．蒙上眼睛射击正中靶心
C．打开电视机，正在播放综艺节目
D．在1个标准大气压下，水加热到100摄氏度沸腾
【答案】D
【分析】本题考查随机事件，解题的关键是根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件判断即可．
【详解】解：A、在一只装有黑球的箱子里不可能摸到白球，故不符合题意；B、蒙上眼睛射击正中靶心是随机事件，故不符合题意；
C、打开电视剧，正在播放综艺节目是随机事件，故不符合题意；
D、在1个标准大气压下，水加热到100摄氏度沸腾是必然事件，符合题意；
故选：D．
【例2】下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起 B．通常加热到 时，水沸腾
C．任意画一个三角形，其内角和是 D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
【答案】D
【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事
件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随
机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐项判定即可．
【详解】解：A、明天太阳从东方升起，是必然事件，故此选项不符合题意；
B、通常加热到 时，水沸腾，是必然事件，故此选项不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是 ，是不可能事件，故此选项不符合题意；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式1-1】在五千年的历史长河中，中华文化绚丽多彩从未断流，而“成语”则是中华文化的一大瑰宝，
下列成语所描述的事件中，不可能事件是（ ）
A．百步穿杨 B．瓮中捉鳖 C．守株待兔 D．水中捞月
【答案】D
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的
事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】A、百步穿杨，是随机事件；
B、瓮中捉鳖，是必然事件；
C、守株待兔，是随机事件；
D、水中捞月，是不可能事件；
故选：D．
【变式1-2】如图，电路图上有4个开关 和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个
开关
【答案】B
【分析】本题考查了随机事件的判断，根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可．解题的
关键是根据题意判断小灯泡能否发光．
【详解】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意．
故选：B．
【变式1-3】成语“守株待兔”反映的事件是 事件（填必然、不可能或随机）．
【答案】随机
【分析】本题主要考查了事件的分类，熟知事件的分类方法是解题的关键：在一定条件下，一定会发生的
事件是必然事件，在一定条件下，不可能发生的事件是不可能事件，在一定条件下，可能发生也有可能不
发生的事件是随机事件．
【详解】解：由题意得，成语“守株待兔”反映的事件是随机事件，
故答案为：随机．
题型二 事件可能性的大小问题
【例3】在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ）
A．用长为 ， ， 三根木棒做成一个三角形
B．射击运动员射击一次，命中10环
C．东台五一节当天的最高温度为30℃
D．在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下
【答案】A
【分析】本题考查了可能性大小的判断，解题的关键是根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．
【详解】解：A、用长为 ， ， 三根木棒做成一个三角形，是不可能事件，符合题意．
B、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意；
C、东台五一节当天的最高温度为30℃，是随机事件，不符合题意；
D、在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下，是必然事件，不符合题意；
故选：A．
【例4】一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色
外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于
．
【答案】2
【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解．
【详解】解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大，
∴n的最小值等于3+1-2=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了可能性的大小，本题可以通过比较白球和红球的个数求解．
【变式2-1】一个不透明的袋子中装有9个小球，其中4个红球，2个黑球，2个白球，1个蓝球，这些小球
除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球可能性最大的是（ ）
A．红球 B．黑球 C．白球 D．蓝球
【答案】A
【分析】本题考查了事件发生的可能性，比较各种颜色球的数量，即可解答．
【详解】解：∵袋中红球有4个，数量最多，
∴摸出红球可能性最大，
故选：A．
【变式2-2】一个不透明的口袋里有4个黄球和4个红球，除颜色不同以外其余均相同，从口袋中任意提出
1个球，要使摸出黄球的可能性大于摸出红球的可能性，可以在摸球之前（ ）．
A．拿出2个黄球 B．拿出2个红球 C．放入2个白球 D．放入2个红球
【答案】B
【分析】袋子里面只有两种球的情况下，哪种颜色的球多，摸到哪种球的可能性就大；
【详解】解：要使摸出黄球的可能性大，黄球数量要多于红球数量，可以放入两个黄球，也可以拿出两个
红球；
故选：B．【点睛】根据可能性大小的判定方法，解答此题即可．
【变式2-3】盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请
你设计下面几种情况的摸球方案．
(1)摸到红球是不可能的；
(2)摸到红球是必然的；
(3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）不放红球即可．
（2）都放红球即可．
（3）根据可能性的程度确定红球比例即可．
【详解】（1）解：盒中只有100个黄球，摸出1个红球；
（2）解：盒中只有100个红球，摸出1个红球；
（3）解：盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球；
盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球；
盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查随机事件概率的运算方法，能够通过概率大小确定红球个数是解题关键．
题型三 概率公式的计算
【例5】如图，A是某景区的入口，B，C，D，E是四个不同的出口，小红从A处进入景区，游玩后任选一
个出口离开，则她从D出口离开的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查概率公式，直接利用概率公式可得答案．
【详解】解：∵有B，C，D，E四个不同的出口，∴她从D出口离开的概率是 ．
故选：A．
【例6】一个不透明的口袋里有10个除颜色外形状大小都相同的球，其中有4个红球，6个黄球．
(1)若从中随意摸出一个球，则摸出黄球的概率为______________；
(2)若从中随意摸出一个球是红球的概率为 ，求袋子中需再加入几个红球？
【答案】(1)
(2)若从中随意摸出一个球是红球的概率为 ，袋子中需再加入8个红球
【分析】（1）根据概率公式即可求解；
（2）设袋子中需再加入x个红球，根据概率公式列出方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵共有10个球，其中6个黄球，
∴从中随意摸出一个球，则摸出黄球的概率为： ；
故答案为： ；
（2）设袋子中需再加入x个红球．
依题意可列： ，
解得 ，
经检验 是原方程的解，
故若从中随意摸出一个球是红球的概率为 ，袋子中需再加入8个球．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
【变式3-1】任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，则朝上的点数是偶
数的概率是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了概率公式求概率，根据概率公式即可求解．
【详解】解：任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中偶数有2，4，6共3种结果，
∴朝上的面的点数为奇数的概率是 ．故答案为： ．
【变式3-2】一个不透明口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，小明通过大量摸球试验后，发现摸到
红球的频率为 ，则估计红球的个数约为 ．
【答案】60
【分析】本题考查了用样本估计总体．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在
概率附近，可以从比例关系入手求解．
【详解】解：∵摸到红球的频率依次是 ，
∴估计口袋中红色球的个数 （个）．
故答案为：60．
【变式3-3】在一个不透明的布袋中装有30个白球和若干个黑球，它们只有颜色不同．若摸出一个球是黑
球的概率是 ，则布袋中黑球的个数有 ．
【答案】45
【分析】本题考查一步概率计算公式，根据题意找到等量关系列方程是解决问题的关键．设黑球的个数为
x个，根据概率公式列出方程，求得答案即可．
【详解】解：设黑球的个数为x个，根据题意得：
，
解得： ，
经检验 是方程的解，
∴黑球的个数为45．
故答案为：45．
题型四 几何概率
