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专题 03 实际问题与一元二次方程
目录
A题型建模・专项突破
题型一、用一元二次方程解决增长率问题..........................................................................................................1
题型二、用一元二次方程解决传播问题..............................................................................................................5
题型三、用一元二次方程解决营销问题..............................................................................................................9
题型四、用一元二次方程解决动态几何问题....................................................................................................13
题型五、用一元二次方程解决与图形有关的问题............................................................................................21
B综合攻坚・能力跃升
题型一、用一元二次方程解决增长率问题
1．为了加强学生体育运动，某中学计划购进篮球和排球两种球（两种球都需要买），每个排球的售价是
50元，每个篮球的售价是40元，由于商场促销，篮球的售价经两次调价后调至每个32.4元，每个排球的
售价不变．
(1)若该商场篮球两次调价的降价率相同，求篮球的降价率；
(2)学校现计划购买篮球和排球两种球共20个，篮球按调价后的价格进行购买，且购买篮球的数量不多于
排球的数量，设购买篮球a个，购买两种球所需费用为w元，请给学校一种购买费用最省的方案，并求出
该方案所需费用．
2．某苹果园种植一种优质苹果，随着果树的成长，该苹果园的总产量从 年的 吨增加到 年的
吨．
(1)求这个苹果园总产量平均每年增产的百分率；
(2)若平均每年增产的百分率率不变， 年该苹果园的总产量能突破 吨吗?请说明理由．
3．靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打造成当地旅
游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36
元，并且每次降价的百分率相同．
(1)请问每次降价的百分率为多少？
(2)朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢端午佳节，店铺准备
开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，则至少需要在
促销活动开始前卖出多少盒？
4．为了解决初中生画图慢和画图不准的问题，杨老师设计了初中专用套尺，申请了国家专利并投入生产
使用．前年生产成本为15万元，今年生产成本达到21.6万元．
(1)如果平均每年成本的增长率相同，求这个增长率．
(2)投入市场后，每套定价为30元，同时推出两种销售方式：
①每套均按定价的九折销售；②购买不超过100套时按原价销售，超出100套的部分打八折销售．
某文具店计划购进一批这种初中专用套尺，请你帮文具店分析一下应该选择何种方式购买更优惠．
5．随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今
年一月份与三月份的新能源汽车销量分别为5000辆和7200辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率
相同．
(1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率；
(2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月最多可处理300辆汽车的交
付任务．若该公司现有25名负责交付的员工，能否完成今年四月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少
需要增加几名员工？
题型二、用一元二次方程解决传播问题
6．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有 人患了流感．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？
7．有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感．
(1)每轮传染中平均一人传染了几人？
(2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？
8．某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支
的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
x（主干长出支干的个数） 2 3 4
主干、支干和小分支的总数
(2)填空（用含x的代数式表示）：
①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是；
②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为；
③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为；
(3)请继续完成本题的解答：
x（主干长出支干的个数） 2 3 4
主干、支干和小分支的总 1
7 21
数 3
9．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．
(1)若参加聚会的人数为3，则共握手____________次；若参加聚会的人数为5，则共握手____________次；
若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手____________次；
(2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数；(3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段 上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？
请直接写出结论；
(4)小明想到另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值．
10．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信
要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后
共有91人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
题型三、用一元二次方程解决营销问题
11．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩
偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．
(1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率．
(2)为庆祝《哪吒2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，
日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940
元？
12．某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2022年每辆汽车的日租金为100元，到2024年每辆
汽车的日租金上涨到144元．
(1)求2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率．
(2)经市场调研发现，从2024年开始，当每辆汽车的日租金定为144元时，汽车可全部租出；日租金每增加
1元，就要少租出2辆．
①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出
_______辆车．（均用含x的代数式表示）
②已知该汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用34元，每辆未租出的汽车支付各类费用10
元．当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达27400元？（日收益=总租金-各类费
用）
13．米小圈等同学打算团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单
价的1.3倍，经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多14个．购买哪吒手办共需22100元，
敖丙手办共需10000元．
(1)求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多少元？
(2)经由米小圈的争取，商家同意哪吒手办的单价降低3m元，敖丙手办的单价降低 元，结果购买哪吒手
办的数量比原计划增加了 个，购买敖丙手办的数量比原计划增加了2个，最终总费用比原计划多了
1000元，求 的值．
14．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件25元的价格购进某款亚运会吉
祥物，以每件40元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该件吉祥物每降价1元，月销售量
就会在6月的销量基础上增加5件．当该件吉祥物降价多少元时，月销售利润达4250元．
15．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进
价为30元／个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的
月平均增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
(2)经测算在市场中，当售价为40元／个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月
销售量将减少10个．
①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？
②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明．
题型四、用一元二次方程解决动态几何问题
16．如图，已知矩形 的边长 ， ，某一时刻，动点M从点A出发，沿 方向以
的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿 方向以 的速度向点A匀速运动，当点
M到达点B时，两点同时停止运动，问：
(1)经过多长时间， 长为 ？
(2)经过多长时间， 面积等于矩形面积的 ？
17．如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速
