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21.3 实际问题与一元二次方程一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
2.设：设元，即设出未知数。
3.列：列方程，这是关键步骤。一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然
后列代数式表示这个相等关系中的各个量，得到含有未知数的等式，即方程。
4.解：解方程，求出未知数的值。
5.验：检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。
6.答：写出答案。
二、常见应用题型及解题技巧
1.三个连续整数问题：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。
2.三个连续偶数（奇数）问题：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2。
3.三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a，b，c，则这个三位数是
100a+10b+c。
4.平均增长率或降低率问题：设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，
则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1±x)²=b。
5.利润问题：常用的相等关系式有，总利润=总销售价-总成本；总利润=单位利润×总销售量；
利润=成本×利润率。
6.几何图形问题：根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含
有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。
7.传播问题：包括疾病传染问题和分裂增长问题等，需要根据题意建立等量关系，列出一
元二次方程进行求解。
巩固课内例1:一元二次方程的应用——传染问题
1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传
染的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人2．请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了 人．
3．若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，
加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？
巩固课内例2:一元二次方程的应用——平均变化率问题
1．2024年12月4日，春节申遗成功．伴随着中国春节除夕夜必不可少的春晚，承载了无
数家庭的欢乐与记忆．据相关统计，2023年春晚在新媒体端直播规模约8亿人次，2025年
约21亿人次．设这两年春晚在新媒体端直播规模的年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．某新能源汽车1月售价25万元/辆，3月降至 万元/辆，则月平均降价率为 ．
3．某科技公司通过引入AI算法优化云计算资源调度，使服务器运行成本逐月下降．原来
单台服务器每月运行成本为2500元，经过两个月的技术迭代后，单台服务器每月运行成本
降至1600元．求单台服务器运行成本的月平均降低率．
巩固课内例3:一元二次方程的应用——图形问题
1．如图1是小明同学用手机拍摄的一张家乡风景照片，照片的长为8分米，宽为6分米，
现在想在原照片的四周围用宽度相同的金色纸边进行装裱，如图2．如果要求装裱后的图
片面积是80平方分米．则装裱用的金色纸片的宽是（ ）
A．1分米 B．1.5分米 C．2分米 D．2.5分米
2．《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为 ，宽为 的
《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为 ，若要使整个挂图的长与宽之比为 ，则可列关于x的方程为 ．
3．如图，学校为美化环境，准备用总长为 的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃
，其中墙长 ，花圃三边外围用篱笆围起，并在边 上留一个 宽的门（建在
处，另用其他材料）．
(1)若花圃的面积为 ，求花圃的一边 的长；
(2)花圃的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由．
类型一、一元二次方程的应用——数字问题
1．淇淇同学在计算正数 的平方时，误算成 与 的积，求得的答案比正确答案小 ，则
正数 的值是（ ）
A． B． C． 或 D． 或2．如图，根据小丽与 的对话， 在深度思考后，给出的答案是
．
3．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，
樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古
风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符．
”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．）
类型二、一元二次方程的应用——循环问题
1．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场。若共赛了15场，则有几个球队
参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一
场比赛），共进行了55场，则共有多少支队伍参加比赛？根据题意，设有n支参赛队伍，
可列方程 ．
3．某市第四中学将组织一次八年级篮球联赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），恰好
需要打 场比赛，问共有多少支球队参加比赛？
类型三、一元二次方程的应用——握手问题
1．在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了 45次手，那么参加这次聚会的同学共有（ ）人．
A．9 B．10 C．45 D．46
2．有 人参加了一次聚会，每两人都握了一次手，所有人共握手66次，则可以列出关于
的方程： ．
3．探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次．
(1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次；
(2)若参加聚会的人数为 （ 为正整数），则共握手___________次；
