文档内容
专题 03 多边形及其内角和（3 个知识点 8 种题
型 1 个易错点 2 种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：多边形及其相关概念
知识点2：多边形的内角和（重难点）
知识点3：多边形的外角和定理（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1：确定多边形的边数
题型2：确定多边形内角与外角的度数
题型3：正多边形
题型4：多边形对角线公式的综合应用
题型5：巧用外角解决问题
题型6：求不规则图形多个角的度数和
题型7：多边形的内角和与外角和的综合应用
题型8：多边形内角和、外角和与平行线、角分平分线综合
【方法三】 差异对比法
易错点1：多边形“截角问题”因漏解而致错
【方法四】 仿真实战法
考法1：多边形内角和公式的应用
考法2：多边形外角和的应用
【方法五】 成果评定法
【学习目标】1.了解多边形的有关概念，认识多边形的边、内角、外角、顶点、对角线。
2.认识正多边形，知道正多边形的每条边都相等，每个内角都相等。
3.探索并掌握多边形内角和公式与外角和定理，会用边形内角和公式与外角和定理进行简单的计算和说理。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1：多边形及其相关概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个
角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
凹多边形
凸多边形
要点诠释：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
n(n3)
2
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为 ；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形
【例1】（2023·全国·八年级假期作业）对于正多边形，下列说法正确的是（ ）
A．正多边形的边都相等，内角都相等；
B．各边相等的多边形是正多边形；
C．各角相等的多边形是正多边形；
D．由正多边形构成的多边形是正多边形；
【答案】A
【详解】A. 由正多边形的性质：各边相等，各角相等，正确
B. 菱形不是正方形，错误
C. 矩形不是正方形，错误
D. 正方形与边长相等的等边三角形拼成的五边形不是正多边形，错误
【例2】从多边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则该多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【详解】解：设多边形的边数为 ，由题意，得： ，
∴ ，
∴该多边形的边数为7；
【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握
n边形从一个顶点出发可引出 条对角线是解题的关键．
知识点2：多边形的内角和（重难点）
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．要点诠释：
(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边
(n2) 180°
形的每个内角都相等，都等于 n ；
【例3】（2023春·山东泰安·八年级校考期末）正多边形的内角和为 ，则这个多边形的一个内角为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵正多边形的内角和为 ，
∴ ，
解得： ，
∴这个多边形的一个内角为 ；
故选C
【点睛】本题考查的是正多边形的内角和问题，熟记多边形的内角和公式与正多边形的定义是解本题的关
键．
知识点3：多边形的外角和定理（重点）
多边形的外角和为360°．
要点诠释：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于
360°，它与边数的多少无关；
360°
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于 n ；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相
等外角的度数．
【例4】．（2022春·八年级单元测试）已知一个多边形的每个外角都是 ，那么这个多边形的边数是
__________．
【答案】12
【分析】利用任何多边形的外角和是 除以外角度数即可求出答案．【详解】解：多边形的外角的个数是 ，
所以多边形的边数是12，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．
【方法二】实例探索法
题型1：确定多边形的边数
1．（2023秋·八年级单元测试）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成
2023个三角形，那么这个多边形的边数为___________．
【答案】2025
【分析】从 边形的一个顶点出发作它的对角线，将 边形分成 个三角形，由此即可解决问题．
【详解】解： 从 边形的一个顶点出发作它的对角线，将 边形分成 个三角形，
，
，
故答案为：2025．
【点睛】本题考查多边形的有关知识，解题的关键是掌握，从 边形的一个顶点出发作它的对角线，将
边形分成 个三角形．
2．（2023春·八年级单元测试）若从一个 边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则 _____．
【答案】13
【分析】根据对角线构成，不是一条边上的两个端点连线构成对角线，一个顶点所在两条边上与其相邻的
两个顶点除外， 边形的一个顶点引出 条对角线直接求解即可得到答案．
【详解】解： 从一个 边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，
根据题意得 ，解得 ，
故答案为：13．
【点睛】本题考查多边形对角的规律，掌握 边形的一个顶点引出 条对角线是解决问题的关键．
3．（2022·全国·八年级专题练习）一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为______．
【答案】6或7或8
【分析】存在三种情况，根据图示进行分析．
【详解】解：七边形卡片剪去一个角，存在以下三种，如图1、图2、图一个七边形卡片剪去一个角后可以变成的多边形卡片可能的边数为6或7或8，
故答案为：6或7或8．
【点睛】本题主要考查多边形，解题的关键是进行分类讨论进行求解．
4.一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少
算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？
解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的
度数，进一步得出这个多边形的边数．
解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋
45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，
1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．
