文档文本内容
2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）
第十一章 三角形单元培优训练
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：第11章 三角形，共23题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2021·四川绵阳·八年级期中）若 中， ，则 一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形内角和180 ，求出最大角∠C，直接判断即可.
【详解】
解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：4．
∴设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=4x°，
根据三角形内角和定理得到：x+2x+4x=180,
解得：x= ．
则∠C=4× = °，则△ABC是钝角三角形．
故选B.
【点睛】
本题考查了三角形按角度的分类.
2．（2020·湖北宜昌·中考真题）将一副三角板如图放置，若 // ，则 的度数为（ ）
A．85° B．75° C．45° D．15°
【答案】B
【解析】【分析】
先根据两直线平行，求出 的度数，再根据三角板 ，求出 的度数，有三角板得知
，进而根据三角形外角和定理求得 的度数．
【详解】
（两直线平行，同旁内角互补）
又
（三角形外角和定理）
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质，三角形外角和定理，解决本题的关键是性质和定理的合理应用．
3．（2022·全国·八年级课时练习）若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据多边形的外角和等于360°计算即可．
【详解】
解：360°÷60°＝6，即正多边形的边数是6．
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°，正多边形的每个外角都相等是解题的关
键．
4．（2019·甘肃甘肃·中考真题）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )．
A．180° B．360° C．540° D．720°【答案】C
【解析】
【分析】
根据多边形内角和公式 即可求出结果．
【详解】
解：黑色正五边形的内角和为： ，
故选C．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．
5．（2021·安徽·中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中 ， ， ，
AB与DF交于点M．若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 ，可得 再根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】
由图可得
∵ ，
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．6．（2021·全国·八年级课时练习）等腰三角形有两条边长为5cm和9cm,则该三角形的周长是
A．19cm B．23cm C．19cm或23cm D．18cm
【答案】C
【解析】
【分析】
根据周长的计算公式计算即可.（三角形的周长等于三边之和.）
【详解】
根据三角形的周长公式可得：C=5+5+9=19或C=9+9+5=23.
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，关键在于本题没有说明那个长是等腰三角形的腰，因此要分类讨论.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2022·全国·八年级课时练习）如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC
于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝______．
【答案】34°##34度
【解析】
【分析】
根据题意先求∠DAC，再依据△ADF三角形内角和180°可得答案．
【详解】
解：∵∠B=46°，∠C=30°，
∴∠DAC=∠B+∠C=76°，
∵∠EFC=70°，
∴∠AFD=70°，
∴∠D=180°-∠DAC-∠AFD=34°，
故答案为：34°．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理及三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和，解题的关键是掌握三角形内角和定理．
8．（2019·全国·八年级专题练习）如图，当∠ABC，∠C，∠D满足条件______________时，AB∥ED．
【答案】∠ABC＝∠C＋∠D
【解析】
【分析】
延长CB交DE于F，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EFB=∠C+∠D，再根
据同位角相等，两直线平行解答即可．
【详解】
如图，延长CB交DE于F，
则∠EFB=∠C+∠D，
当∠ABC=∠EFB时，AB∥ED，
所以，当∠ABC=∠C+∠D时，AB∥ED．
故答案为∠ABC=∠C+∠D．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，作辅助线，把∠C、∠D转化为一个角的度数是解题的关键．
9．（2021·全国·七年级课时练习）如果三角形两条边分别为3和5，则周长L的取值范围是________
【答案】10<L<16
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据不等式的性质求出答案．
【详解】
设第三边长为x，
∵有两条边分别为3和5，
∴5-3<x<5+3,解得2<x<8，
∴2+3+5<x+3+5<8+3+5，
∵周长L=x+3+5,
∴10<L<16,
故答案为: 10<L<16．
【点睛】
此题考查三角形三边关系，不等式的性质，熟记三角形的三边关系确定出第三条边长是解题的关键．
10．（2018·辽宁抚顺·中考真题）将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=__．
【答案】40°
【解析】
【分析】
直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．
【详解】
如图所示：
∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，
∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，
∴∠6+∠7=140°，
∴∠5=180°-（∠6+∠7）=40°．
故答案为40°．
【点睛】
主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键．
11．（2022·全国·八年级课时练习）如图，伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的_______________．【答案】灵活性．
【解析】
【分析】
根据四边形的灵活性，可得答案．
【详解】
我们常见的晾衣服的伸缩晾衣架，是利用了四边形的灵活性，
故答案为灵活性．
【点睛】
此题考查多边形，解题关键在于掌握四边形的灵活性.
