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专题 13.1 三角形的概念
1. 掌握三角形的相关概念，能够熟练判断三角形；
教学目标 2. 熟练判断三角形中边与角的相关关系。
3. 掌握三角形的分类方法，能够熟练对三角形进行分类。
1. 重点
（1）三角形的概念及其相关概念；
（2）三角形的分类；
教学重难点 （3）判断三角形的性质。
2. 难点
（1）判断三角形的边与角的相邻与相对关系；
（2）三角形按边分类中的等腰三角形与等边三角形的关系。知识点01 三角形及其相关概念
1. 三角形的概念：
如图，由 不在同一直线上 的三条线段首位顺次连接所组成的图形叫做三
角形。
2. 三角形的边，角，顶点以及三角形的表示：
在三角形中，组成三角形的线段叫做三角形的 边 ，有 AB 、 BC 、 AC
。
相邻两边组成的角叫做三角形的 内角 ，简称三角形的角。有 ∠ A 、∠ B 、∠ C 。
相邻两边的公共端点叫做三角形的 顶点 。有 顶点 A 、 B 、 C 。
用符号 △ 来表示三角形，即表示为 △ ABC 。
3. 三角形中的相邻与相对关系：
AB、AC与∠A相邻，所以是∠A的 邻边 ，BC与∠A相对，所以是∠A的 对边 ；
同理可得∠B、∠C的邻边与对边。
【即学即练1】
1．观察下列图形，其中是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：其中是三角形的是B选项： ，
故选：B．
【即学即练2】
2．如图，直线l经过A，B，C，D，E这五点，点P是直线l外一点，连接PA，PB，PC，PD，PE，则共
有 1 0 ． 个三角形．
【答案】10．
【解答】解：△PAE，△PBE，△PCE，△PDE，△PAB，△PAC，△PAD，△PBC，△PBD，△PCD共10个，
故答案为：10．
【即学即练3】
3．如图，在△ABD中，∠A的对边是（ ）
A．BF B．BE C．BD D．BC
【答案】C
【解答】解：∠A的对边是BD．
故选：C．
知识点02 三角形的分类
1．三角形按边分类：
等边三角形属于等腰三角形，是等腰三角形的一种特殊情况。
2. 三角形按角分类：
【即学即练1】
4．如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】C【解答】解：由三角形中有1个已知角为钝角，
∴这个三角形是钝角三角形；
故选：C．
【即学即练2】
5．用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵三角形按边分类可分为：不等腰三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又分为腰与底不
等的等腰三角形和等边三角形，
∴选项A，C正确，不符合题意；
∵三角形按角分类可分为：锐角三角形，直角三角形和钝角三角形，
∴选项B正确，不符合题意；选项D不正确，符合题意．
故选：D．
题型01 数三角形的个数
【典例1】如图，三角形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解答】解：由所给图形可知，
图中三角形的个数为：1+2＝3．
故选：B．
【变式1】如图所示，其中三角形的个数是（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解答】解：△ABE，△DEC，△BEC，△ABC，△DBC共5个．故选D．
【变式2】图中以AB为边的三角形的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：∵由D、E、C三点分别与AB端点相连，可构成3个三角形，
∴图中以AB为边的三角形有：△ABD，△ABE，△ABC．共有3个．
故选：B．
【变式3】如图，钝角三角形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：钝角三角形有：△BEC、△BDE、△AEC、△BDC、△BAC，共5个．
故选：D．
题型02 判断三角形的对边对角及邻边邻角
【典例1】如图，在△ABF中，顶点B的对边是 AF ．
【答案】AF．
【解答】解：顶点B的对边是AF，故答案为：AF．
【变式1】如图，在△BCE中，∠CBE所对的边是 EC ；在△AEC中，边AE所对的角是 ∠ ACE
．
【答案】EC；∠ACE．
【解答】解：在△BCE中，∠CBE所对的边是EC；在△AEC中，边AE所对的角是∠ACE，
故答案为：EC；∠ACE．
【变式2】如图，以CD为公共边的三角形是 △ CDF ，△ CBD ，∠EFB是 △ BEF 的内角；在
△BCE中，BE所对的角是 ∠ BCE ，∠CBE所对的边是 CE ；以∠A为公共角的三角形有
△ ABC ，△ ABD ，△ ACE ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：CD为公共边的三角形是△CDF，△CBD，∠EFB是△BEF的内角；在△BCE中，BE所
对的角是∠BCE，∠CBE所对的边是CE；以∠A为公共角的三角形有△ABC，△ABD，△ACE，
故答案为：△CDF，△CBD，△BEF，∠BCE，CE，△ABC，△ABD，△ACE．
【变式3】如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△ABC中，∠A的对边是 BC ，∠A的邻边是 AC ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A的对边是BC，∠A的邻边是AC，
故答案为：BC；AC．
题型03 判断三角形的形状
【典例1】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
【变式1】在△ABC中，如果∠A＝91°+∠B，那么△ABC是（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝91°+∠B＞90°
∴∠A是钝角，
∴△ABC是钝角三角形．
故选：B．
【变式2】如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（ ）
A．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
B．△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