方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数．
5.（2023春·全国·八年级专题练习）看图回答问题：(1)内角和为2014°，小明为什么说不可能？
(2)小华求的是几边形的内角和？
【答案】(1)理由见详解
(2)
【分析】（1）根据多边形的内角和定理即可求解；
（2）根据题意设多边形的边数为 ，根据多边形的内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：∵设多边形的边数为 ，则 边形的内角和是 ，
∴内角和一定是 度的倍数，
∵ ，
∴内角和为 不可能．
（2）解：设多边形的边数为 ，
∴ ，解得， ，
∴多边形的边数是 ，
∴小华求的是十三边形的内角和．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
6．（2023春·广东茂名·八年级校考阶段练习）已知一个正多边形其一个内角与其相邻的一个外角的度数之
比是 ，求这个多边形是几边形？
【答案】这个多边形是九边形
【分析】设这个正多边形的边数为 ，根据多边形的内角和公式以及多边形的外角和为 ，由此列出方
程，解方程即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为 ，由题意得： ，
解得： ，．
答：这个多边形是九边形．
【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟记多边形的内角和公式及多边形的外角和是 是解题
的关键．
7.（2023春·全国·八年级专题练习）解决多边形问题：
(1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？
(2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是 ，这个多边形是几边形？
【答案】(1)八边形
(2)八边形
【分析】（1）根据多边形的内角和公式、多边形的外角和等于 建立方程，解方程即可得；
（2）设这个多边形是 边形，重复加的一个角的度数为 ，则 ，再根据多边形的内角和公式
建立等式，结合 建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】（1）解：设这个多边形是 边形，
由题意得： ，
解得 ，
答：这个多边形是八边形．
（2）解：设这个多边形是 边形，重复加的一个角的度数为 ，则 ，
由题意得： ，
解得 ，
则 ，即 ，
解得 ，
为正整数，
，
答：这个多边形是八边形．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、一元一次不等式组的应用，正确建立方程和不等式组是解题关键．
题型2：确定多边形内角与外角的度数
8．（2023秋·广西钦州·八年级统考期末）小红：我计算出一个多边形的内角和为 ；老师：不对呀，
你可能少加了一个角 则小红少加的这个角的度数是（ ）
A．1 B．1 C．1 D．1
【答案】D
【分析】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x，由多边形内角和定理可得等式：
，由n为整数即可确定x的值．
【详解】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x，
由题意得： ，
，
由于n为整数，x为正数且小于 ，
，
则 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形内角和定理，关键是设多边形的边数及少加的角的度数，由多边形内角和定理
得到等式，根据边数为整数确定少加的角．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）若一个多边形的每个外角均为 ，则这个多边形的内角和为_______
度．
【答案】
【分析】依据多边形外角和为 求得边数，再依据多边形内角和公式代入求解即可．
【详解】解：因为多边形的每个外角均为 ，且外角和为 ，
所以这个多边形边数： ，
则这个多边形的内角和为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式、外角和为 ；通过外角和求得边数是解题的关键．
10.（2022春·八年级单元测试）已知四边形 的四个外角的度数之比为 ，那么这个四边形各
内角的度数分别是多少？
【答案】【分析】设四边形的四个外角的度数分别为 ，再根据多边形外角和为 建立方程求出四个外
角的度数，进而求出四个内角的度数．
【详解】解：设四边形的四个外角的度数分别为 ．
由题意得， ，
解得 ．
∴四个外角分别为 ．
∴这个四边形各内角的度数分别为 ．
【点睛】本题主要考查了四边形外角和，熟知四边形外角和为 是解题的关键．
11.（2023春·全国·八年级专题练习）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
(1)“多边形内角和为 ”，为什么不可能？
(2)明明求的是几边形的内角和？
(3)多加的那个外角为多少度？
【答案】(1)见解析
(2)十三边形
(3)40°
【分析】（1）根据多边形内角和公式判断即可；
（2）根据多边形内角和公式判断即可；
（3）由（2）即可得出答案．
【详解】（1）由 可知，多边形内角和是180的倍数，而2020不是180的倍数，
故不可能是多边形内角和．
（2）由 可知，2020÷180=11……40，所以 ，所以
故多边形是十三边形．
（3）由（2）计算可知余数为40°，所以多加的外角为40°．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟记 是解题的关键．
题型3：正多边形
12.（2021·广西八年级期中）己知一个n边形的每一个外角都等于30°．
（1）求n的值．
（2）求这个n边形的内角和．
【答案】（1）12；（2）1800°
【分析】（1）用360°除以外角度数可得答案．
（2）先求出每个内角的度数，再利用内角度数×内角的个数即可．
【详解】解：（1）∵n边形的每一个外角都等于30°
∴n＝360°÷30°＝12；
（2）∵每个内角=180°-30°=150°，
∴内角和=12×150°＝1800°．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和、外角和，关键是掌握多边形的外交和等于360°．
13.已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多 ，求这个多边形是几边形？并求出这个多
边形的内角和．
【答案】十二边形，1800°
【分析】首先设外角为x°，则内角为（4x＋30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x＋4x＋30＝
180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数，进而求出内角和．
【详解】解：设外角为x°，
由题意得：x＋4x＋30＝180，
解得：x＝30，
360°÷30°＝12，
∴（12−2）×180＝1800°，
∴这个多边形的内角和是1800°，是十二边形．
【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式以及外角和，构建方
程求解即可．
题型4：多边形对角线公式的综合应用
