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21.3 实际问题与一元二次方程一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
2.设：设元，即设出未知数。
3.列：列方程，这是关键步骤。一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然
后列代数式表示这个相等关系中的各个量，得到含有未知数的等式，即方程。
4.解：解方程，求出未知数的值。
5.验：检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。
6.答：写出答案。
二、常见应用题型及解题技巧
1.三个连续整数问题：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。
2.三个连续偶数（奇数）问题：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2。
3.三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a，b，c，则这个三位数是
100a+10b+c。
4.平均增长率或降低率问题：设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，
则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1±x)²=b。
5.利润问题：常用的相等关系式有，总利润=总销售价-总成本；总利润=单位利润×总销售量；
利润=成本×利润率。
6.几何图形问题：根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含
有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。
7.传播问题：包括疾病传染问题和分裂增长问题等，需要根据题意建立等量关系，列出一
元二次方程进行求解。
巩固课内例1:一元二次方程的应用——传染问题
1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传
染的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数
为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”列出方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
，
整理得： ，
解得： ， （舍），
∴每轮传染中平均一个人传染的人数为8人，
故选：A．
2．请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了 人．
【答案】10
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
设每轮传染中，平均一个人传染了 人，根据“感染1个人，此人未被有效隔离，经过两
轮传染后共有121名感染者”，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其正值即可得出
结论．
【详解】解：设平均一个人传染了 个人，根据题意得，
解得， ， （舍去）
所以，平均一个人传染了10个人，
故答案为：10．
3．若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，
加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？
【答案】第四轮传染后共有7056人患流感
【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有144人患了流感，可求出x，进而求出第四轮过后，又被感染的人数．
本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有： ，
故 ，
∴ 或 ，
∴ ， （不合题意，舍去），
（人）．
答：第四轮传染后共有7056人患流感．
巩固课内例2:一元二次方程的应用——平均变化率问题
1．2024年12月4日，春节申遗成功．伴随着中国春节除夕夜必不可少的春晚，承载了无
数家庭的欢乐与记忆．据相关统计，2023年春晚在新媒体端直播规模约8亿人次，2025年
约21亿人次．设这两年春晚在新媒体端直播规模的年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】本题考查一元二次方程的实际应用．
根据题意列方程即可．
【分析】解：设年平均增长率为 ，则：
2024年的规模为 亿人次，
2025年的规模为 亿人次．
∵2025年的规模为21亿人次，
∴ ，
故选C．
2．某新能源汽车1月售价25万元/辆，3月降至 万元/辆，则月平均降价率为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用．设月平均降价率为x，新能源汽车1月售价25万元/辆，3月降至 万元/辆，据此列出
一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设月平均降价率为x，
由题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
月平均降价率为 ．
故答案为：
3．某科技公司通过引入AI算法优化云计算资源调度，使服务器运行成本逐月下降．原来
单台服务器每月运行成本为2500元，经过两个月的技术迭代后，单台服务器每月运行成本
降至1600元．求单台服务器运行成本的月平均降低率．
【答案】单台服务器运行成本的月平均降低率为
【分析】本题考查了一元二次方程的意义，设单台服务器运行成本的月平均降低率为 ，
根据题意列出方程解方程，即可求解．
【详解】解：设单台服务器运行成本的月平均降低率为 ，根据题意得，
解得： （舍去）
答：单台服务器运行成本的月平均降低率为 ．
巩固课内例3:一元二次方程的应用——图形问题
1．如图1是小明同学用手机拍摄的一张家乡风景照片，照片的长为8分米，宽为6分米，
现在想在原照片的四周围用宽度相同的金色纸边进行装裱，如图2．如果要求装裱后的图
片面积是80平方分米．则装裱用的金色纸片的宽是（ ）
A．1分米 B．1.5分米 C．2分米 D．2.5分米
【答案】A【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得
，再解方程并检验即可.