C．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形
D．△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变
为钝角三角形
【答案】D
【解答】解：根据∠A的旋转变化规律可知：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角
形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形．
故选：D．
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．
在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是（ ）A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
【答案】C
【解答】解：在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角
三角形→等腰直角三角形→直角三角形，
故选：C．
题型04 三角形的分类
【典例1】如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是（ ）
A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对
【答案】B
【解答】解：∵等腰三角形包括等边三角形，
∴①分类方法不对，
∵三角形按角分类可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
∴②分类方法对，
故选：B．
【变式1】如图表示三角形的分类，则A表示的是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．三边都不相等的三角形
【答案】D
【解答】解：∵三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形，
∴A表示三边都不等的三角形．故选：D．
【变式2】如图是三角形按常见关系进行分类的图，则关于P、Q区域的说法正确的是（ ）
A．P是等边三角形，Q是等腰三角形
B．P是等腰三角形，Q是等边三角形
C．P是直角三角形，Q是锐角三角形
D．P是钝角三角形，Q是等腰三角形
【答案】B
【解答】解：A、应该是Q是等边三角形，P是等腰三角形，原说法不正确；
B、等边三角形是一种特殊的等腰三角形，所以P是等腰三角形，Q是等边三角形，原说法正确；
C、P、Q应该是根据边的不同进行分类，另外直角三角形与锐角三角形是并列关系，原说法不正确；
D、P、Q应该是根据边的不同进行分类，钝角三角形与等腰三角形分类标准不同，原说法不正确；
故选：B．
【变式3】三角形按边长关系，可分为（ ）
A．等腰三角形，等边三角形
B．直角三角形，不等边三角形
C．等腰三角形，不等边三角形
D．直角三角形，等腰三角形
【答案】C
【解答】解：三角形按边长关系，可分为等腰三角形，不等边三角形，
故选：C．
1．如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解答】解：三角形是由三条首尾相连的线段组成的图形．
故选：C．
2．在△ABC中，BC边的对角是（ ）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，BC边的对角是∠A，
故选：A．
3．如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
【答案】A
【解答】解：依题意，三角形露出的部分为钝角，
∴我们可以判定此三角形的类型为钝角三角形
故选：A．
4．下列说法正确的是（ ）
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
C．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
【答案】D
【解答】解：A、一个直角三角形有可能是等腰三角形，故A不符合题意；
B、一个钝角三角形有可能是等腰三角形，故B不符合题意；
C、一个等腰三角形可能是锐角三角形，故C不符合题意；
D、一个等边三角形一定不是钝角三角形，正确，故D符合题意．
故选：D．
5．如图，以点A为顶点的三角形有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解答】解：以点A为顶点的三角形有△ABC，△ABD，△ACE，△ADE，
∴以点A为顶点的三角形有4个，
故选：A．
6．如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）
A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
【答案】B
【解答】解：三角形根据边分类如下：
{ 不等边三角形 )
三角形 {底和腰不相等的等腰三角形) ；
等腰三角形
等边三角形
故选：B．
7．下列说法不正确的是（ ）
A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形
B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角互余的三角形是直角三角形
D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
【答案】A
【解答】解：∵有两个角是锐角的三角形，第三个角可能是锐角，直角或钝角，
∴有两个角是锐角的三角形可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形；故A不正确，符合题意；
有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形，故B正确，不符合题意；
有两个角互余的三角形是直角三角形，故C正确，不符合题意；底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故D正确，不符合题意；
故选：A．
8．小明同学在学习了八年级上册“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的
过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（ ）
A．两边相等
B．一个角为直角
C．有一个角45°
D．斜边与直角边比为❑√2：1