14．（2023春·全国·八年级专题练习）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画2014条对角线，则它是
（ ）边形．
A．2017 B．2016 C．2015 D．2014
【答案】A【分析】 边形一个顶点可以画 条对角线，代入数据计算即可．
【详解】解：设这个多边形是n边形．
依题意，得 ，
∴ ．
故这个多边形是2017边形，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的对角线条数，熟记公式是解题关键．
15.（2023春·浙江·八年级专题练习）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则
这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】C
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出 条对角线，可组成 个三角形，依此可求出n的值，
得到答案．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
由题意得： ，
解得： ，
即这个多边形是七边形，
故选C．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利
用方程思想，解方程求n．
16.（2023春·浙江·八年级专题练习）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四
边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十
边形对角线的总条数（ ）
A．54 B．44 C．35 D．27【答案】C
【分析】根据一个n边形的对角线条数为 进行求解即可．
【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线……
一个十边形共有 条对角线，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对角线条数问题，解题的关键是熟练掌握一个n边形的对角线条数为 ．
17，（2023秋·辽宁阜新·八年级统考期末）我们知道，三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边
形有5条对角线，那么n边形有______条对角线．
【答案】
【分析】由于 边形从一个顶点出发可画 条对角线，所以 边形共有 条对角线，根据以上关
系直接计算即可．
【详解】解： 三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，
边形有 条对角线．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多边形对角线的定义及计算公式，熟记多边形的边数与对角线的关系式是解决此类问
题的关键．
18.（2023秋·八年级课时练习）连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，
求多边形的边数．
【答案】8
【分析】根据过 边形的一个顶点可以引 条对角线，将 边形分成 个三角形即可得出结果．
【详解】解：设多边形的边数为 ，依题意得 ，解得 ．
∴多边形的边数为8．
【点睛】本题考查了多边形对角线的相关知识，掌握过 边形的一个顶点可以引 条对角线，将 边形
分成 个三角形是本题的关键．
19．（2022秋·云南楚雄·八年级校考阶段练习）若一个多边形的外角和比这个多边形的内角和小 ．(1)求这个多边形的边数；
(2)求这个多边形的所有对角线条数．
【答案】(1)这个多边形的边数是7
(2)14条
【分析】（1）设这个多边形的边数为n，则内角和为 ，外角和为 ，列一元一次方程，即
可求解；
（2）n边形的对角线条数为 ．
【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，
，
解得 ．
即这个多边形的边数是7．
（2）解： ，
即这个多边形有14条对角线．
【点睛】本题考查多边形的内角和、外角和、对角线条数，解题的关键是掌握n边形的内角和为
，外角和为 ，对角线条数为 ．
题型5：巧用外角解决问题
20．（2023春·全国·八年级期末）如图是由射线 ， ， ， ， ， 组成的平面图形，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据多边形的外角和等于 解答即可．【详解】解：由多边形的外角和等于 可知，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是多边形的外角和，掌握多边形的外角和等于 是解题的关键．
21.（2021·全国八年级单元测试）如图，在五边形ABCDE中，∠D＝120°，与∠EAB相邻的外角是80°，
与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，则∠C为________度．
【答案】80
【分析】利用邻补角的定义分别求出∠DEA，∠ABC，∠EAB的度数；再利用五边形的内角和为540毒，可
求出∠C的度数．
【详解】解：∵与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，
∴∠DEA＝180°－60°＝120°，∠ABC＝180°－60°＝120°，∠EAB＝180°－80°＝100°；
五边形的内角和为（5－2）×180°＝540°；
∴∠C＝540°－120°－120°－120°－100°＝80°．
故答案为：80．
【点睛】此题考查了多边形内角和的性质，涉及了邻补角的定义，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
22.（2020·南京市宁海中学八年级开学考试）如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，
∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________．
【答案】70°
【分析】先求出与∠EAB和∠CBA相邻的外角的度数和，然后根据多边形外角和定理即可求解．
【详解】如图，∵∠1+∠2+∠3=220°，
∴∠4+∠5=360°-220°=140°，
∴∠EAB+∠CBA=220°，
∵AO，BO分别平分∠EAB，∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA=110°，
∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=70°．
故答案是：70°．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和定理，三角形的内角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于 360°
是解题的关键．
题型6：求不规则图形多个角的度数和
23.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝( )
A．450° B．540° C．630° D．720°
解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7
＝五边形的内角和＝540°，故选B.