(3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数．
(4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在 的内部由顶点 引出 条射线（不含 ，
边），角的总数为20个，求 的值．”
琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？
类型一、一元二次方程的应用——直角三角形问题
1．已知一直角三角形面积为10，两直角边的和为9，则斜边长为（ ）
A．7 B．9 C． D．
2．若直角三角形三边长分别是n， ， ，则该三角形的面积是 ．
3．已知直角三角形三边长为三个连续整数，请求出这个三角形的面积．
类型二、一元二次方程的应用—菱形问题
1．一个菱形两条对角线相差5，面积为12，设长对角线为x，可列方程( )
A． B．
C． D．
2．一个菱形两条对角线长的和是 ，周长为 ，则菱形的面积为 ．
3．如图，菱形 的边长为6，对角线 、 交于 ，且 ， ．(1)判断四边形 的形状并说明理由；
(2)若四边形 的周长为16，求菱形 的面积．
类型三、一元二次方程的应用——矩形问题
1．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长
阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它
的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为 步，根据题意可列方程为
（ ）
A． B．
C． D．2
2．一块矩形地的面积为 平方步，已知长与宽的和为 步，问长比宽多几步？设矩形
的长为 步，则可列出方程为 ．
3．已知关于x的方程 ．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且矩形对角线长 ，求该矩形的面积．
类型四、一元二次方程的应用——小球速度问题
1．小球以 的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速， 后小球停下来．小球滚
动到 时约用了多少时间（精确到 ）？（ ）
A． B． C． D．
2．如图， ， ， ，一个小球从点 出发沿着 方向滚向
点 ，另一小球立即从点 出发，沿 匀速前进拦截小球，恰好在点 处截住了小球．
若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程 是 ．3．在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此
运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间
段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为
米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即 ．若一个小球以10米/秒的初速度
沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少 米/秒，从开始到滚动了 秒后小球的速度为 米/秒；
(2)小球滚动24米用了多少秒？
(3)小球在最后一秒滚动了多少米？
类型一、一元二次方程的应用——规律问题
1．如图，春节期间，广场上空用红色无人机（〇）和黄色无人机（△）组成如下图案：
结合上面图案中“〇”和“△”的排列方式及规律，当红色无人机（〇）比黄色无人机
（△）的个数多28台，此时正整数n为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
2．某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆
放，若第 个图中共有 个棋子，则 的值是 ．
3．阅读材料，解决下列问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，
…，第 行有 个点，…．
(1)探索：三角点阵中前6行的点数之和为______，前9行的点数之和为______；
(2)总结：前 行的点数之和为______（用含 的式子表示， 为正整数）；
(3)运用：某商场举办促销活动，计划用气球装饰中庭，其中一种装饰方案需要悬挂650个
气球．按照第一串挂2个，第二串挂4个，第三串挂6个，…，第 串挂2n个的规律排列，
求这种装饰方案一共需要悬挂多少串气球？
类型二、一元二次方程的应用——销售问题
1．某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000
个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100
个．当该商品的售价定为（ ）元/个时，月利润为9600元
A．32 B．28 C．32或36 D．32或28
2．某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20
元时，平均每天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具
店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个
口风琴的定价应该是 元．
3．“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式
吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中售价不
变）．
(1)设售价每千克下降 元，则每天能售出_______千克（用含 的代数式表示）；
(2)当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额；
(3)水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达
成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由．
类型三、一元二次方程的应用——几何动点问题
1．如图， 中， ， ， ，点 从点 出发向终点 以每秒
个单位长度移动，点 从点 出发向终点 以每秒 个单位长度移动， 两点同时出发，
一点先到达终点时 两点同时停止，则（ ）秒后， 的面积等于 ．
A． B． C． 或 D． 或
2．如图，在 中， ， ， ，动点P从点C出发，以2
的速度沿 方向运动；同时动点Q从点B出发，以1 的速度沿 方向运动．
则运动 秒后 P、Q两点相距25 ．3．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 开始以 的速度沿
边向 移动，点 从点 开始以 的速度沿 边向点 移动．如果 、 分别从
、 同时出发，设移动的时间为t． 求：
(1)当t为多少时， 的面积等于 ？
(2)当t为多少时， 是以 为斜边的直角三角形？
