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专题 14.1 全等三角形及其性质
1. 掌握全等形和全等三角形的概念，并能够熟练的判断图形的全等。
教学目标 2. 掌握全等三角形的相关概念及其性质，并能够熟练的运用全等的性质解决线段与角
的相应问题。
1. 重点
（1）全等形及其全等三角形的概念；
（2）全等三角形的性质。
教学重难点 2. 难点
（1）全等三角形的性质求线段；
（2）全等三角形的性质求角；
（3）利用全等三角形的性质证明线段或角的关系。知识点01 全等形的概念
1. 全等形的概念：
形状 和 大小 完全一样的两个图形叫做全等形。即能够 完全重合 的两个图形叫做全
等形。
【即学即练1】
1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；
B、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；
C、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；
D、两个图形属于全等图形，故此选项符合题意；
故选：D．
知识点02 全等三角形及其相关概念
1. 全等三角形的概念：
形状 和 大小 完全一样的两个三角形叫做全等三角形。即能够 完全重合 的两个三角
形叫做全等三角形。
2. 全等三角形的相关概念：
如图，若△ABC与△DEF全等。则其中：
能够重合的点叫做全等三角形的 对应点 。
能够重合的边叫做全等三角形的 对应边 。
能够重合的角叫做全等三角形的 对应角 。
用符号“≌”连接，读作 全等于 。表示 △ ABC ≌△ DEF 。对应点必须写在对应的位置。
【即学即练1】
2．如图，已知△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的
对应边和对应角．【答案】对应边是BC和EF，AB和DE，AC和DF；对应角是∠ABC和∠DEF，∠ACB和∠DFE，
∠BAC和∠EDF．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点，
∴这两个三角形的对应边是：BC和EF，AB和DE，AC和DF；
对应角是：∠ABC和∠DEF，∠ACB和∠DFE，∠BAC和∠EDF．
知识点03 全等三角形的性质
1. 全等三角形的性质：
由全等三角形的性质及其相关概念可知：
①全等三角形的对应边 相等 。对应角也 相等 。
②全等三角形对应边上的中线、高线、角平分线分别 对应相等 。
③全等的两个三角形它们的周长和面积分别 对应相等 。
【即学即练1】
3．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下
列结论不一定成立的是（ ）
A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD
【答案】A
【解答】解：∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∴BE＝CD，B成立，不符合题意；
∠ADB＝∠AEC，
∴∠ADE＝∠AED，C成立，不符合题意；
∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，D成立，不符合题意；
AC不一定等于CD，A不成立，符合题意，
故选：A．
【即学即练2】已知图中的两个三角形全等，则∠ 度数是（ ）
α
A．50° B．58° C．60° D．72°
【答案】A
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴ ＝50°．
故选：A．
α
【即学即练3】
如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC＝5cm，BF＝7cm，则EC长为（
）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴EF＝BC＝5cm，
∵BF＝7cm，BC＝5cm，
∴CF＝7﹣5＝2（cm），
∴EC＝EF﹣CF＝3cm，
故选：C．
【即学即练4】
如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是CD上一点．若△BDE≌△CDA，AB＝14，AC＝10，则△BDE
的周长为（ ）
A．20 B．23 C．24 D．26
【答案】C
【解答】解：∵△BDE≌△CDA，
∴DE＝DA，BE＝CA，∴△BDE的周长BD+DE+BE＝BD+DA+CA＝BA+CA，
∵AB＝14，AC＝10，
∴BA+CA＝14+10＝24，
即△BDE的周长为24，
综上所述，只有选项C正确，符合题意，．
故选：C．
【即学即练5】
如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，
AB＝10，DP＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．40 B．42 C．45 D．48
【答案】D
【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，
∴PE＝DE﹣DP＝10﹣4＝6，
1 1
∴S四边形PDFC ＝S梯形ABEP =
2
（AB+PE）•BE =
2
（10+6）×6＝48．
故选：D．
【即学即练6】
如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝ ，∠ABO＝ ，当BC∥OA时， 与 之间的数量