【详解】解：设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得
，
解得： ， （不合题意，舍去）．
∴金色纸边的宽为1分米；
故选：A．
2．《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为 ，宽为 的
《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边
的宽为 ，若要使整个挂图的长与宽之比为 ，则可列关于x的方程为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．设金色纸边的宽为 ，则整个挂
图的长为 ，宽为 ，再根据整个挂图的长与宽之比为 列出方程即
可．
【详解】解：设金色纸边的宽为 ，则整个挂图的长为 ，宽为 ，
依题意得： 或 ．
故答案为： 或 ．
3．如图，学校为美化环境，准备用总长为 的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长 ，花圃三边外围用篱笆围起，并在边 上留一个 宽的门（建在
处，另用其他材料）．
(1)若花圃的面积为 ，求花圃的一边 的长；
(2)花圃的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)10米
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
（1）设 的长为 米，由花圃的面积为 ，列出方程可求解；
（2）设 的长为 米，由花圃的面积为 ，列出方程可求解．
【详解】（1）解：设 的长为 米，则 米
由题意可得： ，
解得： ， ，
，即： ，
，
∴ 的长为10米；
（2）花圃的面积不能达到 ．理由如下：
设 的长为 米，
由题意可得： ，
化简得 ，
△ ，
方程无解，花圃的面积不能达到 ．
类型一、一元二次方程的应用——数字问题
1．淇淇同学在计算正数 的平方时，误算成 与 的积，求得的答案比正确答案小 ，则
正数 的值是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，无理数的大小判断，熟
练掌握解一元二次方程的求根公式是解题关键．
根据题意，建立方程 ，解方程，即可求解．
【详解】解：根据题意，得： ，即 ，
解得： ，
或 ，
，
，
∵a为正数，
．
故选：A．2．如图，根据小丽与 的对话， 在深度思考后，给出的答案是
．
【答案】1
【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这
个数为 ，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数
相同”列出方程即可求解．
【详解】解：设这个数为 ，则有
，
，
，
解得 ．
故答案为： ．
3．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，
樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古
风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符．
”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．）
【答案】周瑜去世时年龄为36岁
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方
与寿符”以及 十位数字 个位数字 个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设周瑜去世的年龄十位数字为 ，则个位数字为 ，
则根据题意： ，
整理得： ，解得 ， ，
由题意，而立之年督东吴，则 舍去，
∴周瑜去世的年龄为 岁，
类型二、一元二次方程的应用——循环问题
1．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场。若共赛了15场，则有几个球队
参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设有 个球队参赛，每两队之间赛一场，总比赛场数为所有可能的组合数.每个球
队需与其他 个球队比赛，但每场比赛被计算了两次，因此总场数为 ，根据
总场数为15，列出方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键．
【详解】解：设共有x个队参赛，根据题意，得 ，
故选：D．
2．2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一
场比赛），共进行了55场，则共有多少支队伍参加比赛？根据题意，设有n支参赛队伍，
可列方程 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．利用比赛的总场数 参赛队伍数 （参赛队伍数 ） ，即可列出关于一元二次
方程．
【详解】解：设参加比赛的队伍共有 支，根据题意得：．
故答案为： ．
3．某市第四中学将组织一次八年级篮球联赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），恰好
需要打 场比赛，问共有多少支球队参加比赛？
【答案】有 支球队参加比赛
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
设应邀请 支球队参加比赛，根据计划安排171场比赛，即可得出关于的一元二次方程，
解之取其正值即可得出结论．
【详解】设有 支球队参加比赛，由题意得，
，
解得 ，
又
有 支球队参加比赛．
类型三、一元二次方程的应用——握手问题
