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第24章 《圆》单元检测
一、单选题
1．如图，四边形 ABCD 为 ⊙O 的内接四边形，已知 ∠BCD 为 120° ，则 ∠BOD 的度数为（
）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°−∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故答案为：C．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．
2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，半径OD⊥AC，连接BD，AD，若∠ABD＝27°，则
∠BAC是（ ）
A．27° B．36° C．53° D．54°
【答案】B
【解析】【解答】如图，∵∠ABD＝27°
∴∠AOD=2∠ABD=2×27°=54°
∵半径OD⊥AC
∴∠BAC=90°-54°=36°
故答案为：B．
【分析】先利用圆周角的性质可得∠AOD=2∠ABD=2×27°=54°，再利用三角形的内角和可得
∠BAC=90°-54°=36°。
3．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点 C，点D是⊙O上一点，∠ADC=25°，则∠BOC的度
数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【解析】【解答】解： ∵OC⊥AB
∴A´C=B´C
∴∠AOC=∠BOC
∵∠ADC=25°
∴∠AOC=50°
∴∠BOC=50°
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理，解得 A´C=B´C ，在同一个圆中，等弧所对的圆心角相等，因此可知
∠AOC=∠BOC ，由同弧所对的圆周角等于圆心角的两倍解题即可.
4．⊙O中，直径AB=a，弦CD=b，则a与b大小为（ ）
A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b【答案】B
【解析】【解答】解：直径是圆中最长的弦，因而有a≥b．
故选B．
【分析】根据直径是弦，且是最长的弦，即可求解．
5．下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆心角相等
B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C．经过三点可以作一个圆
D．相等的圆心角所对的弧相等
【答案】A
【解析】【解答】解：等弧所对的圆心角相等，A正确；
三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，B错误；
经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C错误；
相等的圆心角所对的弧不一定相等，
故选：A．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、三角形的外接圆和外心的知识进行判断即可．
6．已知⊙O 与⊙O 的直径分别是4cm和6cm，OO＝5cm，则两圆的位置关系是( )
1 2 1 2
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】B
【解析】【分析】由⊙O 与⊙O 的直径分别是4cm和6cm，即可求得⊙O 与⊙O 的半径，又由
1 2 1 2
OO=5cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关
1 2
系．
【解答】∵⊙O 与⊙O 的直径分别是4cm和6cm，
1 2
∴⊙O 与⊙O 的半径分别是2cm和3cm，
1 2
∵OO=5cm，2+3=5，
1 2
∴两圆的位置关系是外切．
故选B．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r
的数量关系间的联系．
7．如图，E，B，A，F四点共线，点D是正三角形ABC的边AC的中点，点P是直线A上B异于A，B的一个动点，且满足∠CPD=30°，则 （ ）
A．点P一定在射线BE上
B．点P一定在线段AB上
C．P可以在射线AF上，也可以在线段AB上
D．点P可以在射线BE上，也可以在线段
【答案】B
【解析】
【解答】连接BD、PC、PD，如图，
∵△ABC等边三角形，
∴∠CBD=30°，
又∠CPD=30°，
∴∠CBD=∠CPD，
∴B、C、D、P四点共圆，
又∠BDC=90°，
∴点P在以BC为直径的圆上，
∴点P一定在线段AB上．
故选B．【分析】连接BD、PC、PD，如图，由等腰三角形的性质可得∠CBD=30°，而∠CPD=30°，可得B、
C、D、P四点共圆，于是可得P点的位置．本题考查了圆周角定理及等边三角形的性质；利用四点共
圆是正确解答本题的关键．
8．如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则
∠P等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=35°，
∴∠POC=∠OAC+∠OCA=70°，
∵PC是⊙O切线，
∴PC⊥OC，
∴∠PCO=90°，
∴∠P=90°﹣∠POC=20°，
故选B．
【分析】连接OC，先求出∠POC，再利用切线性质得到∠PCO=90°，由此可以求出∠P．
9．下列说法不正确的有（ ）
①直径是弦，弦是直径；②长度相等的弧是等弧；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；
④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C【解析】【解答】解：直径是弦，弦不一定是直径，所以①错误；能够完全重合的弧是等弧，长度相
等的弧不一定是等弧，所以②错误；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③正确；在
同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以④错误．
故选C．
【分析】根据弦、直径的定义对①进行判断；根据等弧的定义对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的
关系对③进行判断；根据圆周角定理对④进行判断．
10．在 Rt△ABC ，∠C=90°,AB=6．△ABC的内切圆半径为1,则△ABC的周长为( )
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【解析】【解答】解：连结OA、OB、OC、OD、OE、OF（如图），
∵⊙O是 △ABC的内切圆 ，切点分别为D、E、F，
∴OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，BE=BF，AD=AE，
∴∠ODC=∠ACB=∠OFC=90°，
∵OD=DC，
∴四边形ODCF为正方形，
∴OD=DC=CF=OF=1，
∵BE=BF，AD=AE，AE+BE=AB=6，
∴AD+BF=6，
∴C =AD+DC+CF+FB+BE+AE=6+1+1+6=14.
