文档内容
22.2 二次函数与一元二次方程
【提升训练】
一、单选题
1．如图，抛物线 顶点坐标为 ，对于下列结论：① ；②
；③ ；④若方程 没有实数根，则 ．其中正确的结论有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据顶点坐标公式可得b=4a，c=3a，进而可判断①②③，根据一元二次方程根的判别式，可判断④．
【详解】
解：∵抛物线 顶点坐标为 ，
∴ ，即：b=4a，c=3a，故③正确；
∴abc= ，
∵抛物线开口向下，即：a＜0，
∴abc＜0，故①正确；
∵ ，
∴②错误；∵方程 没有实数根，
∴ ，这与 矛盾，故④错误．
故选B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数顶点坐标公式以及二次方程根的判别式与根的情况的
关系，是解题的关键．
2．关于二次函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为 B．对称轴为
C．抛物线与 轴有两个交点 D． 与 时函数值一样大
【答案】D
【分析】
先把一般式配成顶点式得到 ，然后利用二次函数的性质对各选项进行判断．
【详解】
解：∵
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-4），故A、B正确，
当 时，y有最小值-4，当x＜1时，y随x的增大而减少，当x＞1时，y随x的增大而增大．
∴抛物线与x轴有两个交点，故C正确．
当 时 ， 时， ，函数值不一样大，故D错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的交点问题，能熟记二次函数的性质是解此题的
关键．
3．如图，抛物线 的对称轴为直线 ，若关于 的一元二次方程 （ 为
实数）在 的范围内有解，则 的取值错误的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
已知抛物线的对称轴，可求出m=4，进而求出抛物线的解析式；把关于x的一元二次方程有解的问题，转
化为抛物线 与直线y=t的交点问题，可求出t的取值范围；最后将所给的四个选项逐一与t的
范围加以对照，即可得出正确答案．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线x=2,
∴
解得，m=4．
∴抛物线的解析式为
当x=2时，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4）．
当x=1时，
当x=3时，
∵关于x的一元二次方程是 ，
∴ ．∵方程 在 的范围内有解，
∴抛物线 与直线y=t在 范围内有公共点，如图所示．
故选：A
【点睛】
本题考查了二次函数的对称轴、顶点坐标、与一元二次方程的关系等知识点，熟知二次函数的对称轴、顶
点坐标的计算方法是解题的基础，而熟知二次函数与一元二次方程的互相转化是解题的关键．
4．如图，二次函数 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为
，结合图象给出下列结论：
① ；
② ；
③关于x的一元二次方程 的两根分别为-3和1；
④若点 ， ， 均在二次函数图象上，则 ；
⑤ （m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据二次函数的图像及性质逐项分析即可判断．
【详解】
解：∵二次函数 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，
∴当x=1时， ，
故结论①正确；
根据函数图像可知，
当 ，即 ，
对称轴为 ，即 ，
根据抛物线开口向上，得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故结论②正确；
根据抛物线与x轴的一个交点为 ，
对称轴为 可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)，∴关于x的一元二次方程 的两根分别为-3和1，
故结论③正确；
根据函数图像可知： ，
故结论④错误；
当 时， ，
∴当 时， ，
即 ，
故结论⑤错误，
综上：①②③正确，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与
方程的关系．
5．如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，则关于 的不等式
的解集是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】D【分析】
根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】
与 关于y轴对称
抛物线 的对称轴为y轴，
因此抛物线 的图像也关于y轴对称
设 与 交点为 ，则 ，
即在点 之间的函数图像满足题意
的解集为：
故选D．
【点睛】
本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理
解 与 关于y轴对称是解题的关键．
6．已知二次函数 图像上部分点的坐标 对应值列表如下：则关于x的方程
的解是（ ）
x … 0 50 200 …
y … 1 1 …
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据表格信息确定出二次函数的对称轴和c的值，关于方程 的解即关于x的方程
的解，找出二次函数的函数值为 时对应的x的值即可．
【详解】
解：根据表格可知，当 时， ，
即该二次函数解析式可写为 ，
∵当 时和当 时的函数值相同，
∴该二次函数对称轴为 ，
∴当 时和当 时的函数值都为 ，
关于方程 的解即关于x的方程 的解，
∴ ，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，根据表格信息确定二次函数的对称轴是解题
的关键．
7．二次函数 的顶点坐标为（-1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（
）．A． B．
C． D．关于 的方程 无实数根
【答案】B
【分析】
根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；x=1时，y＜0，可对B进行判
断；根据抛物线与x轴的交点情况可对C进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，可对D
进行判断．
【详解】
解：A．∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=- =-1，
∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故A正确；
B．∵抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的一个交点在（-3，0）和（-2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
∴x=1时，y＜0，
即a+b+c＜0，∵b=2a，
∴3a+c＜0，故B错误；
C．∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，即4ac-b2＜0，故C正确；
D．∵抛物线开口向下，顶点为（-1，n），
∴函数有最大值n，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，故D正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问
题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
8．已知二次函数 （ ， ）的图象经过点 ， ，与x轴交于点
，点 （点A在点B的左侧）．若 ，则有下列结论：① ， ，②
，③ ．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】
①将点 ， ， 代入抛物线表达式得： ，由 得：
，求出 、 的表达式，即可求解；② ，则 ，故
；③由①知， ， ，则右侧交点在 和 之间，即可求解．【详解】
解：①将点 ， ， 代入抛物线表达式得： ，
由 得： ③，
则③ ①得： ，故 ，
① ②得： ，
故①正确，符合题意；
② ，
由③式得： ，
故 ，
故②正确，符合题意；
③由①知， ， ，
则右侧交点在 和 之间，
即 ，
故③正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴
的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
9．若抛物线 与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为 ，P为这条抛物线的顶点，则点
P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】
设抛物线与 轴的两个交点坐标分别为 ，且 ，根据“两个交点间的距离为4，对称轴
为 ”建立方程可求出 的值，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点 的坐标，
然后根据关于 轴的对称点的坐标变换规律即可得．
【详解】
解：设抛物线与 轴的两个交点坐标分别为 ，且 ，
由题意得： ，解得 ，
则抛物线与 轴的两个交点坐标分别为 ，
将点 代入 得： ，解得 ，
则抛物线的解析式为 ，
顶点 的坐标为 ，
则点 关于 轴的对称点的坐标是 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、关于 轴的对称点的坐标变换规律，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
10．已知直线 过一、二、三象限，则直线 与抛物线 的交点个数为（
）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】C
【分析】先由直线 过一、二、三象限，求出 ，通过判断方程 实数解的个数可判