1．在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了 45
次手，那么参加这次聚会的同学共有（ ）人．
A．9 B．10 C．45 D．46
【答案】B
【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题，解题的关键在于分析题意，找出相等关
系并建立方程．
设这次聚会的同学共n人，则每人与其他 人各握手一次，而两个人之间握手一次，
因而共握手 次，即可列方程求解．
【详解】解设有 名同学参加聚会，每人与其他 人各握手一次，但每两次握手被重复计算一次，故总握手次数为 ．根据题意，得：
解得 （舍去负根）．
因此，参加聚会的同学共有10人，
故选：B．
2．有 人参加了一次聚会，每两人都握了一次手，所有人共握手66次，则可以列出关于
的方程： ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据每两人都握手一次手，有人共握手66
次，列出方程即可．
【详解】解：根据题意得： ，
故答案为： ．
3．探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次．
(1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次；
(2)若参加聚会的人数为 （ 为正整数），则共握手___________次；
(3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数．
(4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在 的内部由顶点 引出 条射线（不含 ，
边），角的总数为20个，求 的值．”
琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？
【答案】(1)3
(2)
(3)10人
(4)琪琪的思考是对的，见解析
【分析】本题考查了数字类归纳探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是
解题关键．（1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得；
（2）先求出参加聚会的人数为 时，共握手的次数，再归纳类推出一般规律即可得；
（3）令（2）的结果等于45，解一元二次方程即可得；
（4）参照（2）的规律，归纳类推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即
可得．
【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手3次，
故答案为：3．
（2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手 次，
参加聚会的人数为2，则共握手 次，
参加聚会的人数为3，则共握手 次，
参加聚会的人数为4，则共握手 次，
归纳类推得：若参加聚会的人数为 （ 为正整数），则共握手 次，
故答案为： ．
（3）解：若参加聚会的人共握手45次，
则 ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
答：参加聚会的人数为10人．
（4）解：琪琪的思考是对的，理由如下：
若在 的内部由顶点 引出1条射线（不含 ， 边），角的总数为
个，
若在 的内部由顶点 引出2条射线（不含 ， 边），角的总数为
个，
若在 的内部由顶点 引出3条射线（不含 ， 边），角的总数为个，
归纳类推得：若在 的内部由顶点 引出 条射线（不含 ， 边），角的总数
为 个，
令 ，即 ，
解得 或 （均不是正整数，不符合题意，舍去），
所以在这个问题上，角的总数不可能为20个，琪琪的思考是对的．
类型一、一元二次方程的应用——直角三角形问题
1．已知一直角三角形面积为10，两直角边的和为9，则斜边长为（ ）
A．7 B．9 C． D．
【答案】D
【分析】此题主要利用三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用．找到关键描
述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
设一直角边为x，则另一直角边为 ，可得面积是 ，根据“面积为10”作为相
等关系，即可列方程，解方程即可求得直角边的长，再根据勾股定理求得斜边长．
【详解】解：设一直角边为x，则另一直角边为 ，根据题意得
解得： ， ，
∴另一直角边为 或 ，
∴直角三角形两直角边为4，5，
∴直角三角形的斜边为 ．
故选：D．2．若直角三角形三边长分别是n， ， ，则该三角形的面积是 ．
【答案】54
【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，正确求出该直角
三角形的两条直角边长是解题关键．根据直角三角形斜边最长结合勾股定理可求出n的值，
再计算其面积即可．
【详解】解：∵ ，
∴该直角三角形的两条直角边分别为n， ，
∴ ，
解得： （舍）， ，
∴该直角三角形的两条直角边分别为9，12，
∴该三角形的面积是 ．
故答案为：54．
3．已知直角三角形三边长为三个连续整数，请求出这个三角形的面积．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据直角三角形三边长是连续整数可设三边长分
别为 ，由勾股定理列出方程，求出 的值，再根据面积公式求解即可
【详解】解：设三边分别为a， ，
三角形为直角三角形
（舍去）
三角形三边为：3，4，5
三角形面积
类型二、一元二次方程的应用—菱形问题
1．一个菱形两条对角线相差5，面积为12，设长对角线为x，可列方程( )
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】直接利用菱形面积的求法结合题意即可列出一元二次方程．