方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系．根据图形特点，将问题转化为
熟知的问题，体现了转化思想的优越性．
24．（2023春·全国·八年级专题练习）如图， 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】连接 ，根据四边形内角和可得 ，再由“8”字
三角形可得 ，进而可得答案．
【详解】解：连接 ，如图，
∵ ， ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
25．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__．
【答案】1080°
【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，
则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝
∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6
＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数．
【详解】解：连KF，GI，如图，
∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．
故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°．
故答案为：1080°．
【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．
26．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，求 的大小．
【答案】
【分析】连接AD，根据三角形内角和定理，得到 ，再利用四边形内角和求解，即可得
到答案．
【详解】解：如图，连接 ，设 与 相交于点G，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和，对顶角相等．当出现多个角求和时，可以通过等
量代换找到我们熟悉的三角形，四边形的内角和进行计算．
27.（2022春•武冈市期中）如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．
【分析】利用三角形内角和定理将不规则图形转化成规则图形：五边形．
【解答】解：如图，
由三角形内角和定理得：∠1+∠5＝∠8+∠9，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠5+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝∠8+∠9+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝
180°×（5﹣2）＝540°．
【点评】本题主要考查多边形内角和，解题关键是利用三角形内角和定理将不规则图形转化成规则图形．
题型7：多边形的内角和与外角和的综合应用
28.一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )
A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不能确定
解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n＝3，∴这个多边形
是三角形．故选C.
方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决
问题．
29.（2021·陕西）一个多边形的内角和与外角和的度数之和为 ，求这个多边形的边数．
【答案】多边形的边数为7
【分析】设这个多边形的边数为n，根据这个多边形的内角和+外角和360°=1800°，列出方程求解即可．
【详解】解：设多边形的边数是 ，由题意得，
，
解得： ．答：多边形的边数为7．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是 360°，与边数无关，熟练
多边形的内角和定理是解题的关键．
30.（2021·广西来宾市·八年级期中）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多 ，求
这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．
【答案】十二边形，1800°
【分析】首先设外角为x°，则内角为（4x＋30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x＋4x＋30＝
180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数，进而求出内角和．
【详解】解：设外角为x°，
由题意得：x＋4x＋30＝180，
解得：x＝30，
360°÷30°＝12，
∴（12−2）×180＝1800°，
∴这个多边形的内角和是1800°，是十二边形．
【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式以及外角和，构建方
程求解即可．
31.己知一个n边形的每一个外角都等于30°．
（1）求n的值．
（2）求这个n边形的内角和．
【答案】（1）12；（2）1800°
【分析】（1）用360°除以外角度数可得答案．
（2）先求出每个内角的度数，再利用内角度数×内角的个数即可．
【详解】解：（1）∵n边形的每一个外角都等于30°
∴n＝360°÷30°＝12；
（2）∵每个内角=180°-30°=150°，
∴内角和=12×150°＝1800°．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和、外角和，关键是掌握多边形的外交和等于360°．
32.（2021秋•泰州期末）【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做
多边形的外角．如图，将△ABC中∠ACB的边CB反向延长，与另一边AC形成的∠ACD即为△ACB的一
个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．
【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．如图，△ABC 的外角和＝（180°﹣∠ACB）+（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠ABC）＝540°﹣
（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝540°﹣180°＝360°．
【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：
（1）将下列表格补充完整．
名称 图形 内角和 外角和
三角形 180° 360°
四边形 360 ° 360 °
五边形 540 ° 360 °
… … … …
n边形 … 180 ° （ n 360 °
﹣ 2 ）
（2）如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．
【分析】（1）根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°，n边形的外角和为360°即可得出答案；
（2）根据多边形的内角和公式和多边形的外角和360°即可得出答案．【解答】解：（1）内角和分别为：
四边形内角和是：（4﹣2）×180°＝360°，
，五边形内角和是：（5﹣2）×180°＝540°，
n边形内角和是：180°（n﹣2）；
外角和分别为：360°、360°、360°；
故答案为：360°、540°、180°（n﹣2），360°、360°、360°；
（2）这个八边形一个内角的度数是：
方法一：（8﹣2）×180°÷8＝135°，
方法二：180°﹣360°÷8＝135°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为（n﹣2）×180°；n边形的外角和为360°．
题型8：多边形内角和、外角和与平行线、角分平分线综合
33．（2021秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）四边形ABCD中， 的平分线与边BC交于点E；
的平分线交直线AE于点O．
（1）若点O在四边形ABCD的内部．
①如图1，若 ， ， ，则 ______．
②如图2，试探索 、 、 之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．
（2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请探究 、 、 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）120°；（2） ；（3）
【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可求∠BAE，∠CDO，再根据三角形外角的性质可
求∠AEC，再根据四边形内角和等于360°可求∠DOE的度数；
②根据三角形外角的性质和角平分线的定义可得∠DOE和∠BAD、∠ADC的关系，再根据四边形内角和等
于360°可求∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系；
（2）根据四边形和三角形的内角和得到∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C，∠EAD+∠ADO=180°-∠DOE，根据角
平分线的定义得到∠BAD=2∠EAD，∠ADC=2∠ADO，于是得到结论．
【详解】解:（1）①∵∴
又∵∠B=50°，∠C=70°
∴∠BAD=130°，∠ADC=110°
∵AE、DO分别平分∠BAD、∠ADC
∴∠BAE=65°，∠ODC=55°
∴∠AEC=115°
∴∠DOE=360°-115°-70°-55°=120°
故答案为：120°
② ，理由如下：
平分
平分
即
（2） ，理由如下：
平分平分
即： .
