文档内容
21.2 解一元二次方程
【考点1 解一元二次方程-直接平方】
【考点2 解一元二次方程-配方法】
【考点3 解一元二次方程-公式法】
【考点4 解一元二次方程-因式分解法】
【考点5 根的判别式】
【考点6 根与系数的关系】
考点1： 解一元二次方程-直接开方
注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数
（2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
（3）方法是根据平方根的意义开平方
【考点1 解一元二次方程-直接平方】
【典例1】（2024春•新兴县期中）解方程：（x+1）2﹣81＝0．
【答案】x ＝8，x ＝﹣10．
1 2
【解答】解：（x+1）2﹣81＝0，
移项，得（x+1）2＝81，
开方，得x+1＝±9，
解得：x ＝8，x ＝﹣10．
1 2
【变式1-1】（2024春•中山市期中）解方程4（x﹣1）2＝9【答案】见试题解答内容
【解答】解：把系数化为1，得
（x﹣1）2＝
开方得x﹣1＝
解得x ＝ ，x ＝﹣ ．
1 2
【变式1-2】（2023秋•萍乡期末）解方程：（3x﹣1）2＝4（2x+3）2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由原方程，得
3x﹣1＝±2|2x+3|，
则3x﹣1＝4x+6或3x﹣1＝﹣4x﹣6，
整理，得
x＝﹣7或7x＝﹣5，
解得 x ＝﹣7，x ＝﹣ ．
1 2
【变式1-3】（2023秋•扬州期中）解方程：
（1）x2﹣49＝0；
（2）2（x+1）2﹣49＝1．
【答案】（1）x ＝7，x ＝﹣7；
1 2
（2）x ＝4，x ＝﹣6．
1 2
【解答】解：（1）x2﹣49＝0，
x2＝49，
∴x＝±7，
∴x ＝7，x ＝﹣7；
1 2
（2）2（x+1）2﹣49＝1，
（x+1）2＝25，
∴x+1＝±5，
∴x ＝4，x ＝﹣6．
1 2考点2：解一元二次方程-配方法
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；
⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
总结：
【考点2 解一元二次方程-配方法】
【典例2】（2023秋•未央区期末）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
配方得：x2﹣4x+4＝﹣2+4，
（x﹣2）2＝2，
开方得：x﹣2＝± ，
x ＝2+ ，x ＝2﹣ ．
1 2
【变式2-1】（2023秋•济阳区期末）用配方法解方程：x2+4x﹣5＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由原方程移项，得
x2+4x＝5，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+4x+4＝5+4，
配方得（x+2）2＝9．
开方，得
x+2＝±3，
解得x ＝1，x ＝﹣5．
1 2
【变式2-2】（2023秋•闵行区期末）用配方法解方程：3x2+6x﹣1＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：把方程x2+2x﹣ ＝0的常数项移到等号的右边，得
x2+2x＝ ，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2+2x+1＝ +1
配方得（x+1）2＝ ，
开方得x+1＝± ，
解得x＝± ﹣1．
【变式2-3】（2023秋•松江区期末）用配方法解3x2﹣2x﹣1＝0．
【答案】 ．
【解答】解：3x2﹣2x﹣1＝0，
移项得3x2﹣2x＝1，
二次项系数化成1得 ，
配方得 ，即
∴ ，
解得， ．考点3： 解一元二次方程-公式法
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式
，
（2）求出判别式
【考点3 解一元二次方程-公式法】
【典例3】（2024•鞍山模拟）解下列一元二次方程
（1）x2+3x﹣4＝0（公式法） （2）2x2﹣4x﹣1＝0（公式法）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）a＝1，b＝3，c＝﹣4，
Δ＝9+4×1×4＝25＞0，
∴x＝ ＝ ，
∴x ＝﹣4，x ＝1．
1 2
（2）a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
Δ＝16+4×2＝24＞0，
∴x＝ ＝1± ，
∴x ＝1+ ，x ＝1﹣ ．
1 2
【变式3-1】（2023春•合浦县期中）用公式法解方程：x2﹣x﹣7＝0．
【答案】x ＝ ，x ＝ ．
1 2【解答】解：这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣7，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣7）
＝1+28
＝29＞0，
∴x＝ ，
解得：x ＝ ，x ＝ ．
1 2
【变式3-2】（2023秋•朝阳区校级月考）解方程： ．（用公式法）
【答案】x ＝x ＝ ．
1 2
【解答】解： ，
这里a＝2，b＝﹣2 ，c＝1，
∵Δ＝（﹣2 ）2﹣4×2×1＝0，
∴x＝ ，
∴x ＝x ＝ ．
1 2
【变式3-3】用公式法解下列各方程：
（1）5x2+2x﹣1＝0 （2）6y2+13y+6＝0