关系为（ ）
α β α β
A． ＝ B． ＝2 C． + ＝90° D． +2 ＝180°
【答案】B
α β α β α β α β
【解答】解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠OAD＝ ，
1
在△ABC中，∠ABCα= (180°−α)，
2
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，1
∴β+ (180°−α)=90°，
2
整理得， ＝2 ．
故选：B．
α β
【即学即练7】
9．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高．
（1）求证：∠ABE＝∠ACF；
（2）当△ABD≌△GCA时，AD与AG的位置关系如何，请说明理由．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）AD⊥AG，理由见解答．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，
∴∠ABE＝∠ACF；
（2）解：AD⊥AG，
理由：∵△ABD≌△GCA，
∴∠ADB＝∠GAC，
∵∠ADB是△ADE的一个外角，
∴∠ADB＝∠DAE+∠AEB，
∵∠GAC＝∠GAD+∠DAE，
∴∠AEB＝∠GAD＝90°，
∴AD⊥AG．
题型01 判断全等形
【典例1】下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解答】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；
B、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；
C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；
D、两个图形能够完全重合，故本选项正确．
故选：D．
【变式1】下列各组图形中是全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A．是全等图形，符合题意；
B．钝角三角形和直角三角形，形状不同，不是全等图形，不符合题意；
C．两个圆大小不同，不是全等图形，不符合题意；
D．两个正方形大小不同，不是全等图形，不符合题意；
故选：A．
【变式2】下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
【答案】B
【解答】解：全等的两个图形是①和③，
故选：B．
题型02 全等三角形的性质的熟悉
【典例1】如图，△ABC≌△ADE，点D在BC上，下列结论中不一定成立的是（ ）A．∠BAD＝∠CDE B．BC＝DE C．AB＝AD D．AB＝BD
【答案】D
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴BC＝DE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CDE，
即选项A、选项B、选项C正确，选项D不一定正确，
故选：D．
【变式 1】如图，已知△ABC≌△DCB，则以下结论“① AC＝DB；② BC＝BD；③∠A＝∠D；
④∠ABD＝∠DCA．”中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵△ABC≌△DCB，
∴AC＝BD，∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，∠DBC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠DCA，
故①③④正确．
故选：C．
【变式 2】如图所示，Rt△ABE≌Rt△ECD，点 B、E、C 在同一直线上，则结论：① AE＝ED；
②AE⊥DE；③BC＝AB+CD；④AB∥DC中成立的是（ ）
A．仅① B．仅①③ C．仅①③④ D．仅①②③④
【答案】D
【解答】解：∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴AE＝ED，①成立；∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB＝∠D，又∠DEC+∠D＝90°，
∴∠DEC+∠ABE＝90°，即∠AED＝90°，
∴AE⊥DE，②成立；
∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴AB＝EC，BE＝CD，又BC＝BE+EC，
∴BC＝AB+CD，③成立；
∵∠B+∠C＝180°，
∴AB∥DC，④成立，
故选：D．
【变式3】如图，已知△ACE≌△DBF，下列结论中正确的个数是（ ）
①AC＝DB；②AB＝DC；③∠1＝∠2；④AE∥DF；⑤S△ACE ＝S△DFB ；⑥BC＝AE．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【解答】解：∵△ACE≌△DBF，
∴AC＝DB，①正确；
∴AC﹣BC＝DB﹣BC，即AB＝DC，②正确；
∠ACE＝∠DBF，
∴∠1＝∠2，③正确；
∠A＝∠D，
∴AE∥DF，④正确；
S△ACE ＝S△DFB ⑤正确；
BC与AE不一定相等，⑥错误，
故选：C．
题型03 利用全等的性质求线段
【典例1】如图，点E，F在线段AC上，△ADE≌△CBF，AE＝5，CE＝3，那么EF的长度是（ ）A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】A