【点睛】本题考查多边形内角与外角平行线的性质，角平分线的定义，关键是熟练掌握四边形内角和等于
360°，这是解题的重点．
34．（2022秋·八年级课时练习）已知 // ，点B、C在 上（B在C左侧），A在 上，连接 、
， ， ， 平分 ， 平分 ， 、 交于点E．
(1)求 的度数；
(2)若将图1中的线段 沿 向右平移到 如图2所示位置， 平分 ， 平分 ， 、
交于点E， ， ，请你直接写出 的度数：
(3)若将图1中的线段 沿 向左平移到 如图3所示位置，其它条件与（2）相同，猜想此时的度数又是多少．（不需要证明）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先证明 再求解∠PAE= ×140°＝70°，可得
再求解∠ABE=30°，再利用三角形的内角和定理可得答案；
（2）先证明 可得 由 平分 ， 平分
， 再利用四边形的内角和定理可得答案；
（3）先证明 结合角平分线的定义可得 如图，过
作 ，证明 再证明 从而可得答案．
（1）
解：∵ ， ， ，
∴
∴∠PAC=180°-40°=140°， 而AE平分∠PAC，
∴∠PAE= ×140°＝70°，
∴
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=30°，
在△ABE中，∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE=180°-30°-10°=140°，
（2）
∵ ， ， ，
∴
∵ 平分 ， 平分 ，（3）
∵ ， ， ，
∵ 平分 ， 平分 ，
如图，过 作 ，
∴
∴
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，四边形的内角和定
理的应用，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质与多边形的内角和定理解决问题是解本题的关键．
35．（2023秋·八年级课时练习）已知在四边形 中， ， （ ，
）．
(1) _______（用含 、 的代数式表示）．(2)如图①，若 ， 平分 ， 平分与 相邻的外角，请写出 与 的位置关系，
并说明理由．
(3)如图②， 为与 、 相邻的外角平分线所在直线构成的锐角．
①当 时，若 ， 试求 、 ；
②小明在作图时，发现 不一定存在，请指出 、 满足什么条件时， 不存在．
【答案】(1) ；
(2) ，理由见解析；
(3)① ， ；②当 且 时， 不存在．
【分析】（1）根据四边形内角和等于 直接计算即可得到答案；
（2）根据（1）与 时， ，结合 得到 ，
根据 平分 ， 平分 ，得到 ，根据 ， 即可得到答
案；
（3）①连接 并延长至点 ，根据 得到 ，结合 平分 得到 ，
同理得到 ，即可得到 ，即可得到答案；②过点 作 ，由①得：
， ，结合 得到 ，表示出 ，
由（1）结论及 表示出 ， 即可得到答案；
【详解】（1）解：∵在四边形 中，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）解： ，理由：如答图①，延长 交 于点 ，由（1）知： ，
∴当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
，
∵ ， ，
∴ ，
.∴ ，
∴ ；
（3）解：①如答图②，连接 并延长至点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴同理可证， .
∵ ， ，
∴ ，
， ；
②如答图③，过点 作 ，
由①得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
又∵ ，
∴当 时， ，
∴ .
∴ ，
，
，
，
此时， 与 没有交点，
∴当 且 时， 不存在；
【点睛】本题考查根据角平分线求解，四边形内角和定理，平行线性质与判定，解题的关键是作出辅助线及注意整体代换的思想．
【方法三】差异对比法
易错点1：多边形“截角问题”因漏解而致错
36.（2023春·全国·八年级专题练习）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能
是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
【答案】C
【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故选C
【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其
中的任何一种情况．
37．（2022春·八年级单元测试）将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为 ，则原多边形的
边数为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 或 D． 或 或
【答案】C
【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据
多边形的内角和即可解决问题．
【详解】解：多边形的内角和可以表示成 （ 且n是正整数），一个多边形截去一个角后，
多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据题意得 ，
解得： ，
则多边形的边数是 或 或 ，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少
1．
38.（2022·全国·八年级专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是
_____．
【答案】5，6，7．
【分析】直接画图，动作操作即可知答案.
【详解】如图可知，原多边形的边数可能为5,6,7
故填5，6，7．
【点睛】本题考查多边形性质，解题关键在于能够画出图形.