度移动．与此同时，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动．点 、 分别从点 ， 同时
出发，当点 移动到点 时，两点停止移动．设移动时间为 ．
(1)填空： ___________ ， ___________ ；（用含 的代数式表示）
(2)是否存在 的值，使得 的面积为 ？若存在请求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
18．在矩形 中， ， ，点P从点A开始沿边 向终点B以 的速度移动，
与此同时，点Q从点B开始沿边 向终点C以 的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（ ）．
(1)当 为何值时， 的长度等于 ？
(2)是否存在 的值，使得五边形 的面积等于 ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说
明理由．
19．如图，已知 为长方形的四个顶点， ， ，动点 分别从点 同
时出发，点 以 的速度向点 移动，一直到点 为止，点 以 的速度向点 移动．
(1)求证：在点 移动过程中，四边形 的面积始终不变；
(2) 两点从出发开始到几秒时，点 和点 间的距离是 ？
(3) 两点从出发开始到几秒时，点 组成的三角形是等腰三角形？
20．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发沿 以 的速度向点 移动；
同时，点 从点 出发沿 以 的速度向点 移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间
为 秒．
(1)在运动过程中， 的长度能否为 ？若能，求出 的值，若不能，请说明理由；
(2)在运动过程中， 的面积能否为 ？若能，求出 的值，若不能，请说明理由；
(3)取 的中点 ，运动过程中，当 时，求 的值．题型五、用一元二次方程解决与图形有关的问题
21．如图，利用一面长为 米的墙，用总长度 米的栅栏围成一个长方形围栏 ，并在中间用栅栏
隔开．设栅栏 的长为 米．
(1) 米(用含x的代数式表示)；
(2)若长方形围栏 的面积为 平方米，求栅栏 的长；
(3)长方形栅栏 的面积能达到 平方米吗？若能，请求出 的长；若不能，请说明理由．
22．综合与实践
项目主题：
劳动基地扩建方案
项目背景：
学校计划扩建一校园花坛，综合实践活动小组以设计“花园扩建方案”为主题开展了一次项目学习．
信息获取：（如图所示）
信息1：原花坛为矩形 ；
信息2：扩建后的新花坛仍为矩形 的长度不能超过 的长度不能超过 ．
问题解决：
(1)若扩建后花园的面积为 ，且 ，求 和 的长；
(2)当 时，扩建后花园的面积可以为 吗？请说明理由．
23．如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 米），围成中间隔有一道篱笆的长
方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在 上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边 长为 米，请用含 的代数式表示另一边 的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为 平方米，求此时花圃的长与宽；
(3)建成花圃的面积能为 平方米吗？请说明理由．
24．某农户承包了一块长方形果园 ，如图是果园的平面图，其中 米， 米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的窥度都为 米，左右两条纵向道路的察度都为 米，中间部分为
种植园区．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度 不超过12米，且不小于5米．
(1)若中间种植园区的面积是44800平方米，求道路的宽度；
(2)该农户在种植园区种植了草莓，经市场调查，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售
5000平方米的草莓．受天气情况影响，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下
调4元，每月可多销售500平方米草莓．若该农户预期一个月的总利润为57.2万元，并且想要让利于顾客，
每平方米草莓的平均利润应该下调多少元？
25．泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效．
(1)如图 ，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为 平方米的长方形采茶基地，
已知该采茶基地的长比宽多 米，求采茶基地的长和宽；
(2)如图 ，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（ ）中的采茶基地大小、
形状均相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游
客观光，若鲜花的种植面积为 平方米，求小路的宽度．
一、单选题
1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（ ）人
A．2 B．8 C．10 D．4
2．（2025·重庆·中考真题）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年
接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都
足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x
米，根据题意可列方程（ ）A． B． C． D．
4．太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，
其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，
则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？
若设每盒老陈醋礼盒应降价 元，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．（24-25八年级下·福建福州·期末）淇淇七年级时的体重是 ，到九年级时，体重增加到 ，则
她的体重平均每年的增长率为 ．
6．某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的 又长出同样多的小支根，而其余支
根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根
支根．
7．（25-26九年级上·全国·课后作业）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了
扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，
商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价 元
8．乡村振兴促进农民增收，李大叔抓住时机，承包了一块边长为 的正方形空地进行奶牛养殖，并按
如图所示的方式将这片空地划分成三部分：养殖区、挤奶棚和仓库．若挤奶棚和仓库的形状均为正方形
（挤奶棚的面积大于仓库的面积），养殖区的面积为 ，则挤奶棚的边长为 ．
三、解答题
9．某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假
定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病．
(1)每轮平均1人会传染多少人？
(2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？
10．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长为34米的围栏（围栏宽忽略不计）建两个相同面积的生态园，两个生态园各留一扇宽为1米的门．由于场地限制，垂直
于墙的一边长不超过6米，每个生态园的面积为48平方米．设每个生态园垂直于墙的一边长为 米．
(1)平行于围墙的一边长为______米；（结果需化简，用含 的代数式表示）
(2)求满足条件的 的值．
11．（24-25八年级下·浙江·期中）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40
元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经
市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
(1)要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？
(2)平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请
说明为什么？
12．（14-15八年级下·浙江杭州·期末）今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元
时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销
售量达到400件．
(1)求四、五这两个月的月平均增长率．
(2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增
加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？
13．（24-25八年级下·山东烟台·期中）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜
利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45
元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024
年4月份的销售量为400枚．
(1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率；
(2)从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就
会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？
14．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为 的墙（ ），用篱笆围
成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为 （全部用完）．设 的长为 ．
(1)如图1，用含 的代数式表示 的长．(2)如图1，当长方形花园 的面积为 时，求 的值．
(3)如图2，将墙 全部利用，并在墙 的延长线上拓展 ，构成长方形 ，其中 ， ，
和 都由篱笆构成．长方形花园 的面积可以为 吗？如果能，求出 的值；如果不能，请
说明理由．
15．综合与实践
如图1，在矩形 中， ，动点P，Q分别以 的速度从点A，B同时出
发，点P沿着 运动到点B时停止，点Q沿着 运动到点A时停止．设运动时间为 ．
(1)当点P在 上运动时， ________ ， ________ ；（用含t的代数式表示）
(2)在（1）的条件下，当 时，求t的值；
(3)如图2、图3，点P沿着 运动到点B的过程中、当 的面积为 时，求t的值．