【详解】解：设长对角线为x，则短对角线为 ，
则可列方程： ．
故选D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握菱形的面积等于对角线乘
积的一半是解题关键．
2．一个菱形两条对角线长的和是 ，周长为 ，则菱形的面积为 ．
【答案】24
【分析】主要考查菱形的面积公式：两条对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾
股定理及解一元二次方程．根据菱形的性质可知边长再利用勾股定理求出对角线的长，然
后根据菱形的面积计算公式可解．
【详解】解：菱形的周长为 ，则边长为 ，
∵菱形的对角线互相垂直平分，一个菱形两条对角线长的和是
设一其中条角线的一半为 ，则另一条角线的一半长为 ，
，
解得： 或 ，
菱形的两条对角线长分别为 和 ，
则菱形的面积为 ．
故答案为：24．
3．如图，菱形 的边长为6，对角线 、 交于 ，且 ， ．(1)判断四边形 的形状并说明理由；
(2)若四边形 的周长为16，求菱形 的面积．
【答案】(1)四边形 为矩形，理由见详解
(2)28
【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等
知识，熟练掌握矩形的判定以及菱形的性质是解题关键．
（1）首先根据菱形的性质可得 ，即有 ，再根据平行线的性质可得
，即可证明结论；
（2）首先根据矩形的性质可得 ，可设 ，则 ，在 中，
由勾股定理可得 ，代入数值并解得 的值，进而可求得 ，然后
由菱形 的面积 求解即可．
【详解】（1）解：四边形 为矩形，理由如下：
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形；
（2）解：∵四边形 为矩形，且周长为16，
∴ ，
设 ，则 ，则在 中，由勾股定理可得
即 ，
解得 或 ，
∴ ，
∴菱形 的面积 ．
类型三、一元二次方程的应用——矩形问题
1．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长
阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它
的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为 步，根据题意可列方程为
（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为
步，利用矩形面积公式即可列出方程.
【详解】解：设宽为x步，则长为 步
由题意，得： ，
故选：A.
2．一块矩形地的面积为 平方步，已知长与宽的和为 步，问长比宽多几步？设矩形
的长为 步，则可列出方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设矩形田地的长为x步，则宽为 步，根
据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程．【详解】解：设矩形田地的长为x步，则宽为 步，
依题意得： ，
故答案为： ．
3．已知关于x的方程 ．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且矩形对角线长 ，求该矩形的面积．
【答案】(1)
(2)5
【分析】(1)根据方程 有两个不相等的实数根，
列出关于 的不等式求解；
(2)先根据方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，求得两根之和与两根之积，再利用矩形
对角线长 ，得到关于 的方程求解，然后求得矩形的面积．
【详解】（1）解∶∵方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
；
（2）设矩形两邻边分别为 ， ，
∵方程 的两根恰好是一个矩形两邻边的长，
∴ ， ，
∵矩形对角线长 ，
，，
即 ，
解得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴矩形面积 ．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判断式求参数，一元二次方程的解法，一元二
次方程根与系数的关系，勾股定理，解题关键是掌握上述知识，并能熟练运用求解．
类型四、一元二次方程的应用——小球速度问题
1．小球以 的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速， 后小球停下来．小球滚
动到 时约用了多少时间（精确到 ）？（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求得小球的平均速度，然后利用等量关系：速度×时间=路程，时间为x，则
速度为5﹣1.25x．
【详解】小球滚动到5m时约用了xs，依题意，得：
x• =5
整理得：x2﹣8x+8=0，解得：x=4±2 ．
∵x＜4，∴x=4﹣2 ≈1.2．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，
而平均每秒小球的运动减少的速度=（初始速度﹣末速度）÷时间．
2．如图， ， ， ，一个小球从点 出发沿着 方向滚向
点 ，另一小球立即从点 出发，沿 匀速前进拦截小球，恰好在点 处截住了小球．
若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程 是 ．【答案】
【分析】根据题意设 ，则 ，在 中，用含 的式子表示出 ，
根据两个小球的速度相等，时间相等，即可求解．
【详解】解： ， ， ，设 ，则 ，
在 中， ，
∵两个小球滚动的速度相等，设速度为 ，根据题意可知，一个小球从点 出发，另一小