【解答】解：∵△ADE≌△CBF，
∴CF＝AE＝5，
∴EF＝CF﹣CE＝5﹣3＝2，
故选：A．
【变式1】如图，点E在线段AC上，△ABC≌△CED，AB＝3cm，CD＝5cm，DE＝7cm，则线段AE的长
度为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】A
【解答】解：∵△ABC≌△CED，
∴AB＝CE＝3cm，AC＝CD＝5cm，
∴AE＝AC﹣CE＝5﹣3＝2（cm）．
故选：A．
【变式2】如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝3，则CD的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解答】解：△ABD≌△ACE，
∴AB＝AC＝6，AD＝AE＝3，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣3＝3，
即CD的长度为3，
综上所述，只有选项D正确，符合题意，故选：D．
【变式3】如图，△ABC≌△DEF，点B、E、C、F在同一直线上，AC与DE相交于点M，DF＝5，AM＝
2，则MC的长度是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF＝5，
∵AM＝2，
∴MC＝AC﹣AM＝5﹣2＝3，
故选：C．
题型04 利用全等的性质求角
【典例1】如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A＝36°，∠C'＝24°，则∠B＝（ ）
A．60° B．100° C．120° D．135°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC≌△A'B'C'，∠C'＝24°，
∴∠C＝∠C'＝24°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣36°﹣24°＝120°，
故选：C．
【变式1】如图，△ABC≌△ADE，∠B＝55°，∠E＝15°，∠BAE＝90°，则∠BAD的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝55°，
∴∠D＝∠B＝55°，
∴∠DAE＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣55°﹣15°＝110°，
∴∠BAD＝∠DAE﹣∠BAE＝110°﹣90°＝20°，
故选：B．
【变式2】如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴BC＝CE，∠DCE＝∠ACB，
∴∠CEB＝∠B＝70°，
∴∠ECB＝180°﹣∠CEB﹣∠B＝40°，
∵∠ACD+∠ACE＝∠ECB+∠ACE，
∴∠ACD＝∠ECB＝40°．
故选：B．
【变式3】如图，已知点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE．若∠A：∠C＝4：3，则∠DBC的
度数为（ ）
A．12° B．18° C．24° D．36°
【答案】A
【解答】解：∵∠A：∠C＝4：3，
∴设∠A＝4x°，∠C＝3x°，
∴∠ABC＝180°﹣4x°﹣3x°＝180°﹣7x°，
∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC＝∠DBC，AB＝BD，
∴∠CBE＝∠ABD，
∵AB＝DB，
∴∠ADB＝∠A＝4x°，
∴∠ABD＝180°﹣4x°﹣4x°＝180°﹣8x°，∴∠CBE＝180°﹣8x°，
∵∠ABC+∠CBE＝180°，
∴180°﹣7x°+180°﹣8x°＝180°，
∴x＝12，
∴∠DBC＝∠ADB﹣∠C＝x°＝12°．
故选：A．
题型04 利用全等的性质解决周长或面积问题
【典例1】如图，△ABC≌△ADE，∠BAC＝105°，连接BD，若∠EAC＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的
面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，AD＝AB＝2，
∴∠BAD＝∠EAC＝90°
1 1
∴△ABD的面积= AB•AD= ×2×2＝2，
2 2
∵△ABC的面积＝△ADE的面积，
∴阴影的面积＝△ABD的面积＝2．
故选：A．
【变式1】如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到△DEF的位置．
若∠C＝30°，AC＝BC＝9，DG＝3，则阴影部分的面积为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】B
【解答】解：过G作GH⊥EF于H，∵将一个三角形沿着一定方向平移到△DEF的位置，
∴△ABC≌△DEF，
∴DF＝AC＝9，EF＝BC＝9，∠F＝∠C＝30°，
∵DG＝3，
∴FG＝6，
∵GH⊥EF，
∴∠GHF＝90°，
1
∴GH= FG＝3，
2
1
∴阴影部分的面积= ×（3+9）×3＝18．
2
故选：B．
【变式2】如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，若测得∠A＝∠D＝90°，AB＝3，
DG＝1，AG＝2，则梯形CFDG的面积是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，AB＝3，
∴DE＝AB＝3，
