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第 03 讲 等腰三角形
课程标准 学习目标
1. 掌握等腰三角形的性质并能够对其熟练应用。
①等腰三角形的性质
2. 掌握等腰三角形的判定方法，能够运用已知条件熟
②等腰三角形的判定
练判定等腰三角形。
知识点01 等腰三角形的性质
1. 等腰三角形的概念：
有两条边 相等 的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的 腰 ，所对的角叫
做等腰三角形的 底角 ，另一边是三角形的底，所对的角是等腰三角形的 顶角 。
2. 等腰三角形的性质：如图
①等腰三角形的两腰 相等 。即AB ＝ AC。
②等腰三角形的两个底角 相等 。即∠B ＝ ∠C。【简称：等边对等
角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 重合 。
【简称底边上三线合一】即∠ABD ＝ ∠CAD，BD ＝ CD，AD ⊥ BC。
题型考点：①熟练性质。②利用性质计算。
【即学即练1】1．下列说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍
【解答】解：A、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故A错误；
B、三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故B正确；
C、等腰三角形的两个底角相等，故C正确；
D、等腰三角形顶角的外角是底角的二倍，故D正确，
故选：A．
【即学即练2】
2．已知等腰三角形的一个顶角为120°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．30° B．60° C．80° D．120°
【解答】解：∵等腰三角形的两个底角相等，
∴底角为（180°﹣120°）÷2＝30°，
故选：A．
【即学即练3】
3．如果一个等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，那么它的周长是（ ）
A．9cm B．12cm
C．9cm或12cm D．以上答案都不对
【解答】解：当腰长为2cm时，则三边分别为2cm，2cm，5cm，因为2+2＜5，所以不能构成直角三角
形；
当腰长为5cm时，三边长分别为 5cm，5cm，2cm，符合三角形三边关系，此时其周长为：5+5+2＝
12cm．
故选：B．
【即学即练4】
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，则∠DEC＝（ ）
A．90° B．100° C．105° D．110°
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝ ∠ABC＝20°，
∴∠BDE＝∠BED＝80°，
∴∠DEC＝100°．
故选：B．
【即学即练5】
5．在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（ ）
A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm
C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm
【解答】解：∵在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为16cm，
∴设AB＝AC＝xcm，则BC＝（16﹣2x）cm，
∴ ，
解得4cm＜x＜8cm．
故选：C．
知识点02 等腰三角形的判定
1. 利用等角对等边判定：
一个三角形中如有两个角 相等 ，则这两个角所对的两条边也 相等 。（等角对等边）则这个
三角形是等边三角形。
2. 利用三线合一性质判定：
若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线 重合 ，则这个三角形是等腰三角形。
题型考点：①利用内角和公式求内角和或求多边形的边数。
②利用多边形的内外角关系计算。
【即学即练1】
6．在△ABC中，与∠A相邻的外角是130°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是（ ）
A．50° B．65°
C．50°或65° D．50°或65°或80°
【解答】解：∠A＝180°﹣130°＝50°．
当AB＝AC时，∠B＝∠C＝ （180°﹣50°）＝65°；
当BC＝BA时，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°﹣50°﹣50°＝80°；
当CA＝CB时，∠A＝∠B＝50°．
∠B的度数为50°或65°或80°，
故选：D．
【即学即练2】7．下列能确定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A＝50°、∠B＝80° B．∠A＝42°、∠B＝48°
C．∠A＝2∠B＝70° D．AB＝4、BC＝5，周长为15
【解答】解：A、∵∠A＝50°、∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，
∴∠A＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形；
故本选项能确定△ABC为等腰三角形；
B、∵∠A＝42°、∠B＝48°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴∠A≠∠B≠∠C，
∴△ABC不是等腰三角形；
故本选项能确定△ABC不是等腰三角形；
C、∵∠A＝2∠B＝70°，
∴∠B＝35°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，
∴∠A≠∠B≠∠C，
∴△ABC不是等腰三角形；
故本选项能确定△ABC不是等腰三角形；
D、∵AB＝4、BC＝5，周长为15，
∴AC＝15﹣4﹣5＝6，
∴AB≠BC≠AC，
∴△ABC不是等腰三角形；
故本选项能确定△ABC不是等腰三角形．
故选：A．
【即学即练3】
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD
的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣∠BAC）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝ ∠ABC＝36°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；
（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝72°，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．
【即学即练4】
9．如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上的一点，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于
点F，连接CD，若BE+CF＝EF．求证：△CFD是等腰三角形．
【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠DCB，
∴∠ABD＝∠EDB．
∴BE＝DE．
∵BE+CF＝EF，
∴DE+CF＝DE+DF，∴CF＝DF，
∴△DFC是等腰三角形．
题型01 等腰三角形与周长
【典例1】
若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，
由于2+2＜5，则三角形不存在；（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．
故选：C．
【典例2】
一个等腰三角形的两边长为8和10，则它的周长m的取值为（ ）
A．26或28 B．26 C．28 D．26＜m＜28
【解答】解：若8是底边，则三角形的三边分别为8、10、10，
能组成三角形，
周长＝8+10+10＝28，
8是腰长，则三角形的三边分别为8、8、10，
能组成三角形，
周长＝8+8+10＝26．
综上所述，它的周长m的取值为26或28．
故选：A．
【典例3】
已知等腰三角形的两边a，b满足 ，则等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