39.（2022·全国·八年级专题练习）把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩_____个角．
【答案】3或4或5．
【分析】剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者边数不变．
【详解】解：如图所示，把一张长方形纸片剪去一个角后，可得三角形或四边形或五边形，故还剩3或4
或5个角，
故答案为：3或4或5．
【点睛】本题考查了剪长方形的问题，掌握剪长方形的性质是解题的关键．
【方法四】 仿真实战法
考法1：多边形内角和公式的应用
1．（2023•益阳）如图，正六边形ABCDEF中，∠FAB＝ 12 0 °．【分析】根据多边形的内角和及正多边形的性质计算即可．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，
故答案为：120．
【点评】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（2023•宿迁）七边形的内角和是 90 0 度．
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【解答】解：（7﹣2）•180＝900度，则七边形的内角和等于900度．
【点评】解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
3．（2023•重庆）若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为 800 ° ．
【分析】利用多边形内角和公式求得七边形的内角和后与100°作差即可．
【解答】解：由题意可得七边形的内角和为：（7﹣2）×180°＝900°，
∵该七边形的一个内角为100°，
∴其余六个内角之和为900°﹣100°＝800°，
故答案为：800°．
【点评】本题主要考查多边形的内角和，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4．（2023•云南）五边形的内角和等于 54 0 度．
【分析】直接根据n边形的内角和＝（n﹣2）•180°进行计算即可．
【解答】解：五边形的内角和＝（5﹣2）•180°＝540°．
故答案为：540．
【点评】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和＝（n﹣2）•180°．
5．（2023•重庆）如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为 36 ° ．【分析】利用多边形内角和公式及正多边形性质易得∠B的度数，AB＝BC，再根据等边对等角，利用
三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC，∠B＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝ ＝ ＝36°，
故答案为：36°．
【点评】本题主要考查多边形内角和及正多边形性质，利用其求得∠B的度数是解题的关键．
6．（2023•济宁）一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 五 边形．
【分析】根据多边形的内角和公式列方程并解方程即可．
【解答】解：设此多边形的边数为n，
则（n﹣2）•180°＝540°，
解得：n＝5，
即此多边形为五边形，
故答案为：五．
【点评】本题考查多边形的内角和公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
考法2：多边形外角和的应用
7．（2023•湖北）若正n边形的一个外角为72°，则n＝ 5 ．
【分析】根据正多边形的性质及其外角和为360°列式计算即可．
【解答】解：∵正n边形的一个外角为72°，
∴n＝360÷72＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查多边形的外角和与正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
8．（2023•兰州）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶
嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝（ ）A．45° B．60° C．110° D．135°
【分析】由多边形的外角和定理直接可求出结论．
【解答】解：∵正八边形的外角和为360°，
∴每一个外角为360°÷8＝45°．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形外角和定理，掌握外角和定理是解题的关键．
9．（2023•徐州）正五边形的一个外角等于 7 2 °．
【分析】根据多边形的外角和是360°，即可求解．
【解答】解：正五边形的一个外角＝ ＝72°，
故答案为：72．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和是360°是关键．
10．（2023•扬州）如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为 6 ．
【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：多边形的边数是：360°÷60°＝6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和是360°是解题关键．
【方法五】成功评定法
一、单选题
1．（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校联考期末）在学习多边形的内角和外角知识以后，2班
的小朋友们在操场做了一个实验，如图，张梓佑从 点出发沿直线前进8米到达 点后向左旋转 度，再
沿直线前进8米，到达点 后，又向左旋转 度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，她共走了72米，
请计算出张梓佑每次旋转的角度 为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据多边形的外角的定义解决此题．
【详解】解：∵
72÷8=9，
∴ ．
∴每次旋转的角度 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查多边形的外角，熟练掌握多边形的外角的定义是解决本题的关键．
2．（2019秋·广东潮州·八年级统考期中）从一个多边形的任何一个顶点出发都只有2条对角线，则它的边
数是（ ）条.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据从多边形的一个顶点可以做 条对角线即可求解．
【详解】解：∵从一个多边形的任何一个顶点出发都只有2条对角线，
∴ ，
解得 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题的关键是熟练掌握多边形对角线的条数规律．
3．（2023春·云南昭通·八年级统考期末）如图，八角帽又称“红军帽”，其帽顶近似正八边形．那么正八
边形的一个外角的大小为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据多边形的外角和为 即可解答．
【详解】解：∵多边形的外角和为 ，
∴正八边形的一个外角为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了求正多边形的外角，解题的关键是熟知多边形的外角和为 ．
4．（2023春·安徽池州·八年级统考期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为 ，则原
多边形边数为（ ）
A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6
【答案】D
【分析】根据多边形的内角和公式求出n，再根据截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，
增加1或减少1来解答．
【详解】解：设新多边形边数为n，
∵新多边形内角和为 ，
∴ ，
解得 ，
若多边形截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1，如下图所示：
∴原多边形边数为4或5或6，
故选：D．
【点睛】本题主要考查多边形内角和和边数的关系，掌握内角和公式是解题的关键.