断直线 与抛物线 交点的个数．
【详解】
解：∵直线 过一、二、三象限，
∴ ．
由题意得： ，
即 ，
∵△ ，
∴此方程有两个不相等的实数解．
∴直线 与抛物线 的交点个数为2个．
故选：C．
【点睛】
此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及利用一元二次
方程根的判别式求解是解题的关键．
11．二次函数 的图象的一部分如图所示．已知图象经过点 ，其对称轴为直线
．下列结论：① ；② ；③ ；④若抛物线经过点 ，则关于
的一元二次方程 的两根分别为 ，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解．
【详解】
解：①由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵对称轴为直线x= =1，且图象与x轴交于点（﹣1，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a，
∴根据图象，当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②错误；
③根据图象，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正确；
④∵抛物线经过点 ，
∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点 ，
∴抛物线 与直线y=n的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n），
∴一元二次方程 的两根分别为 ，5，
故④正确，
综上，上述结论中正确结论有①③④，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．
12．在平面直角坐标系中，已知 和 是抛物线上 的两点，将抛物线
的图象向上平移 （ 是正整数）个单位，使平移后的图象与 轴没有交点，则 的最小值
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C【分析】
根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 ，则 ，解得 ，再把 代入
中求出 的值；利用二次函数图象平移的规律得到抛物线向上平移 个单位后的解析式为
，根据判别式的意义得到 ，然后解不等式后可确定 的最小值．
【详解】
解：∵点 和 是抛物线 上的两点，
∴点A和点B为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线 ，即 ，
解得， ，
∴抛物线解析式为 ，
把 代入得 ；
抛物线向上平移 （ 是正整数）个单位后的解析式为 ，
∵抛物线 与 轴没有交点，
∴ ，
解得 ，
∵ 是正整数，
∴ 的最小值是4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 （ ， ， 是常数， ）与 轴的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程； 决定抛物线与 轴的交点个数，也考查了二
次函数的性质．
13．若 、 （ ）是关于 的一元二次方程 的两个根， 、 （ ）是关于
的方程 的两根，则 、 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
依题意画出函数y＝（x−a）（x−b）图象草图，根据二次函数的增减性求解．
【详解】
解：依题意，画出函数y＝（x−a）（x−b）的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b），即： 、 （ ）是
关于 的一元二次方程 的两个根，
方程1−（x−a）（x−b）＝0
转化为（x−a）（x−b）＝1，
方程的两根是抛物线y＝（x−a）（x−b）与直线y＝1的两个交点．
由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，
则有b＜n．
综上所述，可知m＜a＜b＜n．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函
数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．
14．根据表格中的信息，估计一元二次方程 （ 、 、 为常数， ）的一个解 的
范围为（ ）
x 0 1 2 3 4
ax2+bx+c -14.5 -11.5 -6.5 0.5 9.5
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
观察表格可知，随x的值逐渐增大，ax2+bx+c-5的值在3～4之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=5时，对应
的x的值在3～4之间．
【详解】
解：由表格可知：当x=3时，ax2+bx+c=0.5，则ax2+bx+c-5=-4.5，
当x=4时，ax2+bx+c=9.5，则ax2+bx+c-5=4.5，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5（a≠0）的一个解x的范围是3＜x＜4，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系．关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对
应的自变量取值范围．
15．已知二次函数 的图象如图所示，有下列5个结论：① ；② ；
③ ；④ （ ）；⑤若方程 ＝1有四个根，则这四个根的和为
2，其中正确的结论有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】
根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y轴的交点得到a，b，c的取值，于是可对①进行判断；
根据抛物线与x轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得 ，则 ，根据 可
得 ，代入变形可对③进行判断；当 时， 的值最大，即当 时，
即 > ，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个
根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．
【详解】
解：①∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∴abc＜0，①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点
∴ >0
∴ ，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴ ，
∴由图象得，当 时， ，
∴
∴ ，故③正确；
④当 时， 的值最大，
∴当 时， > ，
∴ （ ），
∵b＞0，
∴ （ ），故④正确；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和为2×（- ）=2× =4，所以⑤错误．
∴正确的结论是③④，
故选：A
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开
口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a
共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），
对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个
数由 决定： =b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； =b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
=b2△-4ac＜0时△，抛物线与x轴没有交点． △
△
16．已知函数 ，当 时，函数值随 增大而增大，且对任意的 和
， 、 相应的函数值 、 总满足 ，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
对任意的1≤x≤a+1和1≤x≤a+1，x，x 相应的函数值y，y 总满足|y-y|≤9，只需最大值与最小值的差小于
1 2 1 2 1 2 1 2
等于9即可，进而求解．
【详解】
解：函数的对称轴为x=a，
而x≤2时，函数值随x增大而增大，故a≥2；
∵1≤x≤a+1和1≤x≤a+1，
1 2
∴x=a时，开口向下，函数的最大值=a2，
故函数的最大值在x=1和x=a+1中产生，
则x=1，x=a+1那个距x=a远，函数就在那一边取得最小值，
∵a≥2，
∴a-1≥1，而a+1-a=1，
∴1距离a 更远，
∴x=1时，函数取得最小值为：-1+2a，
∵对任意的1≤x≤a+1和1≤x≤a+1，x，x 相应的函数值y，y 总满足|y-y|≤9，
1 2 1 2 1 2 1 2
只需最大值与最小值的差小于等于9即可，
∴，a2-（-1+2a）≤9，
(a-1)2=9，
解得-3≤a-1≤3，而a≥2，
∴2≤a≤4，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，|y-y|≤3转换为最大值与最小值的差小于等于3，是解题的关键．
1 2
17．若抛物线 的对称轴为直线 ，且该抛物线与x轴交于A、B两点，若 的长是
6，则该抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】
用待定系数法求出抛物线表达式，进而求解．
【详解】
解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ ，解得 ，
故抛物线的表达式为 ，
令 ，解得 ，
则 ，
解得 ，
故抛物线的表达式为 ，
当 时， ，
故顶点的坐标为（2，-18），
故选：D．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴
的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
18．对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y
＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（ ）
A．c＜ B．0＜c＜ C．﹣1＜c＜ D．﹣1＜c＜0
【答案】B
【分析】
由函数的二倍数概念得出x、x 是方程x2+x+c=2x的两个实数根，由△＞0且x=1时y＞0，即可求解．
1 2
【详解】解：由题意知二次函数y=x2+x+c有两个不相等且小于1的二倍数，
∴x、x 是方程x2+x+c=2x的两个不相等实数根，且x、x 都小于1，
1 2 1 2
整理，得：x2-x+c=0，
由x2-x+c=0有两个不相等的实数根知：△＞0，即1-4c＞0①，
令y=x2-x+c，画出该二次函数的草图如下：
而x、x（设x 在x 的右侧）都小于1，即当x=1时，y=x2-x+c=c＞0②，
1 2 2 1
联立①②并解得：
0＜c＜ ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的
不等式．
19．二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ；② ；③抛物线
与 轴的另一个交点为 ；④ ．其中，正确的结论是（ ）A．①② B．①③ C．②④ D．①④
【答案】D
【分析】
根据对称轴方程可得①正确，由图象可知x=-1时y<0，可得②错误；根据二次函数的对称性可得③错误；
根据抛物线开口分析、对称轴位置及与y轴交点即可得④正确；综上可得答案．
【详解】
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x= =1，
∴ ，故①正确，
由图象可知，x=-1时，y<0，
∴a-b+c<0，
∴a+c0，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c<0，
∵x= =1>0，
∴b<0，
∴abc>0，故④正确，
综上所述：正确的结论有①④，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图像与系数的关系，对于二次函数 ，抛物线对称轴方程为直线x=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；当抛物线与y轴交于y轴正半轴时，
c>0，当抛物线与y轴交于负半轴时c<0，当对称轴在y轴左侧时，a、b同号，当对称轴在y轴右侧时，
a、b异号；熟练掌握二次函数当性质是解题关键．
20．已知二次函数 ， ，令 ，（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】B
【分析】
建立 结合 选项的条件，分别计算 利用函数与 轴的交点
情况，再分别判断 选项即可得到答案．
【详解】
解：当 ， ，则 ＞
而
无法判断 与 的大小，故无法判断 的大小，
故 错误，不符合题意；
当 ， 时，则 ＞
而
＜而函数图像的开口向上，
＞
，故 正确，符合题意；
当 ， ，则 ＞
而
无法判断 与 的大小，故无法判断 的大小，故 错误，不符合题意；
当 ， ，则 ＞
而
无法判断 与 的大小，故无法判断 的大小，故 错误，不符合题意；
故选：
【点睛】
本题考查的是二次函数与 轴的交点情况，二次函数的性质，掌握利用二次函数的性质判断函数值的大小
是解题的关键．
21．二次函数 （a，b，c为常数，且 ）中的x与y的部分对应值如下表：
x 0 1 3
y 3 5 3
下列结论：① ；②当 时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程 的一
个根；④当 时， ．其中正确的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】
①函数的对称轴为：x= (0+3)= ，对称轴左侧y随x的增大而增大，故a＜0，x=0，y=3=c＞0，即可求
解；
②函数的对称轴为x= ，故②错误，不符合题意；
③ax2+(b-1)x+c=0，则ax2+bx+c=x，当x=3时，ax2+bx+c=3，即可求解；
④由③知，3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为1，即可求解．
【详解】
解：①函数的对称轴为：x= (0+3)= ，
对称轴左侧y随x的增大而增大，故a＜0，x=0，y=3=c＞0，
故①正确，符合题意；
②函数的对称轴为x= ，对称轴左侧，即 时，y随x的增大而增大，故②错误，不符合题意；
③ax2+(b-1)x+c=0，则ax2+bx+c=x，
当x=3时，ax2+bx+c=3，故③正确，符合题意；
④由③知，3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为-1，
故当-1＜x＜3时，ax2+(b-1)x+c>0，故④正确，符合题意；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解方程或不等
式．
22．对于一个函数自变量 取 时，函数值为0，则称 为这个函数的零点．若关于 的二次函数
有两个不相等的零点 ， ，关于 的方程 有两个不相等的非零实数根 和 ，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意画出关于x的二次函数 的图象以及直线y＝−2，根据图象即可判断．
【详解】
解：关于 的方程 有两个不相等的非零实数根 和 ，
就是关于x的二次函数 与直线y＝−2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：
∵抛物线的对称轴为直线x=3，
∴3＜x＜x，
4 2
由图象可知： 一定成立，
故选：D．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，利用图象判断是解题的关键．
23．如图，经过原点的二次函数 的图象，对称轴是直线x=−2．关于下列结论：①；② ；③方程 的两个根为 =0， =−4；④ 若A（x，1），B
1
（x，2）是抛物线上两点，则x＞x ．其中正确的个数是（ ）
2 1 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据函数与x轴交点的个数，函数对称性、二次函数与一元二次方程以及增减性可依次判断．
【详解】
解：∵图象与x轴有两个交点，
∴ ，①正确；
由函数的对称性可知，二次函数与x轴的另一个交点为x=-4，
结合图象增减性可知，当x=-3时，y= ，②错误；
由图象可知，c=0，
∴结合函数与x轴的交点，方程 的两个根为 =0， =−4，③正确；
无法确定A（x，1）和B（x，2）在对称轴两侧还是同侧，无法判断x 和x 的大小，
1 2 1 2
故④错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值
的熟练运用是解题关键．
24．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 为抛物线上一动点，
过点 作 交 轴于 ，若点 从点 出发，沿着直线 上方抛物线运动到点 ，则点 经过的路径长为（ ）
A． B．
C．3 D．
【答案】D
【分析】
分别求出A，B的坐标，运用待定系数法求出直线AB，PQ的解析式，再求出它们与y轴的交点坐标即可解
决问题．
【详解】
解：对于 ，
令x=0，则y=3，
∴
令y=0，则
解得，
∵点A在点C的左侧，
∴A（-3，0）
设AB所在直线解析式为 ，
把A，B点坐标代入得 ，解得所以，直线AB的解析式为：y=x+3，
∵PQ//AB
∴设PQ的解析式为：y=x+a
∵点 经过的路径长是直线PQ经过抛物线的切点与y轴的交点和点B的距离的2倍，
∴方程 有两个相等的实数根，
∴
解得，
∴点Q的坐标为（0， ）
当点P与点A重合时，点Q与点B重合，此时点Q的坐标为（0，3）
点 经过的路径长为
故选：D．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴
的交点的求法．
25．利用函数知识对关于代数式 的以下说法作出判断，则正确的有（ ）
①如果存在两个实数 ，使得 ，则②存在三个实数 ，使得
③如果 ，则一定存在两个实数 ，使
④如果 ，则一定存在两个实数 ，使
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
根据二次函数的性质、根的判别式一一判断即可；
【详解】
解：①错误， 或 时， 与 不一定等于0；
②错误，一元二次方程最多存在两个不同的实数根；
③正确，∵ ，则 ＞0，抛物线与x轴有两个不同的交点，故一定存在两个实数 ，使
△
；
④错误，∵ ，∴△不一定＞0，抛物线可能与x轴没有交点，结论不一定成立．
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数图象与 轴的交点、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知
识解决问题，属于中考常考题型．
26．如图是抛物线 ，其顶点坐标为 ，且与x轴的一个交点在点 和 之
间，下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤关于x的方程 的另一个解在 和 之间，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
根据抛物线开口方向和对称轴可以对①②进行判断；利用抛物线的对称性可得当 时， ，于是
可对③进行判断；根据顶点即可对④进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的一个交点在
和 之间，则关于x的方程 的另一个解在 和 之间，于是可对⑤进行判
断．
【详解】
∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵对称轴直线 ，
∴ ，
∴ ，
故①②正确；
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴点 与 关于直线 对称，