【例7】如图，将一个飞镖随机投掷到 的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查了几何概率，勾股定理确定阴影部分的面积在整个图形中占的比例，根据这个比例即可
求出飞镖落在阴影区域的概率．
【详解】解：∵ 的方格纸的面积为 ，阴影部分面积为 ，
∴飞镖落在阴影区域的概率是 ；
故选：C．
【例8】如图， 是一块草地，将阴影部分修建为花圃，已知 ，阴影部分是
的内切圆，一只小鸟将随机落在这块草地上，则小鸟落在花圃上的概率为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，直角三角形的内切圆的半径计算方法，几何概率的计算方法，
掌握直角三角形中内切圆半径为 ，概率的计算方法是解题的关键．
【详解】解：解：∵ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
∴ 的内切圆半径 ，
∴ ， ，
∴小鸟落在花圃上的概率为 ；
故答案为： ．
【变式4-1】如图，转盘中阴影部分扇形的面积为 ，转盘所在圆的半径为2，任意转动这个转盘一次，
当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．【答案】
【分析】本题考查了几何概率，先求出圆的面积，再利用几何概率计算方法即可求解，熟练掌握几何概率
计算方法是解题的关键．
【详解】解：圆的面积为： ，
则指针落在阴影部分的概率为： ，
故答案为： ．
【变式4-2】如图是用相同正方形砖铺成的地面，一宝物藏在其中某一块砖的下面，则宝物在黑色区域的
概率是 ．
【答案】 /0.5
【分析】本题考查几何概率的求法统计出图中瓷砖的总块数，再统计出白色瓷砖的总块数，根据概率公式
计算即可．
【详解】解：图中地板砖共16块，
白色地板砖共8块，
则宝物藏在白色区域的概率 ；
故答案为： ．
【变式4-3】如图，在边长为4的正方形 中，分别以四个顶点为圆心，以2为半径画圆弧，若随机向
正方形 内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．【答案】
【分析】本题考查几何概率．分别计算阴影面积和正方形面积，再将图中阴影面积除以正方形面积即可求
出米粒落在图中阴影部分的概率．
【详解】解：∵正方形 的边长为4，
∴正方形 的面积为 ；
∵扇形的半径为2，扇形的圆心角为 ，
∴阴影部分的面积为 ，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为 ，
故答案为： ．
题型五 有关卡片及转盘的概率问题
【例9】甲、乙两盒中各有3张卡片，卡片上分别标有数字 和 ，这些卡片除数字外都相同．
把卡片洗匀后，从甲、乙两盒中各任意抽取1张，并把抽取得卡片上的数字分别作为平面直角坐标系中的
一个点的横坐标、纵坐标．
(1)列出这样的点所有可能的坐标（用画树状图或列表法求解）；
(2)计算这些点落在直线 上的概率．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）运用列表法即可确定所有的坐标，正确列表成为解答本题的关键；
（2）先确定落在直线 上的点的个数，然后运用概率公式求解即可；掌握概率公式是解答本题的
关键．【详解】（1）解：由题意可列表如下：
所以共9种等可能的结果．
（2）解：“落在直线 上”记为事件A，它的发生有1种可能，即 ，所以件 发生的概率
，
即落在直线 上的概率是 ．
【例10】有一个转盘如图，让转盘自由转动两次，求
(1)第一次指针落在白色区域的概率为__________．
(2)用画树状图或列表法求指针一次落在白色区域，另一次落在灰色区域的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是：
（1）根据白色区域所占比例，利用概率公式可得答案．
（2）将转盘分成4个圆心角为 的部分，画树状图得出所有等可能的结果数以及指针一次落在白色区域，
另一次落在灰色区域的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解： 转盘灰色扇形和白色扇形的圆心角分别为 和 ，
白色扇形区域面积是总区域的 ，第一次指针落在白色区域的概率是 ．
（2）如图，将转盘分成4个圆心角为 的部分，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的结果有6种，
指针一次落在白色区域，另一次落在灰色区域的概率为 ．
【变式5-1】为纪念杭州第19届亚运会成功举办，小东收集了如图所示的四张小卡片（除正面内容不同外，
其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)小东从中随机抽取一张卡片是“亚运会会徽”的概率是__________；
(2)小东从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用适当的方法求抽到的
两张卡片恰好是“吉祥物莲莲”和“吉祥物琮琮”的概率．（这四张卡片依次分别用字母A，B，C，D表
示）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是用树状图法或列表法求概率．（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好是“吉祥物莲莲”和“吉祥物琮琮”
的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：事件所有可能性为4种，小佳从中随机抽取一张邮票是“亚运会会徽”的情况有1种，
即小佳从中随机抽取一张邮票是“亚运会会徽”的概率是 ，
故答案为： ．
（2）解：所有可能出现的结果列表如下：
由表可知：共有12种等可能的结果，其中恰好是“吉祥物莲莲”和“吉祥物琮琮”的结果有2种，所以所
求的概率为 ．
答：抽到的两张卡片恰好是“吉祥物莲莲”和“吉祥物琮琮”的概率为 ．
【变式5-2】有四张完全一样正面分别写有汉字“吉”、“林”、“七”、“中”的卡片，将其背面朝上
并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，请用列表法或
者画树状图法求抽取的两张卡片上的汉字相同的概率．
【答案】
【分析】根据画树状图法求概率即可求解．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复
不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题
时要注意此题是放回还是不放回．
【详解】解：共有16种等可能的结果，其中抽到相同汉字的有4种．
．
【变式5-3】如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有数 ，1，2，指针位置固定，转动转盘后任
其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在
等分线上，则当作指向右边的扇形）．
(1)若小静转动转盘一次，求得到负数的概率．
(2)小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“英雄所见略同”，用列表法（或树状
图法）求两人“英雄所见略同”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式，用负数的情况数除以总情况数，即可求解；
（2）根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再用概率公式求解即可．
【详解】（1）解： 一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有数 ，1，2，
若小静转动转盘一次，得到负数的概率为 ；
（2）解：列表如下：
小静
1 2
小宇1
2
由表可知共有9种等可能的结果，其中两人得到的数相同的结果有3种，
两人“英雄所见略同”的概率为 ．
【点睛】本题考查简单概率公式及列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验
还是不放回实验．
题型六 有关摸球的概率问题
【例11】一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的3个小球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出
一个球，这个球是白球的概率为 ．
(1)求袋子中白球的个数；
(2)随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合
树状图或列表解答）
【答案】(1)2个
(2)
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率
（1）首先设袋子中白球有x个，利用概率公式求即可得方程： ，解此方程即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情
况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：设袋子中白球有x个，
根据题意得： ，
解得： ，
∴袋子中白球有2个；
（2）解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，
∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为： ．
【例12】一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“我”、“爱”、“中”、“国”的四个小球，除汉字不
同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇均匀．
(1)若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“爱”的概率是多少？
(2)从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成
“中国”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有 种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能组成“中国”的结果数，
然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：从中任取一个球，球上的汉字刚好是“爱”的概率 ；