12．（2018·黑龙江绥化·中考真题）三角形三边长分别为3， ， 则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式即可求出a的取值范围．
【详解】
三角形的三边长分别为3， ，4，
，
即 ，
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2022·江苏淮安·七年级期末）如图，AD、BE分别是 的高和角平分线， ，
求 的度数．【答案】62°
【解析】
【分析】
根据AD、BE分别是 的高和角平分线，可得∠ADB=∠ADC=90°， ，再利用三
角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：∵AD、BE分别是 的高和角平分线，
∴∠ADB=∠ADC=90°， ，
又∵ ，
∴∠ABC=180°-∠ADB-∠BAD=64°，∠CAD=180°-∠C-∠ADC=60°，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为62°．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质及三角形内角和定理是解题的
关键．
14．（2022·江苏连云港·七年级期末）如图， 是四边形ABCD的外角，已知 ．
求证：【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
由 ，证明 再利用四边形的内角和定理可得结论．
【详解】
证明： 是四边形ABCD的外角，
，
∵四边形的内角和为
【点睛】
本题考查的等角的补角相等，四边形的内角和定理的应用，证明 是解本题的关键．
15．（2022·全国·八年级专题练习）一个正多边形的周长为 ，边长为 ，一个外角为 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）36；（2）5
【解析】
【分析】
（1）根据周长公式，可得多边形的边数，再根据多边形的外角和，可得答案．
（2）根据多边形的外角和，可得多边形的边数，根据周长公式，可得答案．
【详解】
解：（1）∵正多边形的周长为 ，边长为 ， ，
∴正多边形的边数=60÷6=10，
∵正多边形的一个外角为
∴b=360÷10=36，
（2）∵正多边形的一个外角为 ， ，
∴正多边形的边数=360÷30=12，
∵正多边形的周长为 ，边长为 ，
∴a=60÷12=5，
【点睛】本题考查了多边形的外角和以及正多边形的性质，利用多边形的外角和得出多边形的边数是解题关键．
16．（2022·天津滨海新·七年级期末）如图，点D是三角形ABC边CA延长线上一点，过点A作DC的垂
线AP，MN是过点A的一条直线，且∠MAB=∠B，过点D作DE∥MN交AP于点E，求证：
∠C+∠DEA=90°．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据∠MAB=∠B得到MN∥BC，结合已知DE∥MN，从而得到BC∥DE，再根据平行线的性质及三角形内
角和定理即可求证结论．
【详解】
证明：∵∠MAB=∠B，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴∠EDA=∠C，
又∵AE⊥DC，
∴∠ADE+∠DEA=90°，
∴∠C+∠DEA=90°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键．
17．（2022·四川遂宁·七年级期末）如图，在 ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，CD⊥AC交AB于点
D，∠BCD＝∠A，求∠BEA的度数． △【答案】∠BEA的度数是135°．
【解析】
【分析】
设∠A＝x，则∠BCD＝x，在Rt ACD中∠ADC＝90°-x，∠ADC是△BCD的一个外角，故可将∠CBD的度
数表示出来，再根据BE平分∠△ABC，得出∠CBE的度数，在△BCE中，∠BEA是△BCE的一个外角，求
出∠BEA的度数即可．
【详解】
解：设∠A＝x，则∠BCD＝x，
∵CD⊥AC，
∴∠ADC＝90°-x，又BE平分∠ABC，
∴∠CBE （∠ADC-∠BCD）＝ ，
∴∠BEA＝∠ECB +∠CBE＝90°+x+45°-x＝135°．
答：∠BEA的度数是135°．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和，三角形的外角以及角平分线的性质．三角形的内角和是180°，三角形的
一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．熟练地掌握三角形内角和与外角的相关内容是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2022·江苏镇江·七年级期末）如图， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，则 _________°．【答案】(1)见解析
(2)124
【解析】
【分析】
(1)首先根据 ，可证得 ，可得 ，再由 可证得 ，即
可证得 ，据此即可证得结论；
(2)根据平行线的性质及三角形外角的性质，即可求得．
(1)
证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(2)
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：124．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握和运用平行线的判定与性质是解决本题的
关键．
19．（2022·全国·八年级专题练习）（1）如图（a），BD平分 ，CD平分 ．试确定 和
的数量关系．
（2）如图（b），BE平分 ，CE平分外角 ．试确定 和 的数量关系．
（3）如图（c），BF平分外角 ，CF平分外角 ．试确定 和 的数量关系．【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可确定 和 的数量关系；
（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义可得 ，进而可得 和 的数量关
系；
（3）根据三角形的内角和定理可得 ， ，结合角平
分线的定义，根据 即可确定 和 的数量关系．
【详解】
（1）在 中， ．
在 中， ．
∵ ， ，
∴
；
（2）在 中， ．
在 中， ．∵ ， ，
∴ ．
（3）在 中， ．
在 中， ．
∵ ， ．
， ，
∴
．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．（2021·安徽省六安皋城中学八年级期中）如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连
接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．
（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF=120°，求∠BAD的度数；
（2）如图2，若∠ABC=α，∠BDA=β，求∠FAD十∠C的度数（用含α和β的代数式表示）．
【答案】（1）60°；（2）β- α．【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质和平角的定义可得∠EBC=60°，∠AEF=60°，根据角平分线的性质和平行线的性质
可得∠EBD=∠BDE=∠DBC=30°，再根据三角形内角和定理可求∠BAD的度数；
（2）过点A作AG∥BC，则∠BDA=∠DBC+∠DAG=∠DBC+∠FAD+∠FAG=∠DBC+∠FAD+∠C=β，依此
即可求解．
【详解】