∵ 时， ，∴ 时， ，即 ，
故③正确；
∵抛物线 ，其顶点坐标为 ，
∴ ，
故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线 ，抛物线与x轴的一个交点在 和 之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在 和 之间，
∴关于x的方程 的另一个解在 和 之间，
故⑤错误；
∴正确结论的有①②③④共4个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数间的关系，涉及了抛物线的开口方向，对称轴、与x轴的交点等问题，
准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．
27．如图，函数图象C 与C 都经过x轴上的点B并关于垂直于x轴的直线l对称，已知C 是抛物线y＝﹣
1 2 1
2x2＋8x﹣6在x轴上方的部分，若直线y＝x＋m与C 、C 共有3个不同的交点，则m的取值范围是
1 2
（ ）
A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣
【答案】D【分析】
首先求出点 和点 的坐标，然后求出 解析式，分别求出直线 与抛物线 相切时 的值以
及直线 过点 时 的值，结合图形即可得到答案．
【详解】
解：令 ，即 ，
解得 或3，
点 ， ，
函数图象 与 关于直线 对称，
解析式为 ，
当 与 相切时，
令 ，即 ，
△ ，
解得 ，
当 过点 时，即 ，
，
当 时直线 与 、 共有3个不同的交点，
故选：D．【点睛】
本题主要考查抛物线与 轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，
利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
28．已知抛物线 与x轴有两个交点 ，现有如下结论：①此抛物线
过定点 ；②若抛物线开口向下，则m的取值范围是 ；③若 时，有 ，
，则m的取值范围是 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】
把函数变形 ，由m为任意数，可得 ，解方程组的 可判
定①，由抛物线与x轴有两个交点，可求 且 ，由抛物线开口向下， ，结合抛物线
与x轴有两个交点， 且 ，可判定②，若 时，抛物线开口向上，当x=-2,，y ，当x=-1，y ，可得 ，解得 ，当x=1,，y ，当x=2，y ，可得
，解得 ，求公共部分即可．
【详解】
解:把函数变形 ，由m为任意数
∴ ，
解得 ，
抛物线过定点 ，
①此抛物线过定点 正确；
∵抛物线 与x轴有两个交点 ，
，
，
解得 且 ，
∵抛物线开口向下，
∴ ，
解得 ，
又∵ 且 ，
∴ ；
②若抛物线开口向下，则m的取值范围是 正确，
若 时， ，抛物线开口向上，抛物线 与x轴有两个交点 ，
，
∴当x=-2,，y ，当x=-1，y ，
即 ，
解得 ，
，
∴当x=1,，y ，当x=2，y ，
即 ，
解得 ，
∴有 ， ，则m的取值范围是 ．
③若 时，有 ， ，则m的取值范围是 正确，
所以正确结论的个数有3个．
故选择D．
【点睛】
本题考查抛物线过定点，抛物线开口方向，抛物线与x轴的交点个数，抛物线与x轴两交点位置，求范围，掌握抛物线过定点把函数变形构造方程组，抛物线开口方向，抛物线与x轴的交点个数归结判别式的符号，
抛物线与x轴两交点位置，利用函数值的符号列不等式组是解题关键．
29．如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（
）
x 1 2 3 4
y ﹣3 ﹣1 3 9
A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5
【答案】B
【分析】
根据二次函数的图象特征解答．
【详解】
解：观察表格得：方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根在2和3之间，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数与x轴的交点坐标特征是解题关键．
30．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象过点（﹣2，0）和（4，0），现有下四个结论：
①8a+c＝0；
②5a+2b+c＞0；
③若抛地物线与y轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），则﹣ ＜a＜﹣ ；
④已知m＞0，关于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣4）﹣m＝0的解为x，x（x＜x），则x＜﹣2＜4＜
1 2 1 2 1
x，
2
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
先求抛物线对称轴直线x＝1，可得b＝﹣2a，由x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，消去b即可判断①；由8a+c
＝0，b＝﹣2a，代入5a+2b+c＝﹣7a即可判断②；由抛物线在y轴的截距2＜c＜3，利用c＝﹣8a，构造a
的不等式2＜﹣8a＜3，解不等式可判断③；根据抛物线开口向下，图象过点（﹣2，0）和（4，0），抛物线与直线y＝m（m＞0）的两个交点横坐标﹣2＜x＜x＜4，即可判断④．
1 2
【详解】
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象过点（﹣2，0）和（4，0），
∴图象开口向下，对称轴为直线x＝ ＝1，
∴﹣ ＝1，即b＝﹣2a，
∵x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴8a+c＝0，故①正确；
∵8a+c＝0，b＝﹣2a，
∴5a+2b+c＝5a﹣4a﹣8a＝﹣7a＞0，故②正确；
∵抛地物线与y轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），
∴2＜c＜3，
∵c＝﹣8a，
∴2＜﹣8a＜3，
∴﹣ ＜a＜﹣ ，故③正确；
∵抛物线开口向下，图象过点（﹣2，0）和（4，0），
∴抛物线与直线y＝m（m＞0）的两个交点横坐标﹣2＜x＜x＜4，
1 2
∴关于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣4）﹣m＝0的解为x，x（x＜x），则﹣2＜x＜x＜4，故④错误；
1 2 1 2 1 2
故选：C．
【点睛】
本题考查抛物线图像与系数的关系，抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系，掌握抛物线图像与系数的关系，抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题关键．
二、填空题
31．如图是抛物线 的部分图象，其顶点为 ，且与 轴的一个交点在点 和
之间下列结论：① ；② ；③ ；④关于 的方程
有两个不相等的实数根．其中正确结论的序号是______．
【答案】①③④
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物
线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，
∴当x＝−1时，y＞0，即a−b＋c＞0，故①结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，即 ，
∴2a＋b＝0，
∵a≠0，
∴3a＋b≠0，故②结论错误；∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴抛物线 与直线y＝n有唯一一个交点，
即方程 =n有两个相等的实数根，
∴△＝b2−4a（c−n）＝0，
∴b2＝4a（c−n），故③结论正确；
∵抛物线的开口向下，
∴y最大＝n，
∴直线y＝n−1与抛物线有两个交点，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝n−1有两个不相等的实数根，故④结论正确；
综上所述，正确的结论有3个．
故答案是①③④．
【点睛】
主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数系数的几何意义，以及二次函数与方程
之间的转换，根的判别式的熟练运用，是解题的关键．
32．已知抛物线 的顶点坐标为 ，试求：
（1） ______；
（2）若关于 的一元二次方程 在 或 的范围内有实数根，则 的取
值范围是______．
【答案】1 或
【分析】
（1）根据抛物线的顶点坐标可求出b，c的值，从而可得结论；
（2）把一元二次方程变形为 ，画出函数图象，根据图象可得结论．
【详解】
解：（1）∴抛物线的顶点坐标为（ ， ）
又∵顶点坐标为（1，2）
∴
解得，
∴
故答案为：1；
（2）∵
∴
∴
如图①，
在 时， 有实数根， 的取值为
如图②在 时， 有实数根， 的取值为
故答案为： 或
【点睛】
本题考查抛物线与直线的交点问题，解题的关键画出函数图象，分情况讨论，从而求出 的范围，
33．如图所示，已知二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为
直线 ．直线 与抛物线 交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结
论是________（只填写序号）．
【答案】①②③
【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b=-2a，则2a+b+c=c＞0，于是可对①进行判
断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点横坐标大于-1小于0，则当x=-1时，y＜0，于是
可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③
进行判断；由于直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用