（2）解∶ 画树状图为：
共有 种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字能组成“中国”的结果数为 ，
所以取出的两个球上的汉字能组成“中国”的概率 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 ，再从中选出符
合事件 或 的结果数目 ，然后利用概率公式计算事件 或事件 的概率．掌握概率公式是解题的关键．
【变式6-1】在抽奖现场，一个不透明的袋中装有 个红球， 个黄球， 个白球， 个黑球，从袋中随机摸出 个球，摸到红球表示抽中一等奖，奖金 元；摸到黄球表示抽中二等奖，奖金 元；摸到白球表示抽
中三等奖，奖金 元；摸到黑色表示未中奖．小明有两次抽奖机会，第 次摸出球后，放回袋中并摇匀，
再摸第 次．求小明两次获得奖金不低于 元的概率．
【答案】 ．
【分析】此题考查了画列表法或树状图求概率，利用求概率的方法即可求解，解题的关键是列出所有等可
能的结果．
【详解】列表如图：
第二
次 红 黄 白 黑1 黑2 黑3
第一次
红 红、红 黄、红 白、红 黑 、红 黑 、红 黑 、红
黄 红、黄 黄、黄 白、黄 黑 、黄 黑 、黄 黑 、黄
白 红、白 黄、白 白、白 黑 、白 黑 、白 黑 、白
黑 红、黑 黄、黑 白、黑 黑 、黑 黑 、黑 黑 、黑
白、黑 黑 、黑
黑 红、黑 黄、黑 黑 、黑 黑 、黑
黑 红、黑 黄、黑 白、黑 黑 、黑 黑 、黑 黑 、黑
一共有 种等可能结果，小明两次获得奖金不低于 元的有 种，
∴小明两次获得奖金不低于 元的概率 ．
【变式6-2】一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀．
(1)从袋子中任意摸出1个球，则摸到的球是红球的概率为___________；
(2)从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次中至少有一次是红
球的概率．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）由共有 种等可能结果，其中摸到红球可能的结果有 种，根据概率公式求解可得；
（ ）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【详解】（1）解：∵袋中共有 个球，∴共有 种等可能结果，其中摸到红球可能的结果有 种，
∴ ，
故答案为： ；
（2）画树状图为：
共有 种等可能的结果，所有的结果中，满足“至少有一次是红球”的结果有 种，
∴ ．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法求概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 ，再
从中选出符合事件 或 的结果数目 ，然后根据概率公式求出事件 或 的概率．
【变式6-3】一只不透明的袋子中装有4个除了颜色外都相同的小球，其中两个红球、一个黄球、一个绿球．
搅匀后先从中摸出1个小球（不放回），再从余下的当中摸出一个小球，如果红球代表A种矩形纸片，黄
球代表B种矩形纸片，绿球代表C种矩形纸片，通过画树状图或列表求两次摸出的小球代表的纸片能拼成
一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）
【答案】
【分析】画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式 ，进行计算即可．
【详解】解：由题意得
能够能拼成一个新矩形是两个红色代表的纸片，红色和黄色小球代表的纸片，黄色和绿色小球代表的纸片，
列表如下
红 红 黄 绿
红 （红 ，红 ） （黄，红 ） （绿，红 ）
红 （红 ，红 ） （黄，红 ） （绿，红 ）黄 （红 ，黄） （红 ，黄） （绿，黄）
绿 （红 ，绿） （红 ，绿） （黄，绿）
由表可得，共有12种等可能结果，中两次摸出的小球代表的纸片能拼成一个新矩形的有8种等可能结果，
能拼成一个新矩形的概率
答：两次摸出的小球代表的纸片能拼成一个新矩形的概率为 ．
【点睛】本题考查了利用树状图或列表的方法求等可能情形下的概率，掌握概率的求法是解题的关键．
题型七 有关电路和数字的概率问题
【例13】如图所示的电路图中，当随机闭合 ， ， ， 中的两个开关时，灯泡能发光的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡发光的情况，再利用
概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，能让灯泡发光的有6种情况，
∴能让灯泡发光的概率为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求
情况数与总情况数之比．
【例14】从1、 、2这三个数中任取两个数，其中一个数记为 ，另一个数记为 ，则点 恰好落
在一次函数 的图象上的概率为 ．
【答案】
【分析】画树状图列出所有可能的结果，再判断找出点P（m，n）恰好落在一次函数y=-x+1的图象上的结
果，根据概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，点P（m，n）恰好落在一次函数y=-x+1的图象上的结果有2个，(-1,2)和（2，-
1），
∴点P（m，n）恰好落在一次函数y=-x+1的图象上的概率为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选
出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了一次函数的图象上
点的坐标特征．
【变式7-1】在如图所示的电路中，随机闭合开关 中的两个，能让灯泡 发光的概率是
．
【答案】【分析】先画出树状图得到所有的等可能的结果数，再找到能让灯泡 发光的结果数，最后依据概率计算
公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：
由树状图可知共有6种等可能的结果数，其中能让灯泡 发光的结果数为2，
∴能让灯泡 发光的概率 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图是解题的关键．
【变式7-2】设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b＝0，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从
2，3，4三个数中任取的一个数，求该方程有两个不相等的实数根的概率．
【答案】 ．
【分析】根据一元二次方程x2＋2ax＋b＝0有两个不相等的实数根可得4a2﹣4b＞0，画树状图得出总可能
结果及方程x2＋2ax＋b＝0有两个不相等的实数根的结果，再概率公式求解即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b＝0有两个不相等的实数根，
∴4a2﹣4b＞0，即a2＞b
画树状图如图：
共有9个等可能的结果，方程x2＋2ax＋b＝0有两个不相等的实数根的结果有5个，
∴方程x2＋2ax＋b＝0有两个不相等的实数根的概率为 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及利用列表法及树状图法求概率，正确利用判别式得出a2＞b，熟练掌握概率公式是解题关键．
【变式7-3】已知代数式 ．
(1)化简代数式 ；
(2)在满足 的整数中随机抽取1个代入代数式中，求不会使得代数式无意义的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分式的混合运算法则计算即可解答；
（2）先求出满足 的整数，再求出分式有意义的条件即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：在 区间上的整数有 ， ，0，1，2,共 个，
由（1）得，分式有意义的条件为： 且 ，即 可取0,1，
∴不会使得代数式无意义的概率为 ．
【点睛】本题考查了分式的运算法则，分式有意义的条件及列举法求概率，解题的关键是熟练掌握以上知
识点并保持计算准确．
题型八 有关比赛的概率问题
【例15】在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只
能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），
为提高通关概率，他的求助使用策略为（ ）
A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题
【答案】D
【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的
概率，即可判断．
【详解】解：①若两次求助都用在第1题，
假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况：
第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是 ，
第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是 ，
第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1，
因此第一题答对的概率为： ，第2题答对的概率为 ，
故此时该选手通关的概率为： ；
②若在第1第2题各用一次求助，
假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况：
第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是 ，
第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是 ，
第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是 ，
因此第一题答对的概率为： ，
第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为 ，
故此时该选手通关的概率为： ；
③两次求助都用在第2题，
画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为： .