5．（2023春·全国·八年级专题练习）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能
是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
【答案】C
【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．故选C
【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其
中的任何一种情况．
6．（2023·全国·八年级假期作业）下列说法错误的是（ ）
A．五边形有5条边，5个内角，5个顶点；
B．四边形有2条对角线；
C．连接对角线，可以把多边形分成三角形；
D．六边形的六个角都相等；
【答案】D
【分析】运用多边形的定义及其内角、对角线等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、五边形有5条边，5个内角，5个顶点，原选项正确，故不符合题意；
B、四边形有2条对角线，原选项正确，故不符合题意；；
C、连接对角线，可以把多边形分成三角形，原选项正确，故不符合题意；
D、六边形的六个角不一定相等，只有正六边形的六个内角相等，原选项错误，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的定义及其内角、对角线等知识点，解决本题的关键是熟练掌握多边形的定义．
7．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）一个边长为 的正多边形的每个外角的度数是 ，则这个正
多边形的周长是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据多边形的外角和，可得多边形的边数，根据周长公式，可得答案．
【详解】解：由题意，多边形边数为 ，
∴正多边形为正十边形，
∵边长为 ，
∴正六边形的周长为 ，
故选：B．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的外角和得出多边形是解题关键．
8．（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图，将三角形纸片 沿 折叠，当点A落在四边形
的外部时，测量得 ， ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用四边形的内角和定理求出 ，再利用三角形的内角和定理求出 ，根据对顶角
相等得出 ，根据三角形内角和定理可得结果．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，解题的关键是运用多边形的内角和
定理求出 的度数．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则
这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】C
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出 条对角线，可组成 个三角形，依此可求出n的值，得到答案．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
由题意得： ，
解得： ，
即这个多边形是七边形，
故选C．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利
用方程思想，解方程求n．
10．（2020秋·八年级单元测试）一个正十边形的某一边长为8cm，其中一个内角的度数为144º，则这个
正十边形的周长和内角和分别为（ ）
A．64cm，1440º B．80cm，1620º C．80cm，1440º D．88cm，1620º
【答案】C
【详解】因为正十边形的各个边都相等，则它的周长为8×10=80(cm)
因为正十边形的各内角都相等，则它的内角之和为144°×10=1440°.
故选C.
二、填空题
11．（2023春·广东惠州·八年级校考开学考试）一个多边形的内角和是 ，这个多边形的边数是 ．
【答案】6
【分析】根据多边形的内角和公式 ，建立方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：∵多边形的内角和公式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查多边形内角和，掌握多边形的内角和公式为 是解题的关键．
12．（2023春·浙江金华·八年级校联考期中）一个多边形的每一个外角都为 ，则这个多边形的边数是
．
【答案】10【分析】根据多边形的外角和等于 即可解答．
【详解】解：因为一个多边形的每一个外角都等于 ，
所以这个多边形的边数为 ．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，熟知任意多边形的外角和都等于 是解题的关键．
13．（2023春·广西贵港·八年级统考期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为
．
【答案】6
【分析】根据多边形的内角和公式和外角和为 ，列式计算即可．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： ；
∴这个多边形的边数为6；
故答案为：6
【点睛】本题考查多边形的内角和和外角和的综合应用．解题的关键是掌握多边形的内角和为 ，
外角和为 ．
14．（2023春·全国·八年级专题练习）一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这
个多边形的边数为 ．
【答案】11
【分析】直接利用多边形内角和公式列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：设这个多边形边数为n，
，
∴ ，
∵n是整数，
∴ ，
故答案为11．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记公式，列出不等式组．
15．（2023·全国·八年级假期作业）从十六边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个十六边形分成
个三角形．【答案】 /十四
【分析】从n边形的一个顶点出发有 条对角线，共分成了 个三角形．
【详解】解：当 时， ，
即可以把这个十六边形分成了 个三角形，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，熟记相关公式是解题的关键，如果记不住公式，可以从四边形、五
边形开始，画图探索规律．
16．（2022·全国·八年级专题练习）把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩 个角．
【答案】3或4或5．
【分析】剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者边数不变．
【详解】解：如图所示，把一张长方形纸片剪去一个角后，可得三角形或四边形或五边形，故还剩3或4
或5个角，
故答案为：3或4或5．
【点睛】本题考查了剪长方形的问题，掌握剪长方形的性质是解题的关键．
17．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，
如果 ，那么 的度数等于 ．
【答案】 /30度
【分析】根据已知多边形的内角度数和中间小三角形的外角和为 求解即可．
【详解】解：∵等边三角形的每个内角度数是 ，正方形的每个内角度数是 ，正五边形的每个内角度数是 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
【点睛】本题考查多边形的内角和外角，熟记常见正多边形的内角度数，准确找到小三角形的几个外角并
且它们的和为 是解答的关键．
18．（2023春·上海·八年级专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ．
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ．
【答案】
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得；
（2）根据四边形内角和可求得 ， ，再利用三角形内
角关系可得 ，进而可求得．
【详解】解：（1）∵在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
故答案为 ；
（2）如图，∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为 ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
三、解答题
19．（2023春·全国·八年级专题练习）看图回答问题：
(1)内角和为2014°，小明为什么说不可能？
(2)小华求的是几边形的内角和？
【答案】(1)理由见详解
(2)
【分析】（1）根据多边形的内角和定理即可求解；
（2）根据题意设多边形的边数为 ，根据多边形的内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：∵设多边形的边数为 ，则 边形的内角和是 ，
∴内角和一定是 度的倍数，
∵ ，
∴内角和为 不可能．
（2）解：设多边形的边数为 ，
∴ ，解得， ，∴多边形的边数是 ，
∴小华求的是十三边形的内角和．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
20．（2023春·湖南怀化·八年级溆浦县第一中学校考期中）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少
，这个多边形的边数是多少？
【答案】七
【分析】设这个多边形的边数是n，根据多边形的内角和和外角和公式列出方程，求解即可
【详解】解：设这个多边形的边数是n，根据题意可得： ，
解得： ；
即这个多边形是七边形.