△ABC
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理得BE=BF，AD=AE，即AE+BE=AD+BF=6，由切线性质得
∠ODC=∠ACB=∠OFC=90°，根据正方形的判定得四边形ODCF为正方形，从而得DC=CF=1，根据三
角形周长计算即可.二、填空题
11．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE=2，则
BC= .
【答案】4
【解析】【解答】解：∵△ABC 为 ⊙O 的内接三角形， OD⊥AB 于点 D ， OE⊥AC 于点
E ，
∴AD=DB，AE=EC ，
∴DE 为 △ABC 的中位线，
1
∴DE= BC ，
2
∴BC=2DE ，
∵DE=2 ，
∴BC=2×2=4 ，
故答案为： 4 .
【分析】由垂径定理可得：AD=BD，AE=CE，所以DE是三角形ABC的中位线，由三角形的中位线
平行于第三边且等于第三边的一半得BC=2DE可求解。
12．正多边形的一个中心角为36度，那么这个正多边形的一个内角等于 度．
【答案】144
【解析】【解答】解：由于正多边形的中心角等于36∘，360÷36∘=10，
所以正多边形为正10边形，
又因为其外角和为360∘，
所以其外角为360÷10=36∘，
其每个内角为180∘−36∘=144∘．
故答案为144．【分析】先求出正多形的边数，再求出其外角为360÷10=36∘，最后利用邻补角求出每个内角为
180∘−36∘=144∘。
13．《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，
问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深1寸，锯道 AB=1
尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为 寸.
【答案】26
【解析】【解答】如图，设 ⊙O 的半径为 r ，过O作OD⊥AB于D，延长OD与 ⊙O 交于E，连
接AO，
1
在Rt△AOD中， AD= AB=5 寸， OD=OE−DE=r−1 ， OA=r ，
2
由勾股定理可得 AD2+OD2=AO2 ，即 52+(r−1) 2=r2 ，
解得 r=13 ，
∴该圆材的直径为26寸，
故答案为：26.
【分析】如图，设 ⊙O 的半径为 r ，过O作OD⊥AB于D，延长OD与 ⊙O 交于E，连接AO，
1
由垂径定理可得 AD= AB=5 寸，在Rt△AOD中，利用勾股定理建立方程可求出 r ，从而得到直
2
径.14．公元前240年前后，在希腊的亚历山大城图书馆当馆长的埃拉托色尼（Eratosthenes）通过测得有
关数据，求得了地球圆周的长度.他是如何测量的呢？如图所示，由于太阳距离地球很远，从太阳射来
的光线可以看作平行线，在同一时刻，光线与A城和地心的连线 OP 所夹的锐角记为 ∠1 ，光线与
B城和地心的连线 OQ 重合，通过测量A，B两城间的距离（即 A´B ）和 ∠1 的度数，利用圆的
有关知识，地球圆周的长度就可以大致算出来了.已知 A´B≈768km ，若 ∠1≈7.2° ，则地球的周长
约为 km .