∵DG＝1，
∴EG＝3﹣1＝2，
∵△ABC≌△DEF，
∴S△ABC ＝S△DEF ，
∴都减去△GEC的面积得：梯形AGEB的面积等于梯形CFDG的面积，
1 1
即S梯形CFDG =
2
（AB+EG）AG =
2
×（3+2）×2＝5，
故选：A．【典例2】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D、E是CD上一点，若△BDE≌△CDA，AB＝14，AC＝
10，则△BDE的周长为（ ）
A．22 B．23 C．24 D．26
【答案】C
【解答】解：∵△BDE≌△CDA，
∴DE＝DA，BE＝CA，
∴△BDE的周长BD+DE+BE＝BD+DA+CA＝BA+CA，
∵AB＝14，AC＝10，
∴△BDE的周长为BA+CA＝14+10＝24．
故选：C．
【变式1】如图，在△ABC中，AD是高，点E在线段AD上．若△ABD≌△CED，AB＝10，BC＝14，则
△CED的周长为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．28
【答案】C
【解答】解：∵△ABD≌△CED，
∴ED＝BD，EC＝AB，
∵△CED的周长＝ED+DC+EC，BC＝14，AB＝10，
∴△CED的周长＝BD+DC+AB＝BC+AB＝14+10＝24，
即△CED的周长为24，
综上所述，只有选项C正确，符合题意，
故选：C．
【变式2】一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y
为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 1 7 ．
【答案】17．
【解答】解：∵三角形的三边长为x，5，7的三角形，与另一个三边长为3，y，5的三角形全等，
∴x＝3，y＝7，
当以x为腰时，∴三角形的三边为3，3，7，
∵3+3＜7，
∴不能够组成三角形，
当以y为腰时，
∴三角形的三边为7，7，3，
∵3+7＞7，
∴能组成三角形，
∴三角形的周长＝3+7+7＝17，
故答案为：17．
题型04 利用全等证明线段的关系或角的关系
【典例1】如图，已知△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°．记∠OAD＝ ，∠ABO＝ ，当BC∥OA时，
与 之间的数量关系为（ ）
α β α
β
A． + ＝90° B． +2 ＝90° C．2 ﹣ ＝45° D． ＝2
【答案】D
α β α β β α α β
【解答】解：∵△AOB≌△ADC，
∴∠OAB＝∠DAC，AB＝AC，
∴∠BAC＝∠OAD＝ ．
∵BC∥OA，
α
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣ ．
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
β
∴ +90°﹣ +90°﹣ ＝180°，
解得 ＝2 ，
α β β
所以 与 之间的数量关系为 ＝2 ．
α β
故选：D．
α β α β
【变式1】如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，CA上（不与顶点重合），设∠BAC＝ ，
∠FED＝ ．若△BED≌△CFE，则 ， 满足的关系是（ ）
α
θ α θA． + ＝90° B． +2 ＝180° C． ﹣ ＝90° D．2 + ＝180°
【答案】B
α θ α θ α θ α θ
【解答】解：∵∠BAC＝ ，
∴∠B+∠C＝180°﹣ ，
α
∵△BED≌△CFE，
α
1
∴∠B＝∠C＝90°− ，∠BDE＝∠FEC，
2
α 1 1
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣（90°− ）＝90°+ ，
2 2
1 α α
∴∠FEC+∠BED＝90°+ ，
2
∵∠FED＝ ，∠FEC+∠B α ED+∠FED＝180°，
1
∴90°+ + θ＝180°，
2
∴ +2 ＝α 18 θ 0°，
故选：B．
α θ
【变式2】如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上．
（1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长．
【答案】（1）AB∥DE，理由见解析．
（2）7．
【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下：
∵△ABC≌△DAE，
∴∠D＝∠CAB，
∴AB∥DE；
（2）∵△ABC≌△DAE，
∴AC＝ED＝3，AB＝AD，
∵AD＝AC+CD＝4+3＝7，
∴AB＝7．
【变式3】如图，点A、B、C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝5cm．
（1）求DE的长；（2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）2cm；
（2）AC与DB垂直，理由见解析．
【解答】解：（1）∵△ABD≌△EBC，
∴BE＝AB＝3cm，BD＝BC＝5cm．
∴DE＝BD﹣BE＝2cm；
（2）AC与DB垂直，理由如下：
∵△ABD≌△EBC，
∴∠EBC＝∠ABD．
又∵∠ABD+∠EBC＝180°，
∴∠ABD＝∠EBC＝90°，
∴DB⊥AC．
【变式4】如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE．