∵ ，
∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大，
故选：D．
【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的
关键．
【例16】2023年10月15日上午，我校迎来了重量级嘉宾一曼联传奇球星，英超欧冠双料射手王德怀特·
约克和陕西长安联合足球俱乐部优秀球员糜昊伦，与同学们面对面交流指导．为了进一步普及和推广足球
运动，发扬光大“足球精神”，初一年级体育组在第二课堂活动中安排了班级之间的足球比赛．经过第一
轮的比拼后，四个班级 、 、 、 进入半决赛．半决赛中对阵班级按如下方式决定：准备四张一模一
样的卡片，在卡片的正面写上四个班级的名字，将卡片背面朝上放在桌上，随机地从中依次无放回地抽取
两张卡片，抽取到的两张卡片代表的班级比赛，剩余两个班级进行比赛．
(1)抽第一张卡片时，抽到 班的概率为________；
(2)请用树状图或者列表法求出半决赛中 班与 班进行比赛的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，注意是放回实验还是不放回实验是解题的关键．
（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画列表列求出所有等可能结果数，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）∵有A、B、C、D四张卡片，
∴抽到D班的概率为 ．
故答案为： ；（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到A班和B班进行比赛的结果有2种，
∴半决赛中A班与B班进行比赛的概率为 ．
【变式8-1】为了迎接江西师大附中八十周年校庆，政教处组织开展“校史知识竞赛”，某班准备从甲、
乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表班级参加比赛．
(1)如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是______．
(2)用列表法或树状图法表示出所选代表的所有可能结果，并求出所选代表恰好为1名女生和1名男生的概
率．
【答案】(1)
(2)见解析，
【分析】此题考查的是用概率公式和用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回
试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：从其余的候选人中随机选取1人共有3种等可能结果，女生乙被选中的有1种结果，
所以女生乙被选中的概率是 ，
故答案为： ；
（2）解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中所选代表恰好为1名女生和1名男生的结果有8种，
∴所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率为 ．
【变式8-2】2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目。小明
和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为 、 、 、 四个
区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
(1)小明购买门票在 区观赛的概率为______；
(2)求小明和小张在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式；
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小张在同一区域观看比赛的结果数，再利用概率公式
可得出答案．
【详解】（1）由题意得，小明购买门票在 区观赛的概率为 ．
故答案为： ．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果有4种，
小明和小张在同一区域观看比赛的概率为 ．
【变式8-3】2023年10月26日11时14分神州十七号载人飞船成功发射．2023年，中国航天开启高质量、
高效率、高效益发展新征程，中国人探索太空的脚步将迈得更稳更远!为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，阳光中学举办以“相约浩瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲
比赛．九（1）班的李晓和王颜都想参加比赛，他们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班
委决定通过转动转盘来决定人选．如图给出A，B两个均分且标有数字的转盘，规则：同时转动两个转盘，
当转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为2时，李晓获胜；数字之和为5时，王颜获胜，其他情况
视为平局．（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止）
(1)用画树状图或列表法求李晓获胜的概率；
(2)这个游戏规则对双方公平吗?请判断并说明理由．
【答案】(1)
(2)这个游戏规则对双方公平，理由见解析
【分析】本题考查游戏的公平性，列表法求概率；
（1）用列表法或画树状图列出所有可能结果，找出其中和为 的结果数，再利用概率公式求出李晓获胜的
概率即可；
（2）利用（1）中的结果，求出王颜获胜的概率，再与李晓获胜的概率比较即可知道游戏是否公平．
【详解】（1）解：列表如下，
AB
共有12种等可能结果，其中和为 的结果数有2种，
∴李晓获胜的概率为
（2）这个游戏规则对双方公平，
∵共有12种等可能结果，和为 的结果数也有2种，
∴王颜获胜的概率为∵两人获胜的概率相等，
∴这个游戏规则对双方公平．
题型九 利用频率估计概率
【例17】在一个不透明的袋子里装有若干个白球和 个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋
子中摸出一个球记录下颜色后再放回搅匀，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在 左右，则
袋中白球约有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】根据题意可得摸到红球的频率稳定在 左右，可得袋中球的总数，即可求解．
【详解】 经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在 左右，
摸到红球的频率稳定在 左右，
袋中装有若干个白球和 个红球，
袋中球的总数为： ，
袋中白球约有： （个）．
故选：B．
【例18】在不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，
摸出红球的频率稳定在0.8左右，则袋子中红球的个数最有可能是 个．
【答案】16
【分析】本题考查利用频率估计概率，根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．明确题
意，利用概率公式计算出红球的个数是解答本题的关键．
【详解】解：由题意可得， （个），
即袋子中红球的个数最有可能是16个．
故答案是：16．
【变式9-1】某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530
随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于 （精确到0.01）．
【答案】0.53
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可．
【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，
故答案为：0.53
【变式9-2】圆周率 是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的
研究，目前，超级计算机已计算出 的小数部分超过 万亿位，有学者发现， 这 个数字出现的频
率趋于稳定接近相同，从 的小数部分随机取出一个数字为 的概率为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，从π的小数部分随机取出一个数字共有 种等可能的结果，其中出现数字 的
只有 种结果，利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵从 小数部分随机取出一个数字， 这 个数字出现的频率趋于稳定接近相同，
∴从 的小数部分随机取出一个数字共有 种等可能的结果，其中出现数字 的只有 种结果，
∴ (数字是 )= ．
故答案为： ．
【变式9-3】为了解某花卉种子的发芽情况，研究所工作人员在相同条件下，对该花卉种子进行发芽试验，
相关数据记录如下：
种子总数
发芽种子数
发芽的频率
根据以上数据，可以估计该花卉种子发芽的概率为 （结果精确到 ）．
【答案】【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，仔细观察表格，发现大量重