函数图象得x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c<-3+c，然后把b=-2a代入解a的不等式，则
可对④进行判断．
【详解】
解：①∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c>0，
∵对称轴x=- =1，
∴b=-2a，
∴2a+b+c=2a-2a+c=c>0，
∴①正确；
②∵抛物线与x轴的另一个交点在x轴的负半轴上，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标大于2小于3，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标的横坐标大于-1小于0，
∴当x=-1时y＜0，
∴a-b+c＜0,
∴②正确；
③∵当x=1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，
∴③正确；
④∵直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D，D在x轴下方且0＜x<3，
∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c<-3+c，
∴9a-6a<-3，∴a<-1，
∴④不正确；
∴①②③正确,
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值
范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．
34．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a）．下列结论：①abc＜
0；②5a﹣b+c＝0；③若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x 和x，且x＜x， 则﹣5＜x＜x＜1；④
1 2 1 2 1 2
若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确的结论有_______．
【答案】①③④
【分析】
利用顶点式得到y=ax2+4ax-5a，根据抛物线的开口向上得到a＞0，则b＞0，c＜0，于是可对①进行判断；
把b=4a，c=-5a代入5a-b+c中可对②进行判断；根据抛物线y=a（x+5）（x-1）与直线y=-1有两个交点，
交点的横坐标分别为x 和x，则可对③进行判断；由于方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2
1 2
个根，则利用根与系数的关系可对④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为（-2，-9a），
∴y=a(x+2)2-9a=ax2+4ax-5a，
∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∴b=4a＞0，c=-5a＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵5a-b+c=5a-4a-5a=-4a，
而a＞0，∴5a-b+c＜0，所以②错误；
∵方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x 和x，
1 2
∴抛物线y= a(x+5)(x-1)与直线y=-1有两个交点，交点的横坐标分别为x 和x，
1 2
∴-5＜x＜x＜1，所以③正确；
1 2
∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和为2×(- )=2×(- )=-8，所以④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开
口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a
共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），
对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个
数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
35．如图是抛物线 的部分图象，图象过点 ，对称轴为直线 ，有下列四个结论：
① ；② ；③y的最大值为3；④方程 有实数根．其中正确的为
________（将所有正确结论的序号都填入）．
【答案】②④
【分析】
根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴﹣ =1，即b=﹣2a＞0
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，故②正确；
根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误；
由 得 ，
根据图象，抛物线与直线y=﹣1有交点，
∴ 有实数根，故④正确，
综上，正确的为②④，
故答案为：②④．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答
的关键．
三、解答题
36．已知关于 的一元二次方程 ，其中 为常数．
（1）求证：无论 为何值，方程总有两个不相等实数根．
（2）己知函数 的图象不经过第三象限，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用判别式求解即可得到答案；（2）根据a的值及判别式设抛物线与 轴的交点的横坐标分别为 ， ，由此得到 ，
，解不等式求出答案．
【详解】
（1）证明：∵
，
∴无论 为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）解：∵二次函数 的图象不经过第三象限，二次项系数 ，
∴抛物线开口方向向上，
∵ ，
∴抛物线与 轴有两个交点，
设抛物线与 轴的交点的横坐标分别为 ， ，
∴ ， ，
解得 ，
即 的取值范围是 ．
【点睛】
此题考查一元二次方程根的判别式，二次函数的开口方向，与 轴交点个数及根与系数的关系，正确理解
二次函数的图象性质是解题的关键．
37．已知二次函数 ．
（1）若图像经过点 ．
① 的值为______；
②无论 为何值，图像一定经过另一个定点______．
（2）若图像与 轴只有1个公共点，求 与 的数量关系．
（3）若该函数图像经过 ，写出函数图像与坐标轴的公共点个数及对应的 的取值范围．【答案】（1）①2；② ；（2） ；（3）图像与坐标轴有1个公共点时， ；图像
与坐标轴有2个公共点时， 或 ；图像与坐标轴有3个公共点时， 或 且 ．
【分析】
（1）①把点 代入 即可求得；②把 代入 求得 ，即可
证明图像一定过另一个定点 ；
（2）根据题意 ，即可得到 ；
（3）由题意得 ，计算出 ，分三种情况得到关于m的不等式组，和方程组，即可．
【详解】
（1）①∵二次函数 过点 ，
∴n=2，
故填：2；
②当 时，
=2，
∴无论m为何值，图像一定经过另一个定点 ，
故答案为： ；
（2）∵图像与x轴有1个公共点，
∴当y=0时，
方程 有两个相等的实数根，
∴ 且 ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵函数图像经过 ，
∴ 即 ,
∴ ，
∴ ，
①当图像与坐标轴有1个公共点时，即与x轴没有交点,
，
则 或 ，
解得 ，
②当图像与坐标轴有2个公共点时，即与x轴只有1个交点或者函数过原点,
当函数与x轴只有1个交点时,
，
解得 ，
当函数过原点时, ,
解的 ,
故当 或 时,函数与坐标轴有2个交点;③当图像与坐标轴有3个公共点时，即与x轴有2个不同的交点,且函数不过原点,
则 或 ，
解得 或 且 ，
综上所述：
图像与坐标轴有1个公共点时， ，
图像与坐标轴有2个公共点时， 或 ，
图像与坐标轴有3个公共点时， 或 且 ．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟练掌握
二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，分类讨论是解题的关
键．
38．已知二次函数 ．
（1）当 时，求出该二次函数的图象与 轴的交点坐标；
（2）若 时，该二次函数的图象与 轴有且只有一个交点，求 的取值范围．
【答案】（1） ， ；（2） 的值为 或
【分析】
（1）将 代入原二次函数，得到二次函数的解析式，然后令 ，即可得到关于 的一元二次方程，
解方程即可求出二次函数图象与 轴的交点坐标；
（2）求出二次函数的对称轴，然后由抛物线的性质进行解答．
【详解】解：（1）由题意，得 ，
当 时， ．
解得 ， ．
该二次函数的图象与 轴的交点坐标为 ， ．
（2）抛物线 的对称轴为 ．
若抛物线与 轴只有一个交点，则交点为 ．
有 ，解得 ；
若抛物线与 轴有两个交点，
当 ， 时， ，解得 ；
当 ， 时， ，解得 ；
综上所述， 的值为 或 ．
【点睛】
本题考查了抛物线与 轴的交点，熟悉抛物线的性质及不等式的解法是解题的关键．
39．某公司决定投资燃油汽车与新能源汽车，该公司信息部的市场调研结果如下：
方案 ：若单独投资燃油汽车时，则所获利润 （千万元）与投资金额 （千万元）之间存在正比例函数
关系例 ，并且当投资2千万元时，可获利润0.8千万元；
方案 ：若单独投资新能源汽车时，则所获利润 （千万元）与投资金额 （千万元）之间存在二次函数
关系： ，并且当投资1千万元时，可获利润1.4千万元；当投资3千万元时，可获利润3千
万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
（2）如果该公司对燃油汽车与新能源汽车这两种产品投资金额相同，且获得总利润为5千万元，求此时该公司对这两种汽车的投资金额各是多少千万元？
（3）如果公司对燃油汽车投资 千万元，对新能源汽车的投资金额是燃油汽车的两倍，投资所获总利润的
利润率不低于60%，且获得总利润为不低于4千万元，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ， ；（2）该公司对这两种汽车的投资金额均为5千万元；