（3）3•x2+6x+9＝7．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵a＝5，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4+4×5×1＝24＞0
∴x＝
∴x ＝ ．
1
（2）∵a＝6，b＝13，c＝6，
∴Δ＝b2﹣4ac＝169﹣4×6×6＝25＞0∴x＝
∴x ＝﹣ ，x ＝﹣ ．
1 2
（3）整理，得：x2+6x+2＝0
∴a＝1，b＝6，c＝2
∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4×1×2＝28＞0
∴x＝ ＝﹣3±
∴x ＝﹣3+ ，x ＝﹣3﹣ ．
1 2
考点4：解一元二次方程-因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
【考点4 解一元二次方程-因式分解法】
【典例4】（2024春•瑶海区期中）已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2﹣
7x+12＝0，则三角形的周长为（ ）
A．10 B．11
C．10或11 D．以上都不对
【答案】B
【解答】解：方程x2﹣7x+12＝0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x ＝3，x ＝4，
1 2
当x＝3时，2+3＝5，不能构成三角形；
当x＝4时，三角形周长为2+4+5＝11．
故选：B．
【变式4-1】（2023秋•定州市期末）方程x2＝3x的解是（ ）
A．x＝3 B．x＝0
C．x ＝3，x ＝0 D．x ＝﹣3，x ＝0
1 2 1 2
【答案】C
【解答】解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
所以x ＝0，x ＝3．
1 2
故选：C．
【变式4-2】（2024•新疆模拟）一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（ ）
A．x ＝1，x ＝5 B．x ＝2，x ＝3
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝﹣5 D．x ＝﹣2，x ＝﹣3
1 2 1 2
【答案】A
【解答】解：x2﹣6x+5＝0
（x﹣1）（x﹣5）＝0，
x﹣1＝0或x﹣5＝0，
解得x ＝1，x ＝5，
1 2
故选：A．
【变式4-3】（2023秋•孟津区校级期末）方程2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝0的根是（ ）
A．x＝ B．x＝3
C． ，x ＝3 D． ，x ＝3
2 2
【答案】C
【解答】解：因式分解，得
（x﹣3）（2x﹣5）＝0
于是，得2x﹣5＝0或x﹣3＝0，
解得x ＝ ，x ＝3，
1 2
故选：C．
考点5： 一元二次方程的判别式
根的判别式：
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③ 时，方程无实数根，反之亦成立
【考点5 根的判别式】
【典例5】（2024春•瑶海区期中）已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2﹣
7x+12＝0，则三角形的周长为（ ）
A．10 B．11
C．10或11 D．以上都不对
【答案】B
【解答】解：方程x2﹣7x+12＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x ＝3，x ＝4，
1 2
当x＝3时，2+3＝5，不能构成三角形；
当x＝4时，三角形周长为2+4+5＝11．
故选：B．
【变式5-1】（2023秋•定州市期末）方程x2＝3x的解是（ ）
A．x＝3 B．x＝0C．x ＝3，x ＝0 D．x ＝﹣3，x ＝0
1 2 1 2
【答案】C
【解答】解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
所以x ＝0，x ＝3．
1 2
故选：C．
【变式5-2】（2024•新疆模拟）一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（ ）
A．x ＝1，x ＝5 B．x ＝2，x ＝3
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝﹣5 D．x ＝﹣2，x ＝﹣3
1 2 1 2
【答案】A
【解答】解：x2﹣6x+5＝0
（x﹣1）（x﹣5）＝0，
x﹣1＝0或x﹣5＝0，
解得x ＝1，x ＝5，
1 2
故选：A．
【变式5-3】（2023秋•孟津区校级期末）方程2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝0的根是（ ）
A．x＝ B．x＝3
C． ，x ＝3 D． ，x ＝3
2 2
【答案】C
【解答】解：因式分解，得
（x﹣3）（2x﹣5）＝0
于是，得
2x﹣5＝0或x﹣3＝0，
解得x ＝ ，x ＝3，
1 2
C
故选：考点6：一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即 的两根为 ，则 ，
利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
。
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理
【考点6 根与系数的关系】
【典例6】（2024•江西模拟）若x ，x 是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则
1 2