【答案】38400
【解析】【解答】解：如图所示：设地球的半径为 r
∵AC//OQ
∴∠1=∠POQ=7.2°
7.2πr
根据弧长公式可得： 768=
180
768×180
∴r=
7.2π768×180
∴ 地球的周长约为 2πr=2π× =38400km .
7.2π
故答案为：38400.
【分析】利用平行线的性质可求出∠POQ的度数，再利用弧长公式求出r的值，然后根据圆的周长的
计算公式求出地球的周长.
15．已知矩形ABCD的长AB＝4，宽AD＝3，按如图放置在直线AP上，然后不滑动地转动，当它转
动一周时（A→A′），顶点A所经过的路线长等于 ．
【答案】6π
90⋅π⋅4 90⋅π⋅5 90⋅π⋅3
【解析】【解答】解： + + ＝6π．
180 180 180
【分析】根据矩形的性质及勾股定理算出矩形的对角线的长，通过观察发现：第一次经过的路径是半
径为4，圆心角是90°的一段弧长，第二次经过的路径是半径为5，圆心角是90°的一段弧长，第三次
经过的路径是半径为3，圆心角是90°的一段弧长，根据弧长计算公式算出三段弧长再求出其和即可。
三、解答题
16．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE，求证：
BD=DE.
【答案】解：连接OE，如图，
∵OA=OE，
∴∠A=∠OEA，∵AE∥CD，
∴∠BOD=∠A，∠DOE=∠OEA，
∴∠BOD=∠DOE，
∴BD=DE.
【解析】【分析】连接OE，可得∠A=∠OEA，再由AE∥CD得∠BOD=∠A，∠DOE=∠OEA，从而得
出∠BOD=∠DOE，则BD=DE.
17．如图，⊙O中，圆心角∠BOA=120°，求∠BCA的度数．
【答案】解：∵∠BOA=120°
∴优弧AmB所对的圆心角的度数为240°
1
∴∠ACB= ×240°=120°．
2
【解析】【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
18．如图，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交劣弧CB于D，连接AC．
（1）请写出两个不同的正确结论；
（2）若CB=8，ED=2，求⊙O的半径．
【答案】（1）解：不同类型的正确结论有：①BE=CE；②BD=CD；③∠BED=90°；④∠BOD=∠A；
⑤AC//OD；⑥AC⊥BC；⑦OE2+BE2=OB2 ；⑧S =BC⋅OE ；⑨△BOD是等腰三角形；⑩
ΔABC
；等等
1
（2）解：∵ OD⊥CB ∴BE=CE= CB =4
2设的半径等于R，则OE=OD－DE=R－2
在Rt△OEB中，由勾股定理得，
OE2+BE2=OB2 即 (R−2) 2+42=R2
解得R=5
∴⊙O的半径为5
【解析】【分析】（1）根据垂径定理和直径的性质，得到结论；（2）根据垂径定理和勾股定理求出
⊙O的半径．
19．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m.
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此
圆弧形拱桥，并说明理由；
【答案】（1）解：设圆心为O，连接CO和AO，
则OD=OC-CD=r-4,
∵AB=12，
∴AD=6，
∵OA2=OD2+AD2，
即r2=(r-4)2+62,
∴8r=52,13
解得r= .
2
（2）解：如图，设船宽FQ为5，连接OF，OC交FQ于H，
在Rt△FHD中，
√ 13 5
OH=√OF2−FH=
( )
2−(
)
2=6,
2 2
13 5
由题（1）得OD=r-CD= −4= ,
2 2
5
∴DH=OH-OD=6- =3.5(m).
2
【解析】【分析】（1）设圆心为O，连接CO和AO，由垂径定理构造直角三角形，设半径为r，把
OD用含r的代数式表示，利用勾股定理列式即可求出半径；
（2）设船宽FQ为5，连接OF，OC交FQ于H，同样利用垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理
列式，先求出OH，再求出DH，把DH的长和船高作比较即可判断.
