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专题 13.3 三角形的高线、中线及角平分线
1. 掌握三角形的高线及其画法，并能够判断三角形的高线或用高线判断三角形的形
状；
教学目标
2. 掌握三角形的中线及其性质，并能够利用中线解决与面积和周长的相关题目。
3. 掌握三角形的角平分线及其性质，并能够结合高线与中线进行综合应用。
1. 重点
（1）三角形的高线；
（2）三角形的中线；
教学重难点 （3）三角形的角平分线。
2. 难点
（1）画钝角三角形的高线及其等面积法的应用；
（2）中线与中线分得的三角形的面积与周长的关系。知识点01 三角形的高
1. 三角形高线的定义：
如图，过三角形的顶点作对边的垂线， 与 之间的线段是三角形
的高线。
BD是△ABC的高 BD AC
2. 三角形高的画法：
一靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；
二移：移动三角尺，使另一条直角边通过要作高的顶点；
三画：画出垂线段。
3. 锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形所有高线的图示：
4.
三角形的垂心：
三角形有 条高线，且三条高线交于一点，这个点叫做三角形的 。
5.
高线与垂心的位置与三角形形状的关系：
锐角三角形的三条高都在 ，垂心在 。
直角三角形有两条高是 ，垂心在 。
钝角三角形有两条高在 ，垂心在 。
【即学即练1】
1．作出三角形的三条高．【即学即练2】
2．如图，在△ABC中，边BC上的高为线段（ ）
A．AF B．CE C．DB D．AB
【即学即练3】
3．三角形三条高线所在直线交于三角形外部的是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．都有可能
【即学即练4】
4．三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
知识点02 三角形的中线
1. 三角形中线的定义：
如图，三角形的顶点与 的连线段叫做三角形的中线。
2. 三角形中线的性质：
①AM是三角形的中线 M是BC的 BM CM＝
BC。
。即：
②中线平分三角形的
③中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差。即：
④三角形有 条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的 。
【即学即练1】
5．如图，△ABC中，CD为AB边上的中线，点E是CD的中点，连接BE，若△ABC的面积为8，则
△BEC的面积是（ ）A．5 B．4 C．3 D．2
【即学即练2】
6．如图，AD 是△ABC 的中线，已知△ABD 的周长为 16cm，AB 比 AC 长 3cm，则△ACD 的周长为
（ ）
A．13cm B．16cm C．19cm D．21cm
知识点03 三角形的角平分线
1. 三角形角平分线的定义：
如图。三角形的一个内角平分线与这个角对边相交，顶点和交点之间
的 是三角形的角平分线。
2. 三角形角平分线的性质：
①AD是三角形的角平分线 ∠1 ∠2。
②三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段
。（这两个三角形的高相等）
比。即
③三角形有 条角平分线，三条角平分交于一点，这一点叫做三角形的 。
【即学即练1】
7．如图所示，若有∠BAD＝∠CAD，∠BCE＝∠ACE，则下列结论中错误的是（ ）
A．AD是△ABC的角平分线 B．CE是△ACD的角平分线
1
C．∠BCE= ∠ACB D．CE是∠ABC的平分线
2
【即学即练2】
8．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的外角平分线，若∠DAC＝20°，问∠EAC＝（
）A．60° B．70° C．80° D．90°
题型01 判断三角形某一边上的高
【典例1】下列能表示△ABC的边BC上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】如图△ABC中，AD是哪条边上的高（ ）
A．AB B．AC C．BC D．BD
【变式3】如图，在△ABC中，BC边上的高是（ ）A．BE B．AF C．CD D．CF
题型02 利用高线和垂心的位置判断三角形的形状
【典例 1】如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状一定是
（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
【变式1】如果三角形有一条高与三角形的一条边重合，那么这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
【变式2】三角形三条高线所在直线交于三角形外部的是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．内角为30°、80
【变式3】若一个三角形三条高的交点在三角形内部，则这个三角形的形状为 三角形．
题型03 等面积求三角形的边或高
【典例1】如图，已知∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，BC＝3，则点A到线段BC的距离为 ．
【变式1】如图，在三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝5cm，则点C到直线AB的距
离为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【变式2】如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．则AD的长 cm；
题型04 三角形的中线与面积
【典例1】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【变式1】如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部
分的面积为 ．
【变式2】如图，已知D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，若四边形ADEF的面积为15，则△ABC的
面积为 ．
【变式 3】如图，G 为△ABC 三边中线 AD，BE，CF 的交点，S =12cm2，则阴影部分的面积为
ABC
（ ）
A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm2
题型05 三角形的中线与周长
【典例1】如图，△ABC的周长是16，AD是BC边上的中线，AB＝6，CD＝3，则△ABD与△ACD 的周
长之差为（ ）A．2 B．3 C．4 D．6