（1）你能说明BD、DE、CE之间的数量关系吗？
（2）请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）BD＝DE+CE‘
理由：∵△BAD≌△ACE，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴BD＝AE＝AD+DE＝CE+DE，
即BD＝DE+CE．
（2）△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE，
理由是：∵△BAD≌△ACE，
∴∠E＝∠ADB＝90°（添加的条件是∠ADB＝90°），
∴∠BDE＝180°﹣90°＝90°＝∠E，
∴BD∥CE．1．在下列各组图形中，是全等的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A、是全等的图形，故本选项符合题意；
B、不是全等的图形，故本选项不符合题意；
C、不是全等的图形，故本选项不符合题意；
D、不是全等的图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中，错误的是（ ）
A．BE＝EC B．BC＝EF C．AC＝DF D．△ABC≌△DEF
【答案】A
【解答】解：∵Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF
∴BC＝EF，AC＝DF
所以只有选项A是错误的，
故选：A．
3．如图，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，CD＝6，AD＝3．若四边形OPCE≌四边形ABCD，则PD
的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B
【解答】解：∵四边形OPCE≌四边形ABCD，BC＝10，
∴BC＝PC＝10．
∵CD＝6，
∴PD＝PC﹣CD＝10﹣6＝4．
故选：B．
4．如图，已知△AOB≌△COD，AB与CD交于点P，若∠AOD＝82°，∠COB＝142°，则∠BPC的度数为
（ ）
A．140° B．138° C．148° D．150°
【答案】D
【解答】解：∵△AOB≌△COD，
∴∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，
∴∠BOD＝∠AOC，
∵∠AOD＝82°，∠COB＝142°，
1
∴∠AOC= ×（142°﹣82°）＝30°，
2
∵∠OMC＝∠PMA，∠C＝∠A，
∴∠APM＝∠AOC＝30°，
∴∠BPC＝180°﹣∠APM＝150°．
故选：D．
5．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则∠1和∠2的关系为（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1
C．∠1+90°＝∠2 D．∠1+∠2＝180°
【答案】D
【解答】解：由题意得：AB＝ED，BC＝DF，∠EDF＝∠ABC＝90°，
∴△ABC≌△EDF（SAS），
∴∠DEF＝∠1，
∴∠1+∠2＝180°．
故选：D．
6．如图，点B、E、C、F在同一直线上，△ABC≌△DEF，BC＝8，BF＝11.5，则EC的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【答案】B
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，BC＝8，
∴EF＝BC＝8，
∵BF＝11.5，
∴EC＝BC+EF﹣BF
＝8+8﹣11.5
＝4.5，
故选：B．
7．如图，△EFG≌NMH，△EFG的周长为15cm，HM＝6cm，EF＝4cm，EH＝1cm，则HG等于（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【答案】A
【解答】解：∵△EFG≌△NMH，
∴MN＝EF＝4cm，FG＝MH，△HMN的周长＝△EFG的周长＝15cm，
∴FG﹣HG＝MH﹣HG，
即FH＝GM＝1cm，∵△EFG的周长为15cm，
∴HM＝15﹣6﹣4＝5cm，
∴HG＝5﹣1＝4cm，
故选：A．
8．如图，△AOB≌△DOC，△AOB的周长为10，且BC＝4，则△DBC的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【解答】解：∵△AOB≌△DOC，△AOB的周长为10，
∴△DOC的周长为10，OB＝OC，
∴△DBC的周长＝DO+OB+DC+BC
＝DO+OC+DC+BC
＝△DOC的周长+BC
＝10+4
＝14．
故选：C．
9．如图，△ABC≌△DEC，∠B＝∠DEF＝90°，点B，E，C，F在一条直线上．已知AB＝10，DO＝4，
BF＝20，BE＝6，则△OEC的面积为（ ）
A．24 B．26 C．32 D．48
【答案】A
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，AB＝10，BE＝6，
∴AB＝DE＝10，BC＝EF，
∴BC﹣EC＝EF﹣EC，
∴BE＝CF＝6，
∵DO＝4，BF＝20，
∴OE＝DE﹣DO＝6，EC＝BF﹣BE﹣CF＝8，
∵∠DEF＝90°，1 1
∴△OEC的面积为= OE•EC= ×6×8＝24．
2 2
故选：A．
10．如图，已知△AOB≌△COD，下列说法：
①∠ABO＝∠CBO；
②OB是△ABC的中线；
③AB∥CD；
④△COD与△BOC面积相等．