20．如图，⊙O的半径OC与直径AB垂直，点P在OB上，CP的延长线交⊙O于点D，在OB的延长
线上取点E，使ED=EP．
（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）当P为OE的中点，且OC=4时，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵OD是圆的半径，
∴OD=OC．
∴∠CDO=∠DCO．
∵OC⊥AB，
∴∠COP=90°，
∵在Rt△OPC中，∠CPO+∠PCO=90°，
∵ED=EP，
∴∠EDP=∠EPD=∠CPO，
∴∠EDO=∠EDP+∠CDO=∠CPO+∠DCO=90°．
∴ED⊥OD，
即ED是圆的切线
（2）解：∵P为OE的中点，ED=EP，且由（1）知△ODE为Rt△，
∴PE=PD=ED，
∴∠E=60°，
∵OD=OC=4，
OD 4 4√3
∴ED= = = ，
tan60∘ √3 3
1 4√3 30π×42 8√3 4π 8√3−4π
∴S =S ﹣S = ×4× ﹣ = ﹣ = ．
阴影 △ODE 扇形 2 3 360 3 3 3
【解析】【分析】（1）首先连接OD，ED=EP，易证得∠APD=∠ADP，又由⊙O的半径OC与直径
AB垂直，可证得OD⊥ED，即可判定ED是⊙O的切线；（2）由S =S ﹣S ，即可求得答案．
阴影 △ODE 扇形
21．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点C在以D（﹣2，﹣2）为圆心，4为半径的圆上，且经过
⊙D与x轴的两个交点A，B，连接AC，BC，OC．（1）求点C的坐标；
（2）求图中阴影部分的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使DP所在直线平分线段OC？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图，作CH⊥x轴，垂足为H，
∵直线CH为抛物线对称轴，
∴CH垂直平分AB，
∴CH必经过圆心D（﹣2，﹣2）．
∵DC=4，
∴CH=6
∴C点的坐标为（﹣2，﹣6）．
（2）解：连接AD．
在Rt△ADH中，AD=4，DH=2，
∴∠HAD=30°，AH= √AD2−DH2=2√3
∴∠ADC=120°
120°×π×42 16
∴S = = π
扇形DAC
360° 31 1
S = AH•CD= ×2 √3 ×4=4 √3 ．
△DAC 2 2
16
∴阴影部分的面积S=S ﹣S = π﹣4 √3 ．
扇形DAC △DAC 3
（3）解：又∵AH=2 √3 ，H点坐标为（﹣2，0），H为AB的中点，
∴A点坐标为（﹣2﹣2 √3 ，0），B点坐标为（ 2√3−2 ，0）．（8分）
又∵抛物线顶点C的坐标为（﹣2，﹣6），
设抛物线解析式为y=a（x+2）2﹣6．
∵B（ 2√3−2 ，0）在抛物线上，
∴a（2 √3 ﹣2+2）2﹣6=0，
1
解得 a= ．
2
1
∴抛物线的解析式为y= （x+2）2﹣6（9分）．
2
设OC的中点为E，过E作EF⊥x轴，垂足为F，连接DE，
∵CH⊥x轴，EF⊥x轴，
∴CH∥EF
∵E为OC的中点，
1 1
∴EF= CH=3，OF= OH=1．
2 2
即点E的坐标为（﹣1，﹣3）．
设直线DE的解析式为y=kx+b（k≠0），
{−2=−2k+b
∴ ，
−3=−k+b
解得k=﹣1，b=﹣4，
∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣4．（10分）若存在P点满足已知条件，则P点必在直线DE和抛物线上．
设点P的坐标为（m，n），
∴n=﹣m﹣4，即点P坐标为（m，﹣m﹣4），
1
∴﹣m﹣4= （m+2）2﹣6，
2
解这个方程，得m =0，m =﹣6
1 2
∴点P的坐标为（0，﹣4）和（﹣6，2）．
故在抛物线上存在点P，使DP所在直线平分线段OC．
【解析】【分析】（1）先判断D在抛物线对称轴上，可求出C坐标；（2）阴影部分面积可转化为扇
形面积减去三角形面积，即阴影部分的面积S=S ﹣S （3）可先设出OC的中点，求出DE解
扇形DAC △DAC；
析式，然后假设存在点P，则联立直线DE和抛物线解析式，看联立的方程是否有解，就可判断是否
存在点P.