【答案】C
【解答】解：A、两边相等的三角形是等腰三角形，故不符合题意；
B、有一个角为直角的三角形是直角三角形，故不符合题意；
C、有一个角45°的等腰三角形不一定是等腰直角三角形，故符合题意；
D、斜边与直角边比为❑√2：1的直角三角形是等腰直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
9．已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足（a﹣2）2+|b﹣2|+|c﹣2|＝0，则此三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．一般三角形
【答案】A
【解答】解：∵△ABC的三边长a、b、c满足（a﹣2）2+|b﹣2|+|c﹣2|＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣2＝0，c﹣2＝0，
∴a＝2，b＝2，c＝2．
∴a＝b＝c，
∴此三角形为等边三角形，
一定为等腰三角形，
故选：A．
10．如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（ ）
A．10个 B．12个 C．13个 D．15个
【答案】C
【解答】解：根据图形观察，可以得到：小三角形有 9个，三个小三角形组成一个三角形有3个，加上1整个大三角形，
∴该图中三角形的个数为9+3+1＝13（个）；
故选：C．
11．三角形按角分可以分为锐角三角形，直角三角形和 钝角三角形 ．
【答案】钝角三角形．
【解答】解：三角形按角的大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
故答案为：钝角三角形．
12．如图，以AB为边的三角形的个数是 4 ．
【答案】4．
【解答】解：以AB为边的三角形的有△ABC，△ABD，△ABF，△ABE，一共有4个．
故答案为：4．
13．小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ∠ B ＝ 60 ° （答案
不唯一） ．
【答案】∠B＝60°（答案不唯一）．
【解答】解：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，
故答案为：∠B＝60°（答案不唯一）．
14．如图，AD、CE为等边△ABC 的两条高，且AD与CE相交于点P，则图中的直角三角形共有 6
个．
【答案】6，
【解答】解：由题意可得：
∠CEB＝∠CEA＝∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴△ADC，△ADB，△CEA，△CEB，△PDC，△PEA是直角三角形，共有6个．
故答案为：6．
15．如图，图①中有1个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的 3
个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连
接该点与该小三角形的3个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有 7 或 9 个三角形．
（写出所有可能的值）
【答案】7或9．
【解答】解：如图所示，共有两种情况：
①两点不在同一直线上，分别连接三个顶点，共有7个三角形；
②两点在同一直线上，分别连接三个顶点，共有9个三角形．
故答案为：7或9．
16．如图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
【答案】有5个三角形，分别是△ABD，△ABC，△CDE，△BCE，△BCD．
【解答】解：图中共有5个三角形，分别是△ABD，△ABC，△CDE，△BCE，△BCD．
17．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F．
（1）图中共有多少个以AB为边三角形？并把它们表示出来．
（2）除△ABF外，以点F为顶点的三角形还有哪些？【答案】（1）以AB为边的三角形有4个，△ABF，△ABD，△ABE，△ABC；
（2）以点F为顶点的三角形还有△BDF、△AEF．
【解答】解：（1）以AB为边的三角形有4个，△ABF，△ABD，△ABE，△ABC．
（2）除△ABF外，以点F为顶点的三角形还有△BDF、△AEF．
18．如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形．
（1）以AB为边画三角形，能画几个？写出各三角形的名称；
（2）分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示：以AB为边的三角形能画3个有：△EAB，△DAB，△CAB；
（2）△ABD是等腰三角形，△EAB，△CAB是钝角三角形．
19．已知△ABC的周长为45cm，
（1）若AB＝AC＝2BC，求BC的长；
（2）若AB：BC：AC＝2：3：4，求△ABC三条边的长．
【答案】（1）BC的长是9cm．
（2）AB＝10cm，则BC＝15cm，AC＝20cm．
【解答】解：（1）由题意，得AB+AC+BC＝2BC+2BC+BC＝45cm，
解得BC＝9cm．
即BC的长是9cm．（2）设AB＝2x cm，则BC＝3x cm，AC＝4x cm，
由题意，得2x+3x+4x＝45，
解得x＝5．
故2x＝10，3x＝15，4x＝20．
所以AB＝10cm，则BC＝15cm，AC＝20cm．
20．如图，△ABC中，A ，A ，A ，…，A 为AC边上不同的n个点，首先连接BA ，图中出现了3个不同
1 2 3 n 1
的三角形，再连接BA ，图中便有6个不同的三角形…
2
（1）完成下表：
连接个数
出现三角形
个数
（2）若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？
1
（3）若一直连接到A ，则图中共有 （ n + 1 ）（ n + 2 ）． 个三角形．
n 2
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）
连接个数 1 2 3 4 5 6
出现三角形个数 3 6 10 15 21 28
（2）8个点；
（3）1+2+3+…+（n+1）
1
= [1+2+3+…+（n+1）+1+2+3+…+（n+1）]
2
1
= （n+1）（n+2）．
2
1
故答案为 （n+1）（n+2）．
2