x +x ﹣4x x 的值为（ ）
1 2 1 2
A．4 B．﹣3 C．0 D．7
【答案】D
【解答】解：因为x ，x 是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，
1 2
所以 ，
所以x +x ﹣4x x ＝﹣1﹣4×（﹣2）＝7．
1 2 1 2
故选：D．
【变式6-1】（2024•北流市一模）已知方程x2﹣3x+2＝0的两根是x ，x ，则x +x ﹣x •x
1 2 1 2 1 2
的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：由题意可得，x +x ＝3，x •x ＝2，
1 2 1 2
∴x +x ﹣x •x ＝3﹣2＝1．
1 2 1 2
故选：A．【变式6-2】（2024•西青区一模）已知方程x2﹣2x﹣4＝0的两根分别为x ，x ，则式子
1 2
（x +1）（x +1）的值等于（ ）
1 2
A．﹣1 B．0 C．3 D．7
【答案】A
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝2，x •x ＝﹣4，
1 2 1 2
∴（x +1）（x +1）＝x x +（x +x ）+1＝﹣4+2+1＝﹣1．
1 2 1 2 1 2
故选：A．
【变式6-3】（2024•张店区一模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为
a、b，则 的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【答案】D
【解答】解：根据根与系数的关系得a+b＝﹣4，ab＝3，
所以 + ＝ ＝﹣ ．
故选：D．
一．选择题（共7小题）
1．（2024春•鄞州区期中）用配方法解一元二次方程x2﹣2x＝3，配方后得到的方程是（
）
A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1
【答案】A
【解答】解：∵x2﹣2x＝3，
∴x2﹣2x+1＝3+1，即（x﹣1）2＝4，
故选：A．
2．（2024•红桥区模拟）若一元二次方程2x2+3x﹣6＝0的两个根分别为x ，x ，则x •x 的
1 2 1 2
值等于（ ）A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
【答案】C
【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x﹣6＝0的两个根分别为x ，x ，
1 2
∴x •x ＝﹣ ＝﹣3．
1 2
故选：C．
3．（2024•连州市一模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实
数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞0且m≠1 B．m＞0 C．m≥0且m≠1 D．m≥0
【答案】A
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）（﹣1）＞0，
解得m＞0且m≠1．
故选：A．
4．（2024春•浙江期中）一元二次方程x2﹣4x+m＝0可以通过配方转化为（x﹣p）2＝5的
形式，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．9
【答案】A
【解答】解：∵x2﹣4x+m＝0，
∴x2﹣4x＝﹣m，
则x2﹣4x+4＝﹣m+4，即（x﹣2）2＝﹣m+4，
∴p＝2，﹣m+4＝5，
∴m＝﹣1，
故选：A．
5．（2024•江西模拟）若x ，x 是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则x +x ﹣4x x
1 2 1 2 1 2
的值为（ ）
A．4 B．﹣3 C．0 D．7
【答案】D
【解答】解：因为x ，x 是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，
1 2
所以 ，
所以x +x ﹣4x x ＝﹣1﹣4×（﹣2）＝7．
1 2 1 2
故选：D．6．（2024•郸城县一模）定义新运算：m*n＝m2﹣mn﹣3，例如：2*3＝22﹣2×3﹣3＝﹣5．
则关于x的一元二次方程x*a＝1的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有实数根
D．没有实数根
【答案】B
【解答】解：由x*a＝1得，
x2﹣ax﹣3＝1，
即x2﹣ax﹣4＝0，
所以Δ＝（﹣a）2﹣4×1×（﹣4）＝a2+16≥16＞0，
所以此方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
7．（2024春•莱芜区期中）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根为﹣1，则另
一个根为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【答案】C
【解答】解：由题知，
方程x2+mx﹣3＝0的两根之积为： ，
因为该方程的一个根为﹣1，
所以﹣3÷（﹣1）＝3，
即方程的另一个根为3．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
8．（2023秋•江阳区期末）一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根是 0 或 2 ． ．
【答案】0或2．
【解答】解：x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