球立即从点 出发，恰好在点 处截住，则运动时间相等，
∴ ，则 ，
∴ ，解得， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查动点、方程与直角三角形的综合，掌握直角三角形的勾股定理，根
据数量关系列方程，解方程是解题的关键．
3．在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此
运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间
段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为
米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即 ．若一个小球以10米/秒的初速度
沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少 米/秒，从开始到滚动了 秒后小球的速度为 米/秒；
(2)小球滚动24米用了多少秒？
(3)小球在最后一秒滚动了多少米？【答案】(1)2，
(2)4
(3)1
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
（1）根据以 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动列式计算即
可；
（2）设小球滚动24米约用了 秒，由时间 速度 路程，列出一元二次方程，解方程即可．
（3）根据（1）中结论得出小球滚动距离 ，再代入 和 作差即可解答．
【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少 ，
从开始到滚动了 秒后小球的速度为 米/秒，
故答案为：2， ．
（2）解：设小球滚动24米约用了 秒，此时速度为 米/秒，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： 或 ，
当 时， ，不符题意，舍去，
．
答：小球滚动24米用了4秒．
（3）解：∵小球的滚动速度平均每秒减少 ，从开始到滚动了 秒后小球的
速度为 米/秒，
∴小球滚动距离 ，
当 时， ，∴小球滚动25米后停止，
当 时， ，
故小球在最后一秒滚动了 米．
类型一、一元二次方程的应用——规律问题
1．如图，春节期间，广场上空用红色无人机（〇）和黄色无人机（△）组成如下图案：
结合上面图案中“〇”和“△”的排列方式及规律，当红色无人机（〇）比黄色无人机
（△）的个数多28台，此时正整数n为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了图形规律．根据所给图形，分别求出图形中〇和△的个数，发现规律
即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
第 个图案中〇的个数为 ，△的个数为 ；
第 个图案中〇的个数为 ，△的个数为 ；
第 个图案中〇的个数为 ，△的个数为 ；
…，
所以第 个图案中〇的个数为 个，△的个数为 个．
由 得，（舍去）， ，
所以 的值为 ．
故选：C．
2．某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆
放，若第 个图中共有 个棋子，则 的值是 ．
【答案】8
【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律，列出方程是解题的关键．
根据给定的图找出其中的规律，列出一元二次方程求解．
【详解】解：第1个图中棋子的个数为： ，
第2个图中棋子的个数为： ，
第3个图中棋子的个数为： ，
第4个图中棋子的个数为： ，
则第 个图中棋子的个数为： ，
，
解得： ， （不合题意，舍去）
第 个图中共有 个棋子．
故答案为： ．
3．阅读材料，解决下列问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，
…，第 行有 个点，…．(1)探索：三角点阵中前6行的点数之和为______，前9行的点数之和为______；
(2)总结：前 行的点数之和为______（用含 的式子表示， 为正整数）；
(3)运用：某商场举办促销活动，计划用气球装饰中庭，其中一种装饰方案需要悬挂650个
气球．按照第一串挂2个，第二串挂4个，第三串挂6个，…，第 串挂2n个的规律排列，
求这种装饰方案一共需要悬挂多少串气球？
【答案】(1)21；45
(2)
(3)要悬挂25串气球
【分析】本题考查了有理数的图形类规律，解一元二次方程的应用．
（1）直接把前面6行、9行点分别相加即可求解；
（2）把前n行点数相加即可；
（3）根据题意列出方程，利用（2）的结论解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：前6行点数和为： ；
前9行点数和为： ；
故答案为：21；45；
（2）解：前n行点数和为： ；
故答案为： ；
（3）解：由题意得： ，
即
∴ ，
整理得： ，
解得： （舍去），
答：这种装饰方案一共需要悬挂25串气球．类型二、一元二次方程的应用——销售问题
1．某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000
个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100
个．当该商品的售价定为（ ）元/个时，月利润为9600元
A．32 B．28 C．32或36 D．32或28
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用题，审清题意、正确列出一元二次方程是解题
的关键．
设销售价应定为每件x元，然后根据题意列一元二次方程求解即可．