（3）
【分析】
（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据获得总利润为5千万元可列方程，解方程即可；
（3）设该公司对燃油汽车投资 千万元，对新能源汽车投资 千万元，先表示出此时 关于 的函数关
系式，再根据投资所获总利润的利润率不低于60%，且获得总利润为不低于4千万元，分别列出不等式，
求解即可．
【详解】
解：（1）由题意可得，当 时， ，代入 得，
，
解得 ，
∴正比例函数的表达式为 ．
当 时， ；当 时， ，代入 ，
得： ，
∴ ，
∴二次函数表达式为 ；
（2）根据题意得： ，∴ ，
∴ ，
解得： ．
∴该公司对这两种汽车的投资金额均为5千万元；
（3）设该公司对燃油汽车投资 千万元，对新能源汽车投资 千万元，
则 ，
根据题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵获得总利润为不低于4千万元，
∴ ，
∴ ．
综上所述， 的取值范围是 ．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求函数的解析式、二次函数和一元一次方程在实际问题中的应用，理清题中的数
量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数与不等式的关系是解题的关键．
40．已知二次函数 的图象 与 轴有且只有一个公共点．
①求 的顶点坐标；
②将 向下平移若干个单位后，得抛物线 ，如果 与 轴的一个交点为 ，求 的函数关系
式，并求 与 轴的另一个交点坐标；（2）若 ， 是 上的两点，且 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）（−1，0）；（2）y＝（x＋1）2−4，（1，0）；（3）n＞2或n＜−4
【分析】
（1）由于二次函数 的图象C 与x轴有且只有一个公共点，那么顶点的纵坐标为0，由此
1
可以确定m，进而即可求解；
（2）首先设所求抛物线解析式为y＝（x＋1）2＋k，然后把A（−3，0）代入即可求出k，也就求出了抛物
线的解析式；
（3）由于图象C 的对称轴为直线x＝−1，所以知道当x≥−1时，y随x的增大而增大，然后讨论n≥−1和
1
n≤−1两种情况，利用前面的结论即可得到实数n的取值范围．
【详解】
（1）y＝x2＋2x＋m＝（x＋1）2＋m−1，对称轴为直线x＝−1，
∵抛物线与x轴有且只有一个公共点，
∴顶点的纵坐标为0，
∴C 的顶点坐标为（−1，0）；
1
（2）设C 的函数关系式为y＝（x＋1）2＋k，
2
把A（−3，0）代入上式得（−3＋1）2＋k＝0，得k＝−4，
∴C 的函数关系式为y＝（x＋1）2−4．
2
∵抛物线的对称轴为直线x＝−1，与x轴的一个交点为A（−3，0），
由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）；
（3）对于y＝x2＋2x＋m＝（x＋1）2＋m−1，当x≥−1时，y随x的增大而增大，
当 ≥−1时，
∵y＞y，
1 2
∴n＞2．
当 ＜−1时，P（n，y）的对称点坐标为（−2−n，y），且−2−n＞−1，
1 1
∵y＞y，
1 2
∴−2−n＞2，
∴n＜−4．
综上所述：n＞2或n＜−4．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图形和性质，掌握抛物线与x轴交点个数与其判别式的关系，抛物线平移的性质，抛物线的增减性，是解题的关键．
41．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；
（2）二次函数 的部分图象如图所示，求一元二次方程 的解．
【答案】（1） ；（2） ，
【分析】
（1）根据△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根求解m的取值范围即可；
（2）根据二次函数图象与x轴的交点的横坐标就是当y=0时对应一元二次函数的解，故将x=1代入方程中
求出m值，再代入一元二次方程中解方程即可求解．
【详解】
解：（1）由题知 ，
∴ ．
（2）由图知 的一个根为1，
∴ ，∴ ，
即一元二次方程为 ，
解得 ， ，∴一元二次方程 的解为 ， ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程，会解一元二
次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键．
42．已知抛物线 （其中 为常数）
（1）求证：不论 为何值，该抛物线与 轴一定有两个公共点；
（2）若 ， 两点在抛物线上，试比较 与0的大小；
（3）若该抛物线在 的部分与直线 有两个公共点，试求出 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）当 时， ；当 时， ；当 时，
；（3） ．
【分析】
（1）计算y=0时一元二次方程的判别式，根据一元二次方程根与判别式的关系即可得结论；
（2）分别计算y 与y，再计算 ，最后根据一次函数的性质即可得答案；
1 2
（3）由题意可得方程 = 有两个不相等的实数根，且在
之间，结合判别式及二次函数的性质列不等式组即可得答案．
【详解】
（1）当y=0时， =0，
∴判别式△= =4>0，
∴不论 为何值，该抛物线与 轴一定有两个公共点．
（2）∵ ， 两点在抛物线上，
∴ ， ，∴ ，
当 =0时， ，
∵-2<0，
∴ 的值随m的增大而减小，
∴当 时， <0，当 时， >0，
综上所述：当 时， ；当 时， ；当 时， ．
（3）∵该抛物线在 的部分与直线 有两个公共点，
∴方程 = 有两个不相等的实数根，且在 之间，
整理得： ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】
本题考查二次函数与一元二次方程的综合及一次函数的性质，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系及
一元二次方程根与判别式的关系是解题关键．
43．在平面直角坐标系中，抛物线 经过 ，点D为抛物线 的顶点．（1）求抛物线 的表达式；
（2）抛物线 与抛物线 关于x轴对称，在抛物线 是否存在一点P，使得 与 的面积比
，若存在，求出点P的坐标，若不村在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）P点坐标为 或 或 或
．
【分析】
（1）由待定系数法可以得到抛物线 的表达式；
（2）根据已知条件可以得到 或 ，再根据抛物线 与抛物线 关于x轴对称可以得到抛物
线 的表达式为： ，如此得到关于 的方程，并在解方程后得到P的坐标．
【详解】
解：（1）设抛物线 的表达式为： ,则由题意可得：
，
解之可得a=-2，b=8，c=-6，
∴抛物线 的表达式为： ；
（2）由（1）可得： ，
∴D（2，2），
∴ ,∴ ，
∴ ，即 或 ，
∵抛物线 与抛物线 关于x轴对称，
∴抛物线 的表达式为： ，
∴当 时，有 ，
解之可得： 或 ；
当 时，有 ，
解之可得： 或 ；
∴P点坐标为 或 或 或 ．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数表达式的方法及
一元二次方程的求解是解题关键．
44．已知二次函数 ．
（1）直接写出该函数图象的对称轴和与 轴的交点坐标．
（2）若该函数图象开口向上，且图象上的一点 在 轴的下方，求证： ．
（3）已知点 ， ， ， 在该函数图象上，若 ， ， ， 四个函数值中
有且只有一个小于零，试求 的取值范围．
【答案】（1） ，（0，1）；（2）见解析；（3）【分析】
（1）根据对称轴公式和y轴上点的坐标特征即可求得；
（2）根据题意a＞0，且△＞0，即(4a)2-4a•1＞0，解得即可；
（3）根据二次函数的性质即可得出y=a+4a+1≥0，y=4a+8a+1＜0，解得即可．
3 4
【详解】
解：（1）∵二次函数y=ax2+4ax+1（a≠0）．
∴函数图象的对称轴为直线x=- =-2，
当 时， ，
∴y轴的交点坐标为（0，1）；
（2）∵该函数图象开口向上，且图象上的一点（x，y）在x轴的下方，
0 0
∴a＞0，且△＞0，即(4a)2-4a•1＞0，
∴a＞ ；
（3）∵函数图象的对称轴为直线x=-2，
∴点（-3，y）关于对称轴的对称点为（-1，y），
1 1
∵-2＜-1＜1＜2，y=y，
1 2
∴当开口向上时，则y=y＜y＜y，y，y，y，y 四个函数值中最少有两个小于零，不合题意，
1 2 3 4 1 2 3 4
当开口向下时，则y=y＞y＞y，y，y，y，y 四个函数值中可以满足y=y＞y＞0＞y，
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
∴y＞0，y＜0，即当x=1时，y=a+4a+1≥0，
3 4 3
x=2时，y=4a+8a+1＜0，
4
解得- ≤a＜- ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，得到关于
a的不等式是解题的关键．
45．在平面直角坐标系xOy中，点 ， 为抛物线 上的两
点．（1）当h=1时，求抛物线的对称轴；
（2）若对于 ， ，都有 ，求h的取值范围．
【答案】（1） ；（2） 或
【分析】
（1）将 代入解析式，然后将二次函数一般式化成顶点式求解；
（2）设抛物线上四个点的坐标为 ， ， ， ，利用二次函数性
质分情况讨论求解．
【详解】
解：（1）当 时，抛物线的表达式为 ．
∴ ．
∴抛物线的对称轴为直线 ．
（2）设抛物线上四个点的坐标为 ， ， ， ．
∵ ，
∴ 的最小值必为 或 ．
①由 可知，当 时，存在 ≥ ，不符合题意．
②当 时，总有 ．
∵当 时，y随x的增大而减小，
∴ ．
当 时， ．
∴ ，符合题意．
当 时， ．∴ ，不符合题意．
③当 时，
∵当 时，y随x的增大而增大，
∴ ， ．
当 时， ．
∴ ，符合题意．
当 时， ．
∴ ，不符合题意．
综上所述，h的取值范围是 或 ．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，理解图像性质，利用数形结合思想解题是关键．
46．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，点 在点 左侧，点 的坐标为 ，
