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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题02 复数小题综合 （新高考通用）
一、单选题
1．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）若复数z满足 （ 为虚数单
位），则复数z在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先将复数z化简为复数的标准形式，然后判断其在复平面内的所在象限即可.
【详解】已知 ，得 ，所以 ，所以其在复平面内
对应的点为 ，在第四象限；
故选:D
2．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）记 是虚数单位，复数 满足
，则 （ ）
A．－2或 B． 或 C． 或2 D． 或2
【答案】D
【分析】设 ，根据复数的运算得出 .
【详解】设 且a、b∈R，则 ，
因为 ，所以
即 ，解得 或 .
即 或2.
故选：D
3．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若复数 满足 ，则（ ）
A． 的实部为 B． 的虚部为
C． 在复平面对应的点在第四象限 D． 的模长为
【答案】C【分析】利用复数的除法化简复数 ，利用复数的概念与几何意义逐项判断，可得出
合适的选项.
【详解】因为复数 满足 ，则 ，
所以， 的实部为 ，虚部为 ， 在复平面对应的点在第四象限，
.
ABD错，C对.
故选：C.
4．（2023·湖南邵阳·统考二模）在复平面内，复数 （ 为虚数单位）对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】先化简复数为代数形式，再判断对应的点所在的象限即可.
【详解】依题意 ，对应的点为 在第三象限.
故选：C．
5．（2023·山东威海·统考一模）若 是纯虚数，则a＝（ ）
A．－1 B．1 C．－9 D．9
【答案】A
【分析】先将复数化简，再根据纯虚数列出方程组求解即可.
【详解】 ,
因为 是纯虚数，故 ，得 ，
故选：A.
6．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）设复数 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数乘除法法则、共轭复数及复数的模计算公式可得结果.
【详解】由题意知 ，所以
，所以 .
故选：C.
7．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于 、 的等
式，解出这两个未知数的值，即可得出复数 .
【详解】设 ，则 ，则 ，
所以， ，解得 ，因此， .
故选：B.
8．（2023·江苏泰州·统考一模）在复平面内，复数 对应的点关于直线 对
称，若 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】根据对称性得到 ，从而计算出 ，求出模长.
【详解】 对应的点为 ，其中 关于 的对称点为 ，
故 ，故 .
故选：C
9．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知复数 ， 满足： 在复平面中对应
的点为 ，且 ，则 不可能是下列的（ ）
A．1 B． C．i D．
【答案】B
【分析】设 ，根据题意，得到关于 的方程，再结合选项判断即可.
【详解】设 ，由题意，可知 ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
根据选项，可知 不可能是 .
故选： .
10．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）“ ”是“复数 为纯虚数”
的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】 ， 时 是纯虚数， 是纯虚数，则 ，
得到答案．
【详解】 ，
时 是纯虚数，充分； 是纯虚数，则 ，不必要．
故选：A11．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知 （ ，i为虚数单位），
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 （ ，i为虚数单位），利用复数相等求得 ，代入
求解.
【详解】解：因为 （ ，i为虚数单位），
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
12．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由复数的运算即可得到结果.
【详解】因为 ，则
故选:B
13．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若复数 满足 （其中 是虚
数单位），复数 的共轭复数为 ，则 （ ）A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据复数的运算得出 ，根据共轭复数的概念求出共轭复数，进而求
解.
【详解】因为复数 满足 ，则 ，
所以复数 的共轭复数为 ，则 ，
故选： .
14．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，根据复数运算化简后，由复数相等求解即可.
【详解】设 ，则 ，
由 ，可得 ，即 ，
所以 ，且 ，解得 ，
所以 .
故选：C.
15．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）设复数 满足 （其
中 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由共轭复数的概念求 ，再根据复数的运算求解.
【详解】∵ ，则 ，
∴ .
故选：C.16．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）若复数 满足 （ 为虚数单位），则
（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】先根据条件求出复数 的代数形式，进而直接求模即可.
【详解】 ，
，
.
故选：A.
17．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）欧拉恒等式 （i为虚部单位， 为
自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式
的特例：当自变量 时， ，得 ．根据欧拉公式，复
数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据欧拉公式得到复数的代数形式，结合诱导公式计算即可得答案.