【解答】解：∵ +|b﹣8|＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣8＝0，
∴a＝4，b＝8．
当a＝4为底时，腰长为8，8，4+8＞8，能组成三角形，故周长为4+8+8＝20．
当b＝8为底时，腰长为4，4，4+4＝8，不能组成三角形．
所以等腰三角形的周长为20．
故选：C．
【典例4】
已知实数x，y满足|x﹣3|+ ＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．10 B．11
C．10或11 D．以上答案均不对
【解答】解：∵|x﹣3|+ ＝0，
∴x﹣3＝0，y﹣4＝0，
∴x＝3，y＝4，
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时，
∴等腰三角形的周长＝4+4+3＝11；
当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时，∴等腰三角形的周长＝3+3+4＝10；
综上所述：等腰三角形的周长是10或11，
故选：C．
题型02 等腰三角形的性质求线段长度
【典例1】
如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E，若CD＝1，则BD等于
（ ）
A．1 B． C． D．
【解答】解：∵AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E，
∴AD＝CD＝1，
∴∠A＝∠ACD＝45°，
∴∠ADC＝90°，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：D．
【典例2】
如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点E在AC上，EF垂直平分AC，交AB于F，BF＝1，则EF的长为（
）
A．4 B．3 C． D．
【解答】解：∵AB＝AC＝6，EF垂直平分AC，
∴AE＝CE＝ AC＝3，∵BF＝1，
∴AF＝AB﹣BF＝6﹣1＝5，
∴AF＝CF＝5，
在Rt△AEF中，
EF＝ ，
故选：A．
【典例3】
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（
）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得△ADB≌△ADC，
∴ ，
∵S△ADB ＝ AB•DE，S△ACB ＝ AC•BF，
∴ AB•DE×2＝ AC•BF，
∴BF＝2DE，
∵DE＝5cm，
∴BF＝10cm．
故选：B．
【典例4】
如图，在△ABC中，AC＝18cm，BC＝20cm，点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点C
出发以每秒1.6cm的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当
△CMN是以MN为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【解答】解：设运动的时间为x秒，
在△ABC中，BC＝20cm，AC＝18cm，
点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒1.6cm的速度向点B运动，
当△CMN是等腰三角形时，CM＝CN，
CM＝18﹣2x，CN＝1.6x
即18﹣2x＝1.6x，
解得x＝5．
∴CM＝CN＝8（cm），
故选：D．
题型03 等腰三角形的性质求角度
【典例1】
等腰三角形的一个底角是a°，它的顶角是（ ）
A．a° B．90°﹣a° C．180°﹣2a°
【解答】解：∵等腰三角形的一个底角是a°，
∴它的顶角＝180°﹣2a°，
故选：C．
【典例2】
如图，直线a∥b，点A和点B分别在直线a和b上，点C在直线a、b之间，且BC＝AC，∠ACB＝120°，
∠1＝45°，则∠2的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【解答】解：如图，
∵BC＝AC，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝∠BAC＝ ×（180°﹣120°）＝30°，
∵∠1＝45°，
∴∠ABD＝∠1+∠ABC＝75°，
∵a∥b，∴∠2＝∠ABD＝75°，
故选：D．
【典例3】
如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（ ）
A．28° B．36° C．45° D．72°
【解答】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，
∴∠EAB＝∠ACD＝ ，
∴∠ACB＝∠EAC＝180°﹣108°＝72°，
∴∠BAC＝∠EAB﹣∠EAC＝108°﹣72°＝36°，
故选：B．
【典例4】
如图，在等腰△EBC中，EB＝EC，AB＝BC，∠E＝40°，∠ACD的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．30°
【解答】解：∵BE＝EC，∠E＝40°，
∴∠B＝∠BCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝（180°﹣70°）÷2＝55°，
∴∠ACD＝∠BCE﹣∠ACB＝70°﹣55°＝15°，故选：B．
【典例5】
定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰
△ABC中，∠A＝50°，则它的特征值k等于（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的顶角为50°，
∴等腰三角形的两个底角都＝ ×（180°﹣50°）＝65°，
∴这个等腰三角形的“特征值”k＝ ＝ ；
当等腰三角形的一个底角为50°时，那么另一个底角也是50°，
∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2×50°＝80°，
∴这个等腰三角形的“特征值”k＝ ＝ ；
综上所述： 或 ，
故选：D．
题型04 等腰三角形的判定
【典例1】
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE∥AD交BA的延长线于点E，求证：△ACE是等腰三角形．
【解答】证明：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠DAC，
又∵CE∥AD，
∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，
∴∠E＝∠ACE，
∴AE＝AC，
∴△ACE是等腰三角形．
【典例2】
如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，且CE∥AB，求证：△ABC为等腰三角形．【解答】证明：∵CE平分∠ACD，
∴ ，
∵CE∥AB，
∴∠A＝∠ACE，∠B＝∠DCE，
∴∠B＝∠A，
∴BC＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
【典例3】
如图，已知在△ABC中，D、E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED，∠BAD＝∠EAC，求证：AB＝AC．
【解答】证明：∵∠ADE＝∠AED．
∴∠BAD+∠B＝∠EAC+∠C，
∵∠BAD＝∠EAC
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
【典例4】
如图，在△ABC中，P是BC边上的一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．若
AQ＝AR，求证：△ABC是等腰三角形．【解答】证明：∵AQ＝AR，
∴∠R＝∠AQR．
又∵∠BQP＝∠AQP，
∴∠R＝∠BQP．
在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B+∠BQP＝90°，∠C+∠R＝90°，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【典例5】
如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点 D，连接CD．求证：