∴x ＝0，x ＝2
1 2
故答案为：0或2．
9．（2024春•长沙期中）已知m、n是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则m+n的值为 ﹣ 3 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：x2+3x﹣5＝0，
∵ ，
∴ ，
可得： ， ，
由于m、n是一元二次方程 x2+3x﹣5＝0 的两个根，
∴m+n＝﹣3．
故答案为：﹣3．
10．（2024•崇明区二模）已知关于x的方程x2﹣4x+3k＝0没有实数根，则实数k的取值范
围为 k ＞ ．
【答案】k＞ ．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4×3k＜0，
解得k＞ ，
即k的取值范围为k＞ ．
故答案为：k＞ ．
11．（2023秋•锦江区校级期末）已知a，b是方程x2﹣5x﹣3＝0的两根，则a2﹣5a+ab＝
0 ．
【答案】0．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣5x﹣3＝0的两根，
∴a2﹣5a﹣3＝0，ab＝﹣3，
∴a2﹣5a＝3，
∴a2﹣5a+ab＝3﹣3＝0，
故答案为：0．三．解答题（共4小题）
12．（2024春•吴兴区期中）解方程：
（1）2x﹣6＝（x﹣3）2；
（2）x2﹣4x﹣7＝0．
【答案】（1）x ＝3，x ＝5；
1 2
（2）x ＝ +2，x ＝﹣ +2．
1 2
【解答】解：（1）2x﹣6＝（x﹣3）2，
则2（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
∴（x﹣3）（2﹣x+3）＝0，
∴x﹣3＝0或5﹣x＝0，
∴x ＝3，x ＝5；
1 2
（2）x2﹣4x﹣7＝0，
则x2﹣4x＝7，
∴x2﹣4x+4＝7+4，
∴（x﹣2）2＝11，
∴x﹣2＝± ，
∴x ＝ +2，x ＝﹣ +2．
1 2
13．（2024春•香坊区校级期中）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x﹣7＝0；
（2）5x2﹣3x＝x+1．
【答案】（1）x ＝2+ ，x ＝2﹣ ；
1 2
（2）x ＝1，x ＝﹣ ．
1 2
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣7＝0，
∴x2﹣4x＝7，
则x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11，
∴x﹣2＝± ，∴x ＝2+ ，x ＝2﹣ ；
1 2
（2）整理，得：5x2﹣4x﹣1＝0，
∴（x﹣1）（5x+1）＝0，
则x﹣1＝0或5x+1＝0，
解得x ＝1，x ＝﹣ ．
1 2
14．（2024春•鼓楼区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+k+1＝0．
（1）求证：不论k取何值，该方程都有两个实数根．
（2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根．
【答案】（1）见解答；
（2）k＝2，方程的另一根为1．
【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（k+1）＝k2，
∵无论k取何值，k2≥0，
∴不论k取何值，该方程都有两个相等的实数根；
（2）解：设方程的另一个根为x＝m，
则 ，
解方程组得 ，
∴k的值为2，方程的另一根为1．
方法二：
（2）解：把x＝3代入方程可得9﹣3（k+2）+k+1＝0，
解得k＝2，
则方程为x2﹣4x+3＝0，
解得x ＝1，x ＝3，
1 2
即方程的另一根为1．
15．（2024春•新昌县期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数
根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如
一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x ＝2，x ＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方
1 2
程”．
（1）通过计算，判断x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”；（2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+32＝0（m是常数）是“倍根方程”，
请直接写出m的值．
【答案】（1）是；
（2）26或5；
（3）13或﹣11．
【解答】解：（1）x2﹣3x+2＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0，
所以x ＝2，x ＝1，
1 2
则方程x2﹣3x+2＝0是“倍根方程”；
（2）（x﹣2）（x﹣m）＝0，x﹣2＝0或x﹣m＝0，
解得x ＝2，x ＝m，
1 2
∵（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，
∴m＝4或m＝1，
当m＝4时，m2+2m+2＝16+8+2＝26；
当m＝1时，m2+2m+2＝1+2+2＝5，
综上所述，代数式m2+2m+2的值为26或5；
（3）根据题意，设方程的根的两根分别为 、2 ，
根据根与系数的关系得 +2 ＝m﹣1， ⋅2 α＝32α，
解得 ＝4，m＝13或 ＝α﹣α4，m＝﹣1α1，α
∴m的α值为13或﹣11．α