【变式1】如图，在周长为20cm的△ABC中，AD是边BC上的中线，已知CD＝4cm，AC＝7cm，则AB
的长为（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【变式2】如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ACD的周长多3cm．若AB＝
10cm，则AC的长为（ ）
A．5cm B．6cm C．8cm D．7cm
【变式3】在△ABC中，AB＝18，BC＝16，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为41，那么△BCD的
周长是（ ）
A．39 B．41 C．43 D．无法确定
题型06 三角形的中线、高线及角平分线综合
【典例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE，BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列
结论错误的是（ ）
A．∠ABF＝∠CBF B．∠ABC＝∠CAD
C．S△ABE ＝S△ACE D．AF＝CF
【变式1】如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交
BE于点H，AB＝BD．则下列结论中不一定正确的是（ ）A．AB＝CD B．FG＝GC
C．∠ABE＝2∠FCB D．∠BFH＝∠BHF
【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，
交BE于点H．下面说法中：①S△ABE ＝S△BCE ；②∠AFG＝∠AGF；③∠BAD＝2∠ACF；④AF＝
FB．正确的是 ．（填序号）
【变式3】如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点
O．
（1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 ；
（2）若∠ABC＝62°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数．1．画△ABC的BC边上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线
B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部
C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部
D．在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线
3．若一个△三条高线的交点恰好是△的一个顶点，则这个△是（ ）
A．锐角△ B．钝角△ C．直角△ D．都有可能
4．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．下列说法错误的是（ ）
A．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点
B．钝角三角形有两条高线在三角形的外部
C．直角三角形只有一条高线
D．任意三角形都有三条高线、中线、角平分线
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，且AD，AE，BF分别是△ABC的高线，中线和角平分线，且AD与
BF相交于点G，下列结论不一定正确的是（ ）A．∠BAD＝∠C B．∠AGF＝∠AFG
C．S△ABE ＝S△AEC D．AC﹣AE＜DE
7．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC边上的中点，连接CD，DE，DF．已知△ABC的面
积为4，则阴影部分的面积为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．2.5
8．如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于
点 H，AB＝BD．给出下列结论：① AB＝CD；② FG＝GC；③∠ABE＝2∠FCB；④∠BFH＝
∠BHF．其中一定正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
16
9．如图，AD、CE是△ABC的两条高，AB=4，CB= ，CE+AD＝7，则△ABC的面积为（ ）
5
56 112 140 70
A． B． C． D．
9 9 9 9
10．如图，△DEF的面积为1，且AD＝DC，BE＝2CE，DF＝3BF，则△ABC的面积为（ ）
11 13
A．3 B． C．4 D．
3 3
11．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD为BC边上的中线，若△ACD的周长为22，则△ABD的周长
是 ．12．已知AD是△ABC的高，若∠BAD＝60°，∠CAD＝40°，则∠BAC的度数是 ．
13．AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，若∠BAC＝100°，则∠ADE＝ °．
14．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC ＝4cm2，则阴影部
分的面积为 cm2．
15．如图，在△ABC中，AD为中线，DE和DF分别为△ADB和△ADC的高，若AB＝6，AC＝8，DF＝
3，则DE＝ ．
16．如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O．
（1）若CD是中线，BC＝5，AC＝3，则△BCD与△ACD的周长差为 ；
（2）若CD⊥AB，∠ABC＝60°，求∠BOC的度数．
17．在△ABC和△ADC中，∠B＝90°，∠D＝90°，EF⊥BC交AC于点F．
（1）在△ABC中，BC边上的高是 ．
（2）在△AEC中，AE边上的高是 ．
（3）若AB＝8，AE＝10，CD＝6，求△AEC的面积及CE的长．18．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．
（1）∠2与∠DCB相等吗？为什么？
（2）试说明CD是△ABC的高．
19．如图所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线．
（1）作出△ABD的边BD上的高．
（2）若△ABC的面积为10，求△ADC的面积．
（3）若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长．
20．如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线．
（1）若∠BED＝46°，∠BAD＝25°，求∠BAF的大小；
（2）若△ABC的面积为40，BD＝5，求AF的长．