复试验发芽的频率逐渐稳定在 左右，从而得出结论，解题的关键是掌握利用频率估计概率．
【详解】观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在 左右，
∴该花卉种发芽的概率为 ，
故答案为： ．
题型十 统计概率的综合
【例19】为了激发学生的航天兴趣，学校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩
进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组： ，B组： ，C组： ，
D组： ，E组： ，并绘制了如下不完整的统计图，请结合统计图，解答下列问题：
(1)本次调查一共随机抽取了_________名学生的成绩，频数分布直方图中 _________，所抽取学生成绩
的中位数落在_________组；
(2)补全学生成绩频数分布直方图；
(3)若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
(4)学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，
请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)400，60，D
(2)见解析
(3)估计该校成绩优秀的学生有1680人
(4)
【分析】（1）用C组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，由此即可求出m的值，进而根据
中位数的定义求出答案即可；
（2）根据总人数及已知各组人数，计算出E组的人数，从而补全直方图；
（3）根据样本中优秀人数占比即可估计3000人中成绩优秀的数量；
（4）由画树状图的方法得到全部结果及满足题意的结果数，利用概率公式求解即可得到答案．【详解】（1）解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为 （名）；
∴B组的人数为 （名），即 ；
∵所抽取学生成绩的中位数是第200和第201个成绩的平均数，且 ，
∴所抽取学生成绩的中位数落在D组，
故答案为：400，60，D；
（2）解：E组的人数为： （人），
补全学生成绩频数分布直方图如下：
（3）解： （人），
答：估计该校成绩优秀的学生有1680人；
（4）解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种，
∴抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为 ．
【点睛】本题考查概率与统计综合，涉及扇形统计图与条形统计图数据关联、补全条形统计图、用样本估
计总体及列举法求概率等知识，熟记相关统计量及求法，熟练掌握列举法求概率是解决问题的关键。
【例20】某区教科院想了解该区中考数学试题中统计题的得分情况，从甲、乙两所学校各随机抽取了
名学生的学生成绩如下．（该题满分10分，学生得分均为整数）甲学校 名学生成绩（单位：分）分别
为： ．乙学校 名学生学生成绩的条形统计图如下．经过对两校这20名学生成绩的整理得下表：
组
极差 平均分 中位数 方差
别
甲 4 b 8 1.05
乙 7.8 2.46
(1)求出表中的 、 、 的值．
(2)该题得分8分及其以上即为优秀，已知甲学校有 人，请估算甲学校的优秀人数有多少人?
(3)区教科院的老师计划从甲、乙两校得9分的学生中随机抽取两名学生进行当面谈话，了解统计知识学习
情况，请你结合树状图或列表格的方式分析两名学生都来自甲校的概率．
【答案】(1) ； ；
(2)
(3)
【分析】（1）极差即最大值减最小值后所得之数据；平均数，是表示一组数据集中趋势的量数，是指在
一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一
个数据（或最中间两个数据的平均数）．
（2）根据甲学校 名学生中得分8分及其以上的学生占比即可求解；
（3）甲校得9分的学生有 人，乙校得9分的学生也有 人，画出树状图即可求解概率．
【详解】（1）解：由条形统计图可得： ；
；
由条形统计图可得：第 个数据分别是 ，故
（2）解：甲学校 名学生中得分8分及其以上的学生有： （人）
故： （人）即：甲学校的优秀人数有 人
（3）解：甲校得9分的学生有 人，乙校得9分的学生也有 人，
列表如下：
甲1 甲2 甲3 甲4 乙1 乙2 乙3 乙4
甲
1
甲
2
甲
3
甲
4
乙
1
乙
2
乙
3
乙
4
共有56种等可能结果，其中两名学生都来自甲校包含12种可能结果
故两名学生都来自甲校的概率为：
【点睛】本题考查了数据的统计及概率的求解．旨在考查学生的数据处理能力．
【变式10-1】为了让同学们进一步了解中国科技的快速发展，某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报
比赛，该班每位同学从 ．“中国天眼”， ．“5G时代”， ．“夸父一号”， ．“巅峰使命”四
主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制了不完整的统计图如下请根据统计图
中的信息解答下列问题：(1)九（1）班共有______名学生，并把折线图补充完整；
(2)C所对应扇形圆心角的大小为______﹔
(3)请以九（1）班的统计数据估计全校2000名学生大约有多少人选择D主题；
(4)甲和乙从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表法或画树状图法求出他们选择相同主题的概
率．
【答案】(1) ，图见解析
(2)
(3)600人
(4)见解析
【分析】（1）用选择B的学生人数除以其所占的百分比可得九（1）班的学生人数；
（2）用 乘以本次调查中选择D主题的学生所占的百分比即可；
（3）根据用样本估计总体，用2000乘以本次调查中选择D主题的学生所占的百分比即可；
（4）画树状图得出所有等可能的结果数和他们选择相同主题的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）九（1）班的学生人数为 （名）
选择D的学生人数有 （名），故补充为：
故答案为： ．
（2）
故答案为： ．
（3） （人）
∴估计全校2000名学生大约有600人选择D主题．
（4）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中他们选择相同主题的结果有4种
∴他们选择相同主题的概率为 ．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解折线统计图和扇形统计图，
熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
【变式10-2】农科所为了考察某种水稻穗长的分布情况，在一块试验田里随机抽取了52个谷穗作为样本，
量得它们的长度（单位:cm）．对样本数据适当分组后，列出了如下频数分布表：
穗长
频数 4 8 12 13 10 5
(1)请你在图1，
图2中分别绘出频数分布直方图和频数折线图；
(2)请你对这块试验田里的水稻穗长进行分析；
(3)求这块试验田里穗长在 范围内的谷穗的概率．
【答案】(1)见解析
(2)由（1）可知谷穗长度大部分落在 至 之间，其它区域较少，长度在 范围内的谷穗个数最
多，有13个，而长度在 ， 范围内的谷穗个数很少，总共只有9个
(3)
【分析】（1）根据已知表格绘出频数分布直方图与频数折线图即可．（2）找出谷穗长度的大致范围，以及谷穗个数最多与最少的即可．
（3）由穗长在 范围内的谷穗个数除以总数，即可求出．
【详解】（1）解：由题意可作出直方图和折线图，如图所示，
（2）解：由（1）知谷穗长度大部分落在 至 之间，长度在 范围内的谷穗个数最多，有13
个，而长度在 ， 范围内的谷穗个数最少，总共只有9个；
（3）解：这块试验田里穗长在 范围内的谷穗概率为 ．
【点睛】本题考查了频数分布直方图，利用频率估计概率，弄清表格中的数据是解题关键．
【变式10-3】某校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了
抽样调查，每位同学仅选其中的一个类别．根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统
计图．请根据图表提供的信息，解答下列问题：
类别 频数（人数） 频率
力学
热学
光学
电学
合计
(1)求 和 的值；
(2)求表示参与“热学”实验的扇形圆心角的度数；
(3)参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图，电路图上有四个开关 、、 、 和一个小灯泡，闭合开关 或同时闭合开关 、 、 都可使小灯泡发光．若随机闭合其中的
两个开关，小灯泡发光的概率是多少？请你利用树状图或列表的方法解答．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（ ）根据光学的人数和频率即可得出总人数 ，再用总人数乘以 即可求出 的值；
（ ）用 乘以参与“热学”实验的人数所占的百分比即可得出答案；
（ ）依据题意先画树状图得出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；
此题考查了频数与频率，画树状图或列表的方法求概率，求扇形统计图中扇形的圆心角等知识，熟练掌握