其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①∵△AOB≌△COD，
∴∠ABO＝∠D，原说法错误，不符合题意；
②∵△AOB≌△COD，
∴AO＝CO．
∴OB是△ABC的中线．正确，符合题意；
③∵△AOB≌△COD，
∴∠A＝∠OCD．
∴AB∥CD．正确，符合题意；
④∵△AOB≌△COD，
∴OD＝OB，且△COD的边OD上的高与△BOC的边OB上的高相等．
∴△COD与△BOC面积相等，正确，符合题意，
综上所述，说法正确的有②③④，共3个．
故选：C．
11．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，∠1+∠2+∠3＝ 135 ° ．
【答案】135°．
【解答】解：如图，
根据题意得DE＝BC，EC＝AB，GF＝GC，∠DEC＝∠ABC＝∠FGC＝90°，∴△CGF为等腰直角三角形，
∴∠2＝45°，
在△ABC和△CED中，
{
AB=CE
)
∠ABC=∠CED ，
BC=ED
∴△ABC≌△CED（SAS），
∴∠1＝∠DCE，
∵∠DCE+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故答案为135°．
12．如图，△ABC≌△DBC，E是AB延长线上一点，BF平分∠DBE，若∠ACB＝120°，∠A＝ ，则
∠EBF＝ 30°+ ．（用含 的式子表示）
α
α α
【答案】30°+ ．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝120°，∠A＝ ，
α
则∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣120°﹣ ＝60°﹣ ，
α
∵△ABC≌△DBC，
α α
∴∠DBC＝∠ABC＝60°﹣ ，
∴∠EBD＝180°﹣∠ABD＝180°﹣（60°﹣ +60°﹣ ）＝60°+2 ，
α
∵BF平分∠DBE，
α α α
1
∴∠EBF= ∠EBD＝30°+ ，
2
故答案为：30°+ ． α
13．如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AC、AB 上，AB＝8cm，BC＝6cm．AC＝5cm．若
α
△CBD≌△EBD，则△ADE的周长为 7 cm．【答案】7．
【解答】解：∵△CBD≌△EBD，
∴CD＝DE，BE＝BC＝6cm，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2（cm），
∴△ADE的周长＝AE+DE+AD＝AE+CD+AD＝AE+AC＝2+5＝7（cm）．
故答案为：7．
14．如图，在平面直角坐标系中，△AOB≌△COD，则点D的坐标是 （﹣ 2 ， 0 ） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵△AOB≌△COD，
∴OD＝OB，
∴点D的坐标是（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
15．如图，△ABC≌△DEC，∠ABC＝90°，∠ABC的平分线过点E，与AD交于点M．若BM＝BA，则
∠EDC的度数为 22. 5 °．
【答案】22.5．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM＝45°，
又∵BM＝BA，
∴∠BAM＝∠BMA，1
∴∠BAM=∠BMA= ×(180°−45°)=67.5°，
2
∵△ABC≌△DEC，
∴∠BAC＝∠EDC，∠ACB＝∠DCE，AC＝DC，BC＝EC，
∴∠CEB＝∠CBE＝45°，
∴∠BCE＝180°﹣∠CEB﹣∠CBE＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠CDA＝45°，
∴∠BAC＝∠BAM﹣∠CAD＝22.5°，
∴∠EDC＝22.5°．
故答案为：22.5．
16．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．
（1）求∠F的度数及DH的长；
（2）AB与DE平行吗？说明理由．
【答案】（1）∠F＝35°，DH＝6．
（2）AB∥DE，理由见解析．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF，
∴∠F＝∠ACB，DE＝AB＝8，
∴DH＝DE﹣EH＝8﹣2＝6，
∵∠A＝85°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°，
∴∠F＝∠ACB＝35°；
（2）AB∥DE，理由如下：
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，
∴AB∥DE．
17．如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB是锐角，∠B＝30°，∠ACD＝60°，延长BA交DE于点F，交CE
于点G．
（1）判断直线BF与CE是否垂直？请说明理由；
（2）若AC∥DE，求∠DCE的度数．【答案】（1）BF⊥CE，理由见解析；
（2）30°．
【解答】解：（1）BF⊥CE，理由：
∵△ABC≌△DEC，∠B＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠B＝∠E＝30°，∠ACB＝∠DCE，
∴∠BCG＝∠ACB+∠ACG＝∠DCE+∠ACG＝∠ACD＝60°，
∴∠BGC＝180°﹣∠B﹣∠BCG＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴BF⊥CE；
（2）由（1）知∠E＝30°，
∵AC∥DE，
∴∠ACG＝∠E＝30°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACG＝60°﹣30°＝30°．
18．如图，B，C，D三点在同一条直线上，∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE，AB＝5，BC＝12，CE＝
13．
（1）求△ABC的周长．
（2）求△ACE的面积．
【答案】（1）30；
169
（2） ．
2
【解答】解：（1）∵△ABC≌△CDE，
∴AC＝CE＝13，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝5+12+13＝30，即△ABC的周长为30；
（2）∵△ABC≌△CDE，
∴AC＝CE＝13，∠ACB＝∠CED，
∵∠D＝90°，∴∠CED+∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝90°，
1 169 169
∴△ACE的面积= ×13×13= ，即△ACE的面积为 ．
2 2 2
19．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，
沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t s．
11 19
（1）如图①，当t＝ 或 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
2 2
（2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外
有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中
的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，
1 9
若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP= BC= cm，
2 2
9 33
此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+ = ，
2 2
33 11
移动的时间为： ÷3 = 秒，
2 2
②当点P在BA上时，如图①﹣21
若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD= AB，即点P为BA中点，
2
15 57
此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+ = cm，
2 2
57 19
移动的时间为： ÷3 = 秒，
2 2
11 19
故答案为： 或 ；
2 2
（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；
①当点P在AC上，如图②﹣1所示：
此时，AP＝4，AQ＝5，
15
∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）= cm/s，
4
②当点P在AB上，如图②﹣2所示：此时，AP＝4，AQ＝5，
即点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，
93
∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）= cm/s，
32
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，
15 93
点Q的运动速度为 cm/s或 cm/s．
4 32
20．已知：如图①，AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且△ABC≌△CDE．
（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，若把△CDE沿直线BD向左移动，使△CDE的顶点C与B重合，AC与BE交于点F，此
时AC与BE的位置关系怎样？请说明理由；
（3）图②中，若S△ABC ＝12，AF：CF＝3：1，求四边形CDEF的面积．
【答案】（1）AC⊥CE，理由见解答过程；
（2）AC⊥BE，理由见解答过程；
（3）9．
【解答】解：（1）AC⊥CE，理由如下：
∵AB⊥BD，
∴∠B＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，
∵△ABC≌△CDE，
∴∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，
∵∠DCE+∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝90°，
∴AC⊥CE；
（2）AC⊥BE，理由如下：
∵△ABC≌△BDE，
∴∠A＝∠EBD，∠ACB＝∠E，
∵∠B＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，∴∠EBD+∠ACB＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴AC⊥BE；
（3）∵S△ABC ＝12，AF：CF＝3：1，
1
∴S△BFC =
4
S△ABC ＝3，
∵△ABC≌△BDE，
∴S△BDE ＝S△ABC ＝12，
∴四边形CDEF的面积＝12﹣3＝9．