【详解】解：设销售价应定为每件x元，
当涨价时：由题意可得： ，
整理得： ，
解得： 或 （舍去），
所以该商品的售价定为32元/个时，月利润为9600元；
当降价时：由题意可得： ，
整理得： ，
解得： （舍去）或 ，
所以该商品的售价定为28元/个时，月利润为9600元；
综上所述，当该商品的售价定为32或28元/个时，月利润为9600元．
故选D．
2．某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20
元时，平均每天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具
店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个
口风琴的定价应该是 元．
【答案】
【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，利用单利润 销售的数量 获得的利润列出
方程解答即可．
【详解】解：设每个口风琴的定价应该是 元，
，解得： ， ，
∵尽可能多地让利给消费者，
∴ ，
故答案为： ．
3．“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出
售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式
吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中售价不
变）．
(1)设售价每千克下降 元，则每天能售出_______千克（用含 的代数式表示）；
(2)当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额；
(3)水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达
成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由．
【答案】(1)
(2)54元或56元
(3)不能达成这个“小目标”，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元
二次方程是解题的关键．
（1）根据某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，已知杨梅售价
每千克下降2元，则每天能多售出6千克（同一天中售价不变）．即可得出结论；
（2）设售价每千克下降x元，根据每天能获得9072元的销售额，列出一元二次方程，解
之取符合题意的值即可；
（3）设售价每千克下降m元，根据每天售出杨梅的销售额为10000元，列出一元二次方
程，再由各边的判别式即可得出结论．
【详解】（1）由题意可知，每天能售出： 千克，即 千克，
故答案为：
（2）解∶ 设售价每千克下降 元
由题意得：
整理得：解得： ，
∴ 或
答：每千克售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额
（3）解∶ 按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下：
设售价每千克下降 元
由题意得：
整理得：
∴
∴不能达到这个“小目标”．
类型三、一元二次方程的应用——几何动点问题
1．如图， 中， ， ， ，点 从点 出发向终点 以每秒
个单位长度移动，点 从点 出发向终点 以每秒 个单位长度移动， 两点同时出发，
一点先到达终点时 两点同时停止，则（ ）秒后， 的面积等于 ．
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键．
设移动时间为 秒，因为 秒，所以 ，列方程得 ，解方程即
可得到答案．
【详解】解：设移动时间为 秒，
秒，，
根据题意得 ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
秒后， 的面积等于 ，
故选：A．
2．如图，在 中， ， ， ，动点P从点C出发，以2
的速度沿 方向运动；同时动点Q从点B出发，以1 的速度沿 方向运动．
则运动 秒后 P、Q两点相距25 ．
【答案】10
【分析】本题考查了动点问题、勾股定理及解一元二次方程，根据题意用时间准确表示出
， 的长并找到等量关系是解题的关键．设运动时间为x秒，则 ，
，根据图形知 ，根据勾股定理列出方程，解出即可．
【详解】解：设运动x秒后P、Q两点相距25 ，
则 ， ，
由题意，得 ，
整理得： ，
解得： ， 不合题意，舍去 ，
故答案为：
3．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 开始以 的速度沿边向 移动，点 从点 开始以 的速度沿 边向点 移动．如果 、 分别从
、 同时出发，设移动的时间为t． 求：
(1)当t为多少时， 的面积等于 ？
(2)当t为多少时， 是以 为斜边的直角三角形？
【答案】(1)不存在某一时刻使得 的面积等于
(2)当 为 秒或6秒时， 是以 为斜边的直角三角形
【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握一元
二次方程的解法是解题的关键．
（1）根据三角形的面积公式列出方程可得出答案．
（2）用含 的代数式分别表示图中各线段，在 中，利用勾股定理可求出 ，同
理，在 中利用勾股定理也可以求出 ，联合起来，得到关于 的一元二次方程，
解即可，然后根据实际意义确定 的值．
【详解】（1）解：不存在．
设出发秒 时 的面积等于 ．
，
，
，
，
原方程无实数根，即不存在某一时刻使得 的面积等于 ．
（2）解： ，
， ， ，
是以 为斜边的直角三角形，
，即 ，
整理得 ，
解之得 ， ，
即当 为 秒或6秒时， 是以 为斜边的直角三角形．