，过点 作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ．
（1）若点 的坐标为 ，求 的长．
（2）当 时，求 的值．【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）先把A点坐标代入y=-(x-m)2+9中求得m=1或m=7，则根据点A在点B左侧可确定抛物线的对称轴，
然后利用抛物线的对称性求DE的长；
（2）通过解方程-(x-m)2+9=0得A（m-3，0），B（m+3，0），则AB=6，所以DE=3，利用抛物线的对称性
得到2(m-6)=3，然后解方程即可．
【详解】
解：（1）把A（4，0）代入y=-(x-m)2+9得-(4-m)2+9=0，
解得m=1或m=7，
∵点A在点B左侧，
∴m=7，
即抛物线的对称轴为直线x=7，
∵CD⊥x轴，DE⊥CD，
∴点E与点D关于直线x=7对称，
而D点的横坐标为6，
∴DE=2×(7-6)=2；
（2）当y=0时，-(x-m)2+9=0，
解得x=m-3，x=m+3，
1 2
∴A（m-3，0），B（m+3，0），
∴AB=m+3-(m-3)=6，
∴DE= AB=3，
∵D点的横坐标为6，
∴2(m-6)=3，
∴m= ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问
题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．47．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的顶点是 ，与 轴交于 两点，与
轴交于 ，点 的坐标是 ．
（1）求二次函数图象的顶点坐标并直接写出直线 的函数关系式．
（2）作一条平行于 轴的直线交二次函数的图象于点 ，与直线 于点 ．若点 的横坐
标分别为 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】（1）点 的坐标为 ，直线 的函数关系式为 ；（2）
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）因为r＜m≤n，则直线在点D的下方、点A的上方（不能过点D，可以过点A），进而求解．
【详解】
解：（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：a+2-3=0，解得a=1，
故抛物线的表达式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
故顶点坐标为（1，-4）；
对于y=x2-2x-3，
令x2-2x-3=0，解得x=-1或3，
令x=0，则y=-3，
故点C、D的坐标分别为（3，0）、（0，-3），
设直线CD的表达式为y=kx+b，则
，解得 ，
故直线CD的表达式为y=x-3；（2）∵r＜m≤n，
∴直线在点D的下方、点A的上方（不能过点D，可以过点A），
当y=-4时，即-x-3=-4，解得x=-1，
故-1≤r＜0，
由抛物线的对称性知，点M、N关于抛物线的对称轴对称，
故 (m+n)=1，所以m+n=2，
∴1≤m+n+r＜2．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的
交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
48．已知二次函数 （ 是常数）．
（1）若该函数图像与 轴有两个不同的公共点，求 的取值范围；
（2）求证：不论 为何值，该函数图像的顶点都在函数 的图像上；
（3） ， 是该二次函数图像上的点，当 时，都有 ，则 的取值
范围是___________．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） 或
【分析】
（1）令 ，则 ，判别式大于0即可；
（2）化成顶点式，得顶点坐标为 ，将 代入 ，得 即可；
（3）根据函数的性质解答即可．
【详解】
解：（1）令 ，则 ，
∵ ， ， ，∴ ，
∵该函数图像与 轴有两个不同的公共点，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得 ．
∴当 时，该函数图像与 轴有两个不同的公共点．
（2）由 ，得顶点坐标为 ，
将 代入 ，得 ，
∴不论 为何值，该函数的图像的顶点都在函数 的图像上．
（3） 或
由（2）可知该抛物线顶点为 ，
当 时， ，
∴ 时， 随 的增大而减少，
又∵该函数开口向下，对称轴为直线 ，
∴如图，得出 ，
当 时， ，
要使 恒成立，则 ，
∴ ， 或 ，
结合 ，
∴ 或 ．【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
49．已知抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝4．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
【答案】（1）见解析；（2）①y＝x2﹣8x+15；②抛物线沿y轴向上平移1个单位长度后，得到的抛物线
与x轴只有一个公共点
【分析】
（1）要证明不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点，只要证明b2﹣4ac＞0即可，然后代入数
据计算即可；
（2）①根据该抛物线的对称轴为直线x＝4，可以求得m的值，从而可以得到抛物线的函数解析式；
②将①的函数解析式，化为顶点式，即可得到把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物
线与x轴只有一个公共点．
【详解】
（1）证明：∵抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m其中m是常数，
∴[﹣（2m+2）]2﹣4×1×（m2+2m）＝4m2+8m+4﹣4m2﹣8m＝4＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）①∵抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m的对称轴为直线x＝4，
∴ ＝4，
解得m＝3，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣8x+15；②∵y＝x2﹣8x+15＝（x﹣4）2﹣1，
∴该抛物线沿y轴向上平移1个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
50．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：
（1）关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为 ；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）当x为值时，y＜0；
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的范围．
【答案】（1）﹣1或3；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）x＞3或x＜﹣1；（4）y＞4
【分析】
（1）直接观察图象，抛物线与x轴交于﹣1，3两点，所以方程的解为x＝﹣1，x＝3．
1 2
（2）设出抛物线的顶点坐标形式，代入坐标（3，0），即可求得抛物线的解析式．
（3）若y＜0，则函数的图象在x轴的下方，找到对应的自变量取值范围即可．
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，则k＞函数的最大值即可．
【详解】
解：（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x＝﹣1和x＝3两点，
∴方程的解为x＝﹣1，x＝3，
1 2
故答案为：﹣1或3；
（2）设抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+k，
∵抛物线与x轴交于点（3，0），
∴（3﹣1）2+k＝0，
解得：k＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，
即：抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（3）若y＜0，则函数的图象在x轴的下方，由函数的图象可知：x＞3或x＜﹣1；
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，则k＞4函数的最大值，即y＞4．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函
数解析式，准确计算是解题的关键．
51．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：
①abc＜0；
②4a+2b+c＞0；
③5a﹣b+c＝0；
④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x 和x，且x＜x，则﹣5＜x＜x＜1；
1 2 1 2 1 2
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，
其中正确的结论有__．
【答案】①②④⑤
【分析】
利用顶点式得到y＝ax2+4ax﹣5a，根据抛物线的开口向上得到a＞0，则b＞0，c＜0，于是可对①进行判断；
解方程ax2+4ax﹣5a＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），利用x＝2时，y＞0可对②
进行判断；把b＝4a，c＝﹣5a代入5a﹣b+c中可对③进行判断；根据抛物线y＝a（x+5）（x﹣1）与直线
y＝﹣1有两个交点，交点的横坐标分别为x 和x，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c＝1有2个根，
1 2