这些知识是解题的关键．
【详解】（1）∵ （人），
∴ ；
（2）参与“热学”实验的扇形圆心角的度数是： ；
（3）画树状图如图：
共有 种等可能的情况数，能使小灯泡发光的有 种情况，则使小灯泡发光的概率是 ．
一、单选题
1．（2022上·广东清远·九年级统考期末）已知粉笔盒里只有3支黄色粉笔和2支红色粉笔，每支粉笔除颜
色外均相同，现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用概率的公式求解即可．
【详解】解：粉笔盒里只有3支黄色粉笔和2支红色粉笔，共5支粉笔，
从中任取一支粉笔，有5种等可能的结果，取出黄色粉笔的结果有3种，
∴取出黄色粉笔的概率是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了用公式求概率，掌握求概率的公式是解题的关键．
2．（2022下·陕西渭南·九年级统考期末）小明有两根长度分别为 和 的木棒，他想钉一个三角形的
木框．现有5根木棒供他选择，其长度分别为 ．小明随手拿了一根，恰好能够
组成一个三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系求出第三边的长度范围，然后找出与原来的木棒能够钉成三角形的木棒，
最后根据概率公式即可求出结果．
【详解】解：∵三角形中任意两边之和要大于第三边，任意两边之差小于第三边，
∴要想与两根长度为 和 的木棒钉一个三角形的木框，第三边 的长度范围是： ，
∴只有取到 或 的木棒才可以与 和 的木棒钉成一个三角形木框，
∵随手拿了一根，有五种情况，
∴小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系以及简单概率的计算，根据三角形三边关系求出第三边长的取值
范围是解题的关键．
3．（2022上·河北张家口·九年级统考期末）如图，动点 从点 出发，沿正五边形 的边，每次随
机顺时针或逆时针跳动1步或2步（每步长度与 长相等），则点 跳跃两次后，恰好落在点 处的概
率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出树状图，找出符合结果的个数，用公式 即可求解．
【详解】解：画树状图得
共有 种等可能结果，点 跳跃两次后，恰好落在点 处有 种结果，
；
故选：A．
【点睛】本题考查了用画树状图求概率，掌握解法是解题的关键．
4．（2022上·云南昆明·九年级统考期末）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他
差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个，下图显示了某数学小组开展上述摸
球活动的某次实验的结果．
下面四个推断中正确的是（ ）
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到
红球”的概率是0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】C
【分析】根据概率公式和给出的摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率接近
0.33，故本选项推理错误；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到
红球”的概率是0.35，故本选项推理正确；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球 （个），故本选项推理正确；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率也是0.35，故本选项推理错误．
所以，正确的推断是②③．
故选：C
【点睛】此题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具
体数目=总体数目×相应频率．
5．（2023上·广西玉林·九年级统考期末）在一个不透明的袋子中有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外
的形状、大小、质地完全相同，现随机摸出1个球记下颜色，然后放回摇匀，又随机摸出1个球记下颜色，
有下列说法：①第一次摸出是黑球，第二次摸出的球不一定是黑球；②第一次摸出黑球的概率是 ；③两
次都摸到黑球的概率是 ，则以上说法正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】由题意知，第一次摸出是黑球，第二次摸出的球不一定是黑球，可判断①的正误；第一次摸出黑
球的概率是 ，可判断②的正误；列举法求两次都摸到黑球的概率，可判断③的正确．
【详解】解：由题意知，第一次摸出是黑球，第二次摸出的球不一定是黑球，正确，故①符合要求；
第一次摸出黑球的概率是 ，正确，故②符合要求；
列表如下：
黑 白 白黑 （黑，黑） （黑，白） （黑，白）
白 （白，黑） （白，白） （白，白）
白 （白，黑） （白，白） （白，白）
∴两次摸球共有9种等可能的结果，两次都摸到黑球共有1种结果，
∴两次都摸到黑球的概率为 ，③错误，故③不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了随机事件，简单的概率求解，列举法求概率等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌
握．
6．（2023下·全国·九年级期末）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如 与
d d
x= x=
、 与 5．在一次制取 的实验中， 与 的原子个数比为 ， 与 5的原子个数比为
，若实验恰好完全反应生成 ，则反应生成 的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成 的结果数，
然后根据概率公式求解．
【详解】解：反应的化学方程式为 ，
d
x=
与 的原子个数比为 ， 与 5的原子个数比为 ，
反应后生成的 中 来自于反应物C，而 来自于反应物O，
画出树状图如下：共有6种等可能的结果数，其中反应生成 的结果数为2，
∴反应生成 的概率为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
7．（2023下·山东菏泽·九年级统考期末）下列说法错误的是（ ）
A．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
B．投一枚硬币，“正面朝上”的概率不能用列举法计算
C．必然事件发生的概率是1
D．概率很小的事件不可能发生
【答案】D
【分析】根据用频率估计概率（用频率估计概率，其做法是取多次试验发生的频率稳定值来估计概率）、
列举法求概率、必然事件的定义（必然事件发生的可能性为1）与不可能事件的定义（不可能事件的发生
的可能性为0）逐项判断即可得．
【详解】解：A、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，则此项正确，不符合题意；
B、投一枚硬币，“正面朝上”的概率不能用列举法计算，则此项正确，不符合题意；
C、必然事件发生的概率是1，则此项正确，不符合题意；
D、概率很小的事件也有可能发生，则此项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了用频率估计概率、列举法求概率、必然事件与不可能事件，熟记各概念是解题关键．
8．（2022上·浙江舟山·九年级校联考期中）随机抽检一批毛衫的合格情况，得到如下的频数表．下列说法
错误的是（ ）
抽取件数（件） 100 150 200 500 800 1000合格频数 a 141 190 475 764 950
合格频率 0.90 0.94 b 0.95 0.955 0.95
A．抽取100件的合格频数是90 B．抽取200件的合格频率是0.95
C．任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90 D．出售2000件毛衫，次品大约有100件
【答案】C
【分析】根据频率和频数与数据总数的关系计算a、b的值判断A，B；根据抽取件数很大时，频率稳定在
0.95附近，判断C；根据合格率为0.95，得到次品率为 ，计算次品件数判断D．
【详解】A．抽取100件的合格频数是90，
∵ ，
∴抽取100件的合格频数是90正确；
B．抽取200件的合格频率是0.95，
∵ ，
∴抽取200件的合格频率是0.95正确；
C．任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90，
∵当抽取件数很大时，频率在0.95附近摆动，
∴任抽一件毛衫是合格品的概率为0.95，
∴任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90错误；
D．出售2000件毛衫，次品大约有100件，
∵ （件），
∴出售2000件毛衫，次品大约有100件正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了频数与频率，概率等．解决问题的关键是熟练掌握频数，频率的定义，用频率估
计概率的方法．频数是某类数据出现的次数，频率等于频数与总数据的比值，当重复实验次数充分大时，
频率在概率附近摆动，因此用重复实验次数充分大时频率接近的数值估计概率．