解：（1）∵EF∥BC，∠BEF=120°，
∴∠EBC=60°，∠AEF=60°，
又∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD=∠BDE=∠DBC=30°，
又∵∠BDA=90°，
∴∠EDA=60°，
∴∠BAD=60°；
（2）如图2，过点A作AG∥BC，
则∠BDA=∠DBC+∠DAG=∠DBC+∠FAD+∠FAG=∠DBC+∠FAD+∠C=β，
则∠FAD+∠C=β-∠DBC=β- ∠ABC=β- α．
【点睛】
考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2022·全国·八年级课时练习）问题情景：如图1，在同一平面内，点 和点 分别位于一块直角三角
板 的两条直角边 ， 上，点 与点 在直线 的同侧，若点 在 内部，试问 ，
与 的大小是否满足某种确定的数量关系？（1）特殊探究：若 ，则 _________度， ________度，
_________度；
（2）类比探索：请猜想 与 的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点 的位置，使点 在 外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成
立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出 ， 与 满足的数量关系式．
【答案】（1）125，90，35；（2）∠ABP+∠ACP=90°-∠A，证明见解析；（3）结论不成立．∠ABP-
∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和即可得出∠ABC+∠ACB，∠PBC+∠PCB，然后即可得出∠ABP+∠ACP；
（2）根据三角形内角和定理进行等量转换，即可得出∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
（3）按照（2）中同样的方法进行等量转换，求解即可判定.
【详解】
（1）∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-55°=125度，∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90度，
∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB -（∠PBC+∠PCB）=125°-90°=35度；
（2）猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
证明：在 ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=△∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，
∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）=180°-∠A，
∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A，
又∵在Rt PBC中，∠P=90°，
∴∠PBC+△∠PCB=90°，
∴（∠ABP+∠ACP）+90°=180°-∠A，
∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．
（3）判断：（2）中的结论不成立．证明：在 ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=△∠PBC-∠ABP，∠ACB=∠PCB-∠ACP，
∴（∠PBC+∠PCB）-（∠ABP+∠ACP）=180°-∠A，
又∵在Rt PBC中，∠P=90°，
∴∠PBC+△∠PCB=90°，
∴∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°
或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．
【点睛】
此题主要考查利用三角形内角和定理进行等角转换，熟练掌握，即可解题.
22．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，已知 ，点A在MN上，点B、C在GH上．在△ABC中，
∠ACB＝90°，∠BAC＝45°．点D、E在直线AB上，在△DEF中，∠DFE＝90°，∠EDF＝30°．
(1)图中∠BAN的度数是______°；
(2)将△DEF沿直线AB平移，如图2所示，当点F在MN上时，求∠AFE的度数；
(3)将△DEF沿直线AB平移，当以A、D、F为顶点的三角形中，有两个角相等时，请直接写出∠FAN的度
数．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【解析】【分析】
（1）先由三角形内角和定理求出 ，再由两直线平行，内错角相等，得出 ；
（2）先由三角形内角和定理求出 ，则 ；
（3）分 和 两种情况讨论．
(1)
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
(2)
解：由（1）得 ，即 ，
又∵∠EDF＝30°，
∴ ，
∵∠DFE＝90°，
∴ ；
(3)
解：当 时，如图所示，
∵∠EDF＝30°，即 ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ；
当 时，如图所示，∵∠EDF＝30°，即 ，
∴ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ；
综上，∠FAN的度数为 或 ．
【点睛】
本题考查角的和差、平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是
解题的关键，注意第3问需要分类讨论，避免漏解．
六、（本大题共12分）
23．（2022·江苏·八年级）如图①， 的角平分线BD、CE相交于点P．
(1)如果 ，求 的度数；
(2)如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，试求 的度数（用含 的代数式表示）；
(3)将（2）中的直线MN绕点P旋转，分别交线段AB于点M（不与A、B重合），交直线AC于N，试探索
、 、 三者之间的数量关系，并说明理由；
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ， ， ．
【解析】
【分析】
（1）利用角平分线的性质可求出 ，利用三角形内角和定理求出
，即可求出 ；
（2）利用平行的性质证明 ， ，进一步得到 ，
再根据角平分线的性质可得 ；
（3）分情况讨论：①当N在线段AC上时，②当N在线段AC延长线上时，③当N在线段CA延长线上时，
结合图形求解即可．
(1)
解：∵BD、CE平分 和 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
(2)
解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵BD、CE平分 和 ，∴ ，
∴ ．
(3)
解：分情况讨论：
①当N在线段AC上时，如图，
∵BD、CE平分 和 交于点P，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当N在线段AC延长线上时，如图，
∵ ， ，且 ，
∴
即 ；
③当N在线段CA延长线上时，如图，∵ ，且 ，
∴ ．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理和角平分线，平行线的性质，解题的关键是画出正确的图象，会利用内角和表
示角之间的关系．