方程ax2+bx+c＝﹣1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．【详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣9a），
∴y＝a（x+2）2﹣9a＝ax2+4ax﹣5a，
∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∴b＝4a＞0，c＝﹣5a＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
当y＝0时，ax2+4ax﹣5a＝0，解得x＝﹣5，x＝1，
1 2
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以②正确；
∵5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a，
而a＞0，
∴5a﹣b+c＜0，所以③错误；
∵方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x 和x，
1 2
∴抛物线y＝a（x+5）（x﹣1）与直线y＝﹣1有两个交点，交点的横坐标分别为x 和x，
1 2
∴﹣5＜x＜x＜1，所以④正确；
1 2
∵方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，
∴方程ax2+bx+c＝1有2个根，方程ax2+bx+c＝﹣1有2个根，
∴所有根之和为2×（﹣ ）＝2×（﹣ ）＝﹣8，所以⑤正确．
故答案为①②④⑤．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关
系、抛物线与x轴的交点，准确分析判断是解题的关键．52．定义：对于二次函数 ，其相依函数为一次函数 ，例如：二次函数
的相依函数为：
（1）求二次函数 的相依函数表达式；
（2）如图，二次函数 与其相依函数的图象分别交于点 、 ，过该抛物线的
顶点作直线 平行于 轴，已知点 到直线 的距离为8．
①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图象上；
②点 为抛物线 段上的一个动点，求 面积的最大值．
【答案】（1） ；（2）①见解析；②
【分析】
（1）根据相依函数的定义求解；
（2）①利用顶点式求得二次函数的顶点坐标，然后利用一次函数图像上的点的坐标特点求解；②联立方
程组求得 ， ，然后求得m的值，设P点坐标为 ，过点P作
PM⊥x轴，交AB于点M，然后利用三角形面积公式及二次函数的性质求最值
【详解】
解：（1）∴二次函数 的相依函数表达式为： ；
（2）①在 中，
其顶点坐标为 ，
∴该二次函数的相依函数为： ，
当 时， ，
∴该二次函数的顶点在其相依函数图像上。
②联立方程组得 ，解得 ，
∴ ，
又∵点 到直线 的距离为8
∴-3m+8=-2m，解得：m=8
∴
设P点坐标为
过点P作PM⊥x轴，交AB于点M
∴M点坐标为
∴PM=
∴
∴当x= 时，S有最大值为1，即【点睛】
本题考查二次函数新定义题目的理解，掌握二次函数的性质、利用数形结合思想解题是关键．
53．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与两坐标轴分别相交于A，B，C三点
（1）求证：∠ACB=90°
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与 AOG相似，求点D的坐标．
【答案】（1）（2）①9；② 或 ．
【分析】
（1）分别计算A，B，C三点的坐标，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的长，最后利用勾股定理逆定理
解题；
（2）①先解出直线BC的解析式，设 ，接着解出 ，利用二次函数的配方法求最值；②根据直角三角形斜边的中线性质，解得AG的长，再证明
，再分两种情况讨论以点C，D，E为顶点的三角形与 AOG相似，结合相似三角形对
应边成比例性质解题即可．
【详解】
解：（1）令x=0，得
令 得
，
（2）①设直线BC的解析式为： ，代入 ， 得设
即DE+BF的最大值为9；
② 点G是AC的中点，
在 中，
即 为等腰三角形，若以点C，D，E为顶点的三角形与 AOG相似，
则①
又
，
或
经检验： 不符合题意，舍去，
② ，
又整理得，
，
或 ，
同理： 不合题意，舍去，
综上所述， 或 ．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其
逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
54．已知二次函数 的图象开口向上，且经过点 ， ．
（1）求 的值（用含 的代数式表示）；
（2）若二次函数 在 时， 的最大值为1，求 的值；
（3）将线段 向右平移2个单位得到线段 ．若线段 与抛物线 仅有一
个交点，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】
（1）利用待定系数法将点A、B的坐标代入即可
（2）根据抛物线图像分析得在 范围内， 的最大值只可能在 或 处取得，进行分类讨论①若 时，②若 ，③ ，计算即可
（3）先利用待定系数法写出直线AB的解析式，再写出平移后的解析式，若线段 与抛物线
仅有一个交点，即方程 在 的范围内
仅有一个根，只需当 对应的函数值小于或等于0，且 对应的函数值大于或等于即可．
【详解】
（1）∵抛物线 过点 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）由（1）可得 ，
在 范围内， 的最大值只可能在 或 处取得．
当 时， ，当 时， ．
①若 时，即 时，得 ，
∴ ，得 ．②若 ，即 时，得 ，此时 ，舍去．
③ ，即 时，得 ，
∴ ， ，舍去．
∴综上知， 的值为 ．
（3）设直线 的解析式为 ，
∵直线 过点 ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
将线段 向右平移2个单位得到线段 ，
∴ 的解析式满足 ，即 ．
又∵抛物线的解析式为 ，
∴ ．
又∵线段 与抛物线 在 范围内仅有一个交点，即方程 在 的范围内仅有一个根，
整理得 在 的范围内仅有一个根，
即抛物线 在 的范围内与 轴仅有一个交点．
只需当 对应的函数值小于或等于0，且 对应的函数值大于或等于即可．
即 时， ，得 ，
当 时， ，得 ，
综上 的取值范围为 ．
【点睛】
本题考查一次函数解析式、二次函数解析式、二次函数的最值、图像与x轴的交点与方程的根的情况、熟
练掌握二次函数的图像知识是解题的关键
55．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣ ，0），B（2，0）两
点，与y轴交于点C（0，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D为第一象限内抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求 的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第
四象限内是否存在这样的点P，使△BPQ∽△CAB．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，若不
存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） 的最大值为 ；（3） 或
【分析】
（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）构造出△AGE∽△DEH，可得 ，而DE和AG都可以用含自变量的式子表示，最后用二次
函数最大值的方法求值．
（3）先发现△ABC是两直角边比为2：1的直角三角形，由△BPQ∽△CAB，构造出△BPQ，表示出Q点的
坐标，代入解析式求解即可．
【详解】
解：（1）分别将C（0，1）、A（﹣ ，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+c中得
，
解得： ，∴抛物线的函数表达式为 ．
（2）过A作AG∥y轴交BC的延长线于点G，过点D作DH∥y轴交BC于点H，
∵B（2，0）C（0，1），
∴直线BC：y＝ x+1，
∵A（- ，0），
∴G（- ， ），
设D（ ），则H（ ），
∴DH＝（ ）﹣（ ），
＝﹣m2+2m，
∴AG= ，
∵AG∥DH，
∴ ，∴当m＝1时， 的最大值为 ．
（3）符合条件的点P坐标为（ ）或（ ）．
∵l∥BC，
∴直线l的解析式为：y＝- x，
设P（n，- n），
∵A（- ，0），B（2，0），C（0，1），
∴AC2＝ ，BC2＝5，AB2＝ ．
∵AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°．
∵△BPQ∽△CAB，
∴ ，
分两种情况说明：
①如图3，过点P作PN⊥x轴于N，过点Q作QM⊥x轴于M．
∵∠PNB＝∠BMQ＝90°，
∠NBP+∠MBQ＝90°，∠MQB+∠MBQ＝90°，
∴∠NBP＝∠MQB．
∴△NBP∽△MQB，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴BN＝2﹣n，
∴BM＝2PN＝n，QM＝2BN＝4﹣2n，
∴OM＝OB+BM＝2+n，
∴Q（2+n，2n﹣4），
将Q的坐标代入抛物线的解析式得：
，
2n2+9n﹣8＝0，
解得：
∴P( )．
②如图4，过点P作PN⊥x轴于N，过点Q作QM⊥x轴于M．∵△PNB∽△BMQ，
又∵△BPQ∽△CAB，
∴ ，
∵ ，
∴Q（2﹣n，4﹣2n），
将Q的坐标代入抛物线的解析式得：
，
化简得：2n2﹣9n+8＝0，
解得： ，
∴P( )．
【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式，平行线分线段成比例，利用二次函数求线段比的最大值，勾股定
理逆定理，相似三角形判定与性质，抛物线与一元二次方程，掌握待定系数法求抛物线解析式，平行线
分线段成比例，利用二次函数求线段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定与性质，抛物线与
一元二次方程的关系是解题关键．