【详解】
，则虚部为 ．
故选：C．
18．（2023·湖南·模拟预测）设 是虚数单位，已知复数 满足
，且复数 是纯虚数，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的四则运算及纯虚数的定义可求．
【详解】由 ，得
，
又因为 为纯虚数，所以 ，
故选：D．
19．（2023·湖北·统考模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由复数除法法则求得 ，再由复数模的定义计算．
【详解】由 ，得 ，
所以 ．
故选：A．
20．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）若 （ 为虚数单位），则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】先利用复数的四则运算求出复数 ，然后利用复数求模的公式即可计算.
【详解】由 可得 ，
所以 ，
故选： .
21．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）已知复数 ，其中i是虚数单位，
则 在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据复数运算求复数 的代数形式，再求其共轭复数及其对应的点所在象限.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
故 在复平面内所对应的点的坐标为 ，在第三象限.
故选：C.
22．（2023·山东淄博·统考一模）设复数 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】求出复数 的代数形式，进而可求模.
【详解】 ，
.
故选：D.
23．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知复数 在复平面内的对应点为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由题知 ，再根据复数四则运算求解即可.
【详解】解：因为复数 在复平面内的对应点为 ，
所以 ，
所以
故选：D
24．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）复数 是虚数单位，则
（ ）
A．5 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据虚数单位的性质得 ，再结合复数的乘法运算及复数模的概念即
可得到答案.
【详解】复数 ，
故选：B.
25．（2023·江苏南通·统考模拟预测）若复数z满足 （ 为虚数单位），
则 （ ）
A．2 B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】由 ，已知条件中解出 即可计算结果.
【详解】复数z满足 ，则 ， ，
，可得 .
故选：D.
26．（2022秋·江苏南京·高三校考期末）设 为实数，若存在实数 ，使得
为实数（ 为虚数单位），则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】由题知关于 的方程 有实数根，进而得 ，再解不等式
即可得答案.
【详解】解：由题知， ，
因为存在实数 ，使得 为实数，
所以关于 的方程 有实数根，
所以， 有实数根，
所以 ，即
所以， 的取值范围是
故选：C
27．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）复数 ，复数 满足 ，
则下列关于 的说法错误的是（ ）
A． B．
C． 的虚部为 D． 在复平面内对应的点在第二象限
【答案】C
【分析】由已知求出 ，根据复数的概念，即可判断各项.
【详解】对于A，由已知可得，
，故A正确.
对于B，因为 ，所以 ，故B正确；对于C，根据复数的概念可知 的虚部为 ，故C错误；
对于D，根据复数的概念可知 在复平面内对应的点为 ，故D正确.
故选：C.
二、多选题
28．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知复数 ，则下列选项正确的是
（ ）
A．z的虚部为1
B．
C． 为纯虚数
D． 在复平面内对应的点位于第一象限
【答案】AC
【分析】根据复数的运算法则进行化简后，再对选项一一验证即可.
【详解】 ，
则z的虚部为1，选项A正确；
，选项B错误；
为纯虚数，选项C正确；
在复平面内对应的点位于第四象限，选项D错误；
故选：AC．
29．（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知 ，且 ，则
（ ）
A．当 时，必有
B．复平面内复数 所对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为 的圆
C．D．
【答案】BD
【分析】利用复数的模的定义以及其复数的几何意义，逐个选项进行计算，即可判断
答案.
【详解】A项： ，故错误；
B项：因为 ，故正确；
C项： ，当 与i对应向量同向时取等，故错误；
D项： ，当 与 对应向量
反向时取等，故正确.
故选：BD.
30．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）在复平面内，复数 ，正
确的是（ ）
A．复数 的模长为1
B．复数 在复平面内对应的点在第二象限
C．复数 是方程 的解
D．复数 满足
【答案】AC
【分析】根据复数的除法运算法则化简复数得 ，进而可判断AB,将
代入方程中即可验证C，根据复数的几何意义即可判断D.
【详解】由 得 ，则对于A, ，故A正确，
对于B, 复数 在复平面内对应的点为 ，故该点位于第四象限，故B错误，
对于C, ,故 是
的复数根，故C正确，
对于D，设复数 对应的向量为 到,复数 对应的向量为 ,由
得 的距离为1，故复数 对应点的 在以 为圆心，半径
为1的圆上，故 的最大值为 ，故D错误，
故选：AC