二、填空题
9．（2023下·山东烟台·九年级统考期末）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方模板”它
山五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自山滚动，并随机地停留在某块板上，则小球停留在阴影部分的
概率是 ．
【答案】
【分析】设大正方形的边长为 ，先求出阴影部分的面积，然后根据概率公式即可得到答案．
【详解】解：设大正方形的边长为 ，
，
大正方形的面积 ，
小球停留在阴影部分的概率 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．
10．（2023下·上海浦东新·八年级校考期末）不透明的布袋里有2个黄球、3个红球，它们除颜色外其它
都相同，那么
（1）从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好是红球的概率是 ．
（2）从布袋中一次摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是 ．
【答案】 / /
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有可能出现的结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好是红球的结果有3种，
恰好是红球的概率为： ，
故答案为： ；
（2）列表如下：红 红 红 黄 黄
（红， （黄，
红 （红，红） （黄，红）
红） 红）
（黄，
红 （红，红） （红，红） （黄，红）
红）
（红， （黄，
红 （红，红） （黄，红）
红） 红）
（红，
黄 （红，黄） （红，黄） （黄，黄）
黄）
（红， （黄，
黄 （红，黄） （红，黄）
黄） 黄）
由表知，共有20种可能出现的结果，其中另个颜色相同的结果有8种，
所以这两个球颜色相同的概率为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率公式和利用列表法和画树状图法求概率，注意列表法和画树状图法不要遗漏和重
复出现的结果是解题的关键．
11．（2023下·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期末）一个质地均匀的正方形骰子的六个面上分
别有 到 的点数，将骰子抛掷两次，抛第一次，将朝上一面的点数记为 ，抛第二次，将朝上一面的点数
记为 ，则点 落在直线 上的概率为 ．
【答案】
【分析】由题意画树状图，可得共有36种等可能的结果，然后求出在直线 上的点的坐标，最后
计算求解即可．
【详解】解：由题意画树状图如下：
共有36种等可能的结果，当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
∴在直线 上的点的坐标为 ， ， 共 个，
∴点 、 落在直线 上的概率 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列举法求概率，一次函数．解题的关键在于列举所有可能存在的情况．
12．（2023上·湖北随州·九年级统考期末）如图，是一幅长3.2米、宽2米的长方形中国国际进口博览会宣
传画．为测量宣传画上熊猫图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设
骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在熊猫图案中的频率稳
定在常数0.12附近，由此可估计宣传画上熊猫图案的面积为 平方米．
【答案】0.768
【分析】利用频率估计概率得到估计骰子落在熊猫图案中的概率为0.12，然后根据几何概率的计算方法计
算宣传画上熊猫图案的面积．
【详解】解：∵骰子落在熊猫图案中的频率稳定在常数0.12左右，
∴估计骰子落在熊猫图案中的概率为0.12，
∴估计宣传画上熊猫图案的面积 平方米．
故答案为：0.768．【点睛】考查了频率估计概率，解题关键是理解由几何概率估计图案在整幅画中所占比例．
13．（2023下·江西抚州·九年级统考期末）如图，在3×3的正方形网格中，有3个涂成黑色的小方格，若
再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是 ．
【答案】
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称
图形．根据轴对称图形的定义找出符合的情况，再利用概率公式，即可得到答案．
【详解】解：如图，从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色共有6种等可能的情况，
其中，是轴对称图形的有①②③⑥，共4种情况，
完成的图案为轴对称图案的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图形，概率公式，熟练掌握轴对称的定义是解题关键 ．
14．（2023下·四川成都·八年级统考期末）有6张大小形状相同的卡片，正面分别写有1，2，3，4，5，6
这6个数字，将它们的背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为 ，能使关于 的分式方程
的解为正整数的概率是 ．
【答案】
【分析】解分式方程得 ，根据解为正整数得出m的范围，据此确定符合条件的m的值的个数，再
根据概率公式计算可得．
【详解】解：解方程 得 ，因为方程的解为正整数，
所以 ， 且m为整数
解得： ， 且m为整数
则在1，2，3，4，5，6这六个数字中符合条件的只有1个，即只有 符合条件，
所以能使关于 的分式方程 的解为正整数的的概率为 ．
故答案为 ．
【点睛】此题考查了概率公式的应用以及分式方程的解的情况，根据题意求出m的值的个数是解题的关键，
用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．特别提醒，要剔除有增根的情况．
15．（2023下·上海青浦·八年级统考期末）从① ，② ，③ ，④ 四个关
系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形 是平行四边形的概率是 ．
【答案】
【分析】根据一对对边平行且相等的四边形、两组对边相等的四边形、两组对边平行的四边形都是平行四
边形，逐一判定，而后根据概率的计算方法解答．
【详解】解：① ，② ，∴四边形ABCD是平行四边形，
① ，③ ，∴四边形ABCD是平行四边形，
① ，④ ，无法判断；
② ，③ ，无法判断；
② ，④ ∴四边形ABCD是平行四边形；
③ ，④ ∴四边形ABCD是平行四边形；
故选到能够判定判定四边形 有4种结果，
∴选到能够判定 是菱形的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，概率等，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，
概率的计算方法．
16．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别
标有数字 ，1，2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．小红从布袋中随机摸出一个小球，记下数字
作为 的值，不放回，再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为 的值，使得关于 的一元二次方程有实数根的概率是 ．
【答案】
【分析】先列表或画树状图，列出a、b的所有可能的值，进而通过一元二次方程根的判别式，求出使得关
于 的一元二次方程 有实数根的概率．
【详解】方程 有实数根，
则有 ,即 ,
列表：
-1 1 2
-1
1
2
共有9种等可能的结果数，其中符合条件的结果数为7，
所以使得关于 的一元二次方程 有实数根的概率= ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
三、解答题
17．（2023下·陕西渭南·九年级统考期末）淘气和笑笑做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了
100次试验，结果如下：
朝上的点
1 2 3 4 5 6
数
出现的次 2
15 14 25 13 13
数 0
(1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率；
(2)笑笑将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数为1的概率；
(3)淘气将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用“1点朝上”的频率除以总试验次数，即可求出“1点朝上”的频率；用“6点朝上”的
频率除以总试验次数，即可求出“6点朝上”的频率；
（2）根据概率公式求解即可；
（3）根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：“1点朝上”的频率为 ，
“6点朝上”的频率为 ．
（2）解：朝上的点数为1的概率 ．
（3）解：∵朝上的点数不小于4，
∴有4、5、6这3种可能性，
∴朝上的点数不小于4的概率 ．