【点睛】本题考查了多边形的内角和和外角和，属于基础题目，熟知多边形的内角和和外角和公式是解题
的关键.
21．（2023秋·八年级课时练习）连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，
求多边形的边数．
【答案】8
【分析】根据过 边形的一个顶点可以引 条对角线，将 边形分成 个三角形即可得出结果．
【详解】解：设多边形的边数为 ，依题意得 ，解得 ．
∴多边形的边数为8．
【点睛】本题考查了多边形对角线的相关知识，掌握过 边形的一个顶点可以引 条对角线，将 边形
分成 个三角形是本题的关键．
22．（2023春·广西百色·八年级统考期末）观察探究及应用；
(1)观察下列图形并完成填空．
如图①一个四边形有2条对角线；
如图②一个五边形有5条对角线；如图③一个六边形有______条对角线；
如图④一个七边形有______条对角线；
(2)分析探究：由凸n边形的一个顶点出发，可做______条对角线，一个凸n边形有______条对角线；
(3)应用：一个凸十二边形有______条对角线．
【答案】(1)9，
(2) ，
(3)54
【分析】（1）分别通过计数可得答案；
（2）先探究从三角形到六边形的一个顶点出发作的对角线的数量，得到每种图形的对角线的总数量，再
总结归纳出规律即可；
（3）把 代入 进行计算即可．【详解】（1）解：如图③一个六边形有9条对角线；
如图④一个七边形有14条对角线；
（2）∵从三角形的一个顶点出发，可作0条对角线；共有0条对角线；
从四边形的一个顶点出发，可作1条对角线；共有 条对角线；
从五边形的一个顶点出发，可作2条对角线；共有 条对角线；
从六边形的一个顶点出发，可作3条对角线；共有 条对角线；
∴由凸n边形的一个顶点出发，可做 条对角线，一个凸n边形有 条对角线．
（3）当 时，
（条），
∴一个凸十二边形有54条对角线．
【点睛】本题考查的是凸多边形的对角线的数量的探究，掌握探究的方法并总结运用规律解决问题是关键．
23．（2023春·湖南怀化·八年级统考期中）若一个 边形的内角和与外角和的差是 ，求 ．
【答案】8
【分析】根据多边形的内角和与外角和的差是 ，可列方程 ，解方程即可．
【详解】解：由题意可得： ，
解得： ．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，由多边形的内角和与外角和关系列出方程是解题的关键．
24．（2022·全国·八年级专题练习）问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖
形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为∠AOC=∠A+∠C+∠P．
问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；
小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，
所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，
即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；
由“ ”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．
所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．
所以2∠APC= ．
所以∠APC= ．
请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需
说明理由）；
解决问题1：如图（3）已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与
∠B、∠D的关系为
解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的
关系为
【答案】问题1、问题2答案见解析；解决问题1：∠P=180°－ （∠B＋∠D）；解决问题2：∠P=90°＋
（∠B＋∠D）
【分析】问题1：根据三角形的外角的性质即可得到结论；
问题2：根据三角形外角的性质和问题1的结论求解即可；
解决问题1：根据四边形的内角和等于360°可得（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°-
∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；
解决问题2：根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．
【详解】解：问题1：连接PO并延长．
则∠1=∠A＋∠2，∠3=∠C＋∠4，
∵∠2＋∠4=∠P，∠1＋∠3=∠AOC，
∴∠AOC=∠A＋∠C＋∠P；
故答案为：∠AOC=∠A＋∠C＋∠P；问题2：如图2，由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，
所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，
即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；
由“三角形外角的性质”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．
所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．
所以2∠APC=∠B+∠D．
所以∠APC= （∠B＋∠D）=38°．
解决问题1：如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴（180°－2∠1）＋∠B=（180°－2∠4）＋∠D，
在四边形APCB中，（180°－∠1）＋∠P＋∠4＋∠B=360°，
在四边形APCD中，∠2＋∠P＋（180°－∠3）＋∠D=360°，
∴2∠P＋∠B＋∠D=360°，
∴∠P=180°－ （∠B＋∠D）；
解决问题2：如图4，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵（∠1＋∠2）＋∠B=（180°－2∠3）＋∠D，
∠2＋∠P=（180°－∠3）＋∠D，
∴2∠P=180°＋∠D＋∠B，
∴∠P=90°＋ （∠B＋∠D）．故答案为：∠P=90°＋ （∠B＋∠D）．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，四边形的内角和，解题的关键在于能够熟
练掌握相关知识进行求解.
