文档内容
25.2 用列举法求概率（第一课时）
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十五章“概率初
步”25.2 用列举法求概率（第一课时 列表法求概率），内容包括：用列举法(列表法)求简单随机事件的
概率．
2.内容解析
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限种，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以
通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫做列举法. 当每次试验涉及两
个因素时，为了更清晰、不重不漏地列举出试验的所有结果，教科书给出了以表格形式呈现的列举法——
列表法．这种方法适合列举每次试验涉及两个因素，且每个因素的取值个数较多的情形．相对于直接列举
法，用表格列举体现了分步分析对思考较复杂问题时起到的作用．将试验涉及的一个因素所有可能的结果
写在表头的横行中，另一个因素所有可能的结果写在表头的竖列中，就形成了不重不漏地列举出这两个因
素所有可能结果的表格．这种分步分析问题的方法，将在下节课树状图法中进一步运用．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：用列表法求简单随机事件的概率．
二、目标和目标解析
1.目标
1）会用直接列举法、列表法列举所有可能出现的结果.
2）用列举法(列表法)计算简单事件发生的概率.
2.目标解析
达成目标1）的标志是：对于结果种数有限且每种结果等可能的随机事件，可以用列举法求概率；当
每次试验涉及两个因素，且每个因素的取值个数较多时，相对于直接列举，采用表格的方式更有利于将试
验的所有结果不重不漏地表示出来．
达成目标2）的标志是：掌握列表法求概率的步骤：
1）列表；
2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值；
m
3）利用概率公式P(A)= ，计算出事件的概率．
n
三、教学问题诊断分析
学生已经理解了列举法求概率的含义，但对于涉及两个因素的试验，如何不重不漏地列举出试验所有可能的结果这对学生而言是一种考验，如何设计出一种办法解决这个较复杂问题，“分步”分析起到了重
要作用．
基于以上分析，本节课的教学难点是：掌握列表法求概率的步骤．
四、教学过程设计
（一）复习巩固
【提问】简述概率计算公式？
师生活动：教师提出问题，学生通过之前所学知识尝试回答问题.
【设计意图】通过回顾上节课所学内容，为接下来学习利用列表法求概率打好基础．
（二）探究新知
【问题一】老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一
样，学生赢. 你们觉得这个游戏公平吗？
师生活动：教师提出问题，学生尝试思考.
【设计意图】通过现实生活中的实际问题，激发学生学习数学的兴趣．
【问题二】同时掷两枚硬币，求下列事件的概率：
1）两枚硬币两面一样.
2）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上.
3）问题一中的游戏公平吗？
师生活动：教师提出问题，先要求学生说出可能出现的情况.部分学生认为：上述三个事件恰好代表
1
了抛掷两枚硬币的所有可能的结果，故概率分别为 ；另一位学生认为：出现结果为：正正、正反、反正、
3
1 1 1
反反，其中“正反”与“反正”应分别算作两种可能的结果，故上述事件的概率分别为 ， 和 ．教师
4 4 2
强调：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可
以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫做列举法.
师：你觉得问题一中的游戏公平吗？
师生活动：学生通过刚才的结论得出：学生赢的概率与教师赢的概率相等，所以该游戏是公平的.
教师补充说明：上述这种列举法我们称为直接列举法（枚举法）并给出使用直接列举法的注意事项.
【设计意图】让学生掌握用列举法求概率的使用条件：①所有可能出现的结果是有限个.
②每个结果出现的可能性相等.
【问题三】“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？由
此你发现了什么？师生活动：教师共同作答，得出：同时掷两枚硬币，会出现：两正、两反，一正一反和一反一正；
先后两次掷一枚硬币，也会出现：两正、两反，一正一反和一反一正.所以这两种实验的所有可能的结果
一样.教师指出：“两个相同的随机事件同时发生”与“一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的，
因此作此改动对所得结果没有影响．当试验涉及两个因素时，可以“分步”对问题进行分析．
【设计意图】让学生理解当试验涉及两个因素时，可以“分步”对问题进行分析．
（三）典例分析与针对训练
例1 小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的
概率是_________
【针对训练】
1. 从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为____________
2. 如图，4×2的正方形的网格中，在A，B，C，D四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率
为______________
3．（2020·江苏南通·统考中考真题）某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随
机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．请用所学概率知识解决下列问题：
1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．
4．（2022·江苏南京·统考中考真题）甲城市有2个景点A、B，乙城市由3个景点C、D、E，从
中随机选取景点游览，求下列事件的概率：
(1)选取1个景点，恰好在甲城市；
(2)选取2个景点，恰好在同一个城市．
【设计意图】巩固用列举法求概率．
（四）探究新知
【问题三】同时投掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率.
1）两个骰子的点数相同.2）两个骰子点数的和是9.3）至少有一个骰子的点数为2.
师生活动：师生分析得出，与问题二类似，问题三的试验也涉及两个因素(第一枚骰子和第二枚骰子)，但这里每个因素的取值个数要比问题二多(抛一枚硬币有2种可能的结果，但掷一枚骰子有6种可能的结
果)，因此试验的结果数也就相应要多很多．因此，直接列举会比较繁杂，可以使用列表法．列表法适合
列举每次试验涉及两个因素，并且每个因素的取值个数较多的情形．
师：如何列表？
师生活动：学生分析，因为试验涉及两个因素(两枚骰子)，可以分两步进行思考，将第1枚骰子的所
有可能结果作为表头的横行，将第2枚骰子的所有可能结果作为表头的竖列，列出如下表格：
第1枚
1 2 3 4 5 6
第2枚
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
由上表可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的可能性相同.
1)两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种，即(1,1),(2,2),(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，
6 1
所以P(A)= =
36 6
4
2)两枚骰子的点数相同(记为事件B)的结果有4种，即(3,6),(6,3),(5,4)，(4,5) 所以P(B)= =
36
1
9
3)至少有一个骰子的点数为2(记为事件C)的结果有11种，即(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)
11
(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)所以P(B)=
36
【设计意图】明确列表法．
【问题四】简述列表法求概率的步骤？
师生活动：教师提出问题，学生尝试回答.教师引导与归纳得出：
1）列表；2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值；
m
3）利用概率公式P(A)= ，计算出事件的概率．
n
【设计意图】让学生掌握列表法求概率的方法.
（五）典例分析与针对训练
例2 一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色不同外其余都相同，随机摸出一个球后放
回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是_______________
【针对训练】1. 某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行调查．各组随机抽取
辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是______________
2.从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛．
(1)若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概率是___________；
(2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有丁的概率．
3．在一个不透明的口袋中装有大小材质完全相同的三个小球，分别标有数字3，4，5, 另有四张背面
完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字2，3，4，5，四张卡片背面朝上放在桌面上．小明先从口袋中随
机摸出一个小球，记下小球上的数字为x，小红再从桌面上随机抽出一张卡片，记下卡片上的数字为y．
(1)从口袋中摸出一个小球恰好标有数字3的概率是___________；
(2)求点P（x，y）在直线y=x−1上的概率．
【设计意图】巩固列表法求概率的方法.
（六）直击中考
1．（2023·安徽中考真题）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位
数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为
（ ）
5 1 1 2
A． B． C． D．
9 2 3 9
2．（2023·湖南中考真题）有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的
三位数是5的倍数的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 3 2
3．（2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和
三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名
女同学的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考考什么，进一步了解考点.
（七）归纳小结
1. 通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2. 用列举法求概率应该注意哪些问题？
3. 列表法适用于解决哪类概率求解问题？使用列表法有哪些注意事项？
（八）布置作业P138：练习