【点睛】本题主要考查了频率，用概率公式求概率，解题的关键是掌握频率=频数和试验总次数之比，概
率=所求情况数与总情况数之比．
18．（2022上·湖北随州·九年级统考期末）某校为了了解九年级男生的体质锻炼情况，随机抽取部分男生
进行1000米跑步测试，按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，其中良好的学生人数占抽取学
生总数的 ，学校绘制了如下不完整的统计图：(1)求被抽取的合格等级的学生人数，并补全条形统计图；
(2)为了进一步强化训练，学校决定每天组织九年级学生开展半小时跑操活动，并准备从上述被抽取的成绩
优秀的学生中，随机选取1名担任领队，小明是被抽取的成绩优秀的一名男生，求小明被选中担任领队的
概率；
(3)学校即将举行冬季1000米跑步比赛，预赛分为A，B，C三组进行，选手由抽签确定分组，求某班甲、
乙两位选手在预赛中恰好分在同一组的概率是多少？请画出树状图或列表加以说明．
【答案】(1)合格等级的人数为 人，补全图形见解析
(2)
(3)树状图见解析，甲、乙两人恰好分在同一组的概率是
【分析】（1）先利用良好等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出合格等级的人数，
从而补全统计图；
（2）直接根据概率公式求解即可；
（3）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出甲、乙两人恰好分在同一组的结果数，然后根据概率
公式求解即可．
【详解】（1）解：合格等级的人数为 ，
补全条形统计图如图：（2）解：∵被抽取的成绩优秀的学生有12人，
∴小明被选中担任领队的概率为 ．
（3）解：根据题意画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两人恰好在同一组的结果数为3，
∴甲、乙两人恰好分在同一组的概率是 ．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与列举法求概率的知识．此题难度适中，注意理解题意
是解此题的关键．
19．（2023上·河南信阳·九年级校联考期末）某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，
C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了
部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为
150°．请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有 ___________人；(2)请你将条形统计图补充完整；
(3)若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中大约有___________名学生参加了篮球社
团；
(4)在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名
是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图或表格求恰好选中一男一女的概率．
【答案】(1)360
(2)见解析
(3)300人
(4)
【分析】（1）由D的人数除以所占比例即可；
（2）求出C的人数，即可解决问题；
（3）由该校共有学生人数除以参加篮球社团的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有8种再由概率公式求解即可．
【详解】（1）∵D所占扇形的圆心角为 ，
∴这次被调查的学生共有： （人）；
故答案为：360．
（2）C组人数为： （人），
故补充条形统计图如下图：
（3） （人），
答：这1800名学生中有300人参加了篮球社团，
（4）设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：∵一共有12种可能的情况，恰好选择一男一女有8种，
∴ ．
所以，恰好选中一男一女的概率为
【点睛】此题考查了用树状图法求概率、扇形统计图、条形统计图以及用样本估计总体，画树状图法求概
率，根据条形统计图和扇形统计图获取信息和数据与正确画树状图是解题的关键．
20．（2022上·广东广州·九年级广州市天河中学校考期末）某校对九年级学生参加体育“五选一”自选项
目测试进行抽样调查，调查学生所报自选项目的情况统计如下：
自选项 实心
立定跳远 三级蛙跳 跳绳 铅球
目 球
人数/人
频率
(1) ________， ________；
(2)该校有九年级学生350人，请估计这些学生中选“跳绳”的约有多少人？
(3)在调查中选报“铅球”的4名学生，其中有3名男生，1名女生，为了了解学生的训练效果，从这4名
学生中随机抽取两名学生进行“铅球”选项测试，请用列举法或树状图法求所抽取的两名学生中恰好有1
名男生和1名女生的概率．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）根据跳绳的人数和频率可求出抽样调查的总人数，立定跳远的人数除以总人数可得频率 ，
总人数乘以实心球的频率可得 ；
（2）用九年级的 人乘以跳绳的频率即可得出答案；
（3）用树状图列出所有等可能情况，再用满足情况的除以总人数即可得出频率．
【详解】（1）解： 跳绳的人数为 人，频率为 ，
抽样调查的总人数为 ；立定跳远的人数为 人，
；
实心球的频率为 ，
；
故答案为： ， ．
（2）解： 九年级有学生 人，抽样调查中跳绳的频率为 ，
人；
九年级学生 人中选“跳绳”的约有 人．
（3）选报“铅球”的 名学生，其中有 名男生， 名女生，列出树状图，
总共有12种等可能情况，满足一男一女的有6种情况， ；
恰好有1名男生和1名女生的概率为 ．
【点睛】本题考查概率的基本性质，树状图和列表法求概率，理清题意准确列举出情况是解题的关键．
21．（2023下·陕西西安·九年级统考期末）有三把不同的钥匙 ， ， 和两把不同的锁 ， ，其中钥
匙 只能打开锁 ，钥匙 只能打开锁 ，钥匙 不能打开这两把锁．
(1)随机取出一把钥匙，取出 钥匙的概率是___________；
(2)随机取出一把钥匙开任意一把锁，请利用画树状图或列表的方法，求一次打开锁的概率
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式即可求解．
【详解】（1）解：∵有三把不同的钥匙 ， ， ，
∴随机取出一把钥匙，取出 钥匙的概率 ．
故答案为 ．（2）解：如解图，树状图如下：
共有6种等可能的结果，一次打开锁的结果有2种，
∴一次打开锁的概率 ．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于
两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实
验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（2023下·辽宁沈阳·九年级统考期末）一个口袋中装有 个白球、 个红球，这些球除颜色外完全相同，
将口袋中的球搅拌均匀，求：
(1)随机摸出一球，发现是白球．
如果将这个白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______ ；
如果这个白球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______ ；
(2)如果将口袋中加入若干个白球，并取出相同数量的红球，然后再从中随机摸出一个球，记下它的颜色后
再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了 次球，发现有 次摸到红球，请你估计加入______ 个白
球．
【答案】(1)① ；②
(2)
【分析】（1）①摸出一个白球放回对第二次摸到白球没有影响，直接利用概率公式求解即可；
②确定摸出一个白球不放回的白球和红球的个数，直接利用概率公式求解即可；
（2）估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为 ，然后根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：（1）①如果将这个白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是 ；
②如果这个白球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是 ；故答案为：① ；②
（2）解：设加入 个白球，
根据题意得： ，
解得 ，
经检验 是方程的解，
估计加入 个白球．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率的公式和利用频率估计概率，用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之
比，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频
率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计
概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