△ACD为等腰三角形．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵AB＝AC，
∴AD＝AC，
∴△ACD是等腰三角形．
题型05 等腰三角形的判定与性质
【典例1】
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD．
（1）求证：AD＝CD；
（2）若AC＝BC，∠D＝120°，求∠B的度数．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD＝∠ACB，∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD；
（2）解：∵∠D＝120°，
∴∠DAC＝∠ACD＝ ＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC＝ ＝75°．
【典例2】
如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是
等腰三角形；
（2）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE＝6，
∴AB＝2AE＝12，
∵△CBD的周长为20，
∴BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝20，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝12+20＝32．
【典例3】
如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．【解答】（1）证明：∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF＝∠CAF，
∵AF∥BC，
∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴∠ACB＝∠B＝40°，
∴∠BAC＝100°，
∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，
∵CG平分∠ACE，
∴ ACE＝70°，
∵AF∥BC，
∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°．
【典例4】
已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD，
∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，
∴∠BDC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠BDC．
∴CD＝CB；
（2）①∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠ACB＝90°，
设∠CBE＝ ，则∠ACB＝90°﹣ ，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣ ，
α α
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣ ）﹣（90°﹣ ）＝2 ，
α
∴∠BCD＝2∠CBE；
α α α
②∵∠BFD是△CBF的一个外角，
∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝ +2 ＝3 ，
分三种情况：
α α α
当BD＝BF时，
∴∠BDC＝∠BFD＝3 ，
∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣ ，
α
∴90°﹣ ＝3 ，
α
∴ ＝22.5°，
α α
∴∠A＝∠BCD＝2 ＝45°；
α
当DB＝DF时，
α
∴∠DBE＝∠BFD＝3 ，
∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣ ﹣ ＝90°﹣2 ，
α
∴90°﹣2 ＝3 ，
α α α
∴ ＝18°，
α α
∴∠A＝∠BCD＝2 ＝36°；
α
当FB＝FD时，
α
∴∠DBE＝∠BDF，
∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，
∴不存在FB＝FD，
综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．
【典例5】
（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，
分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有 5 个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是
BE + CF ＝ EF ，△AEF的周长是 2 0（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC
＝10”其余条件不变，则图中共有 2 个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明
你的结论，并求出△AEF的周长
（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点
D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论
不证明．
【解答】解：（1）BE+CF＝EF．
理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，
∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF，
∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个，
∴BE+CF＝DE+DF＝EF，
即BE+CF＝EF，
△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+FC＝AB+AC＝20．
故答案为：5；BE+CF＝EF；20；
（2）BE+CF＝EF，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，
∴BE＝DE，CF＝DF，∴等腰三角形有△BDE，△CFD，
∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF．
可得△AEF的周长为18．
（3）BE﹣CF＝EF，
由（1）知BE＝ED，
∵EF∥BC，
∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，
∴CF＝DF，
又∵ED﹣DF＝EF，
∴BE﹣CF＝EF．1．等腰三角形的两个底角相等，顶角的度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，
根据题意得：x+x+2x+20＝180，
解得：x＝40，
故选：B．
2．已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是（ ）
A．17或22 B．22 C．17 D．13
【解答】解：分两种情况：
当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；
当腰为9时，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4＝22．
故选：B．
3．如图，在等腰△EBC中，EB＝EC，AB＝BC，∠B＝70°，∠ACD的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．30°
【解答】解：∵EB＝EC，
∴∠BCE＝∠B＝70°，
∵AB＝BC，∠B＝70°，
∴∠ACB＝∠BAC＝ ×（180°﹣70°）＝55°，
∴∠ACD＝∠ECB﹣∠ACB＝70°﹣55°＝15°．
故选：B．
4．“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”．莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状
元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”．如图，“状元阁”的顶端可
看作等腰三角形ABC，AB＝AC，D是边BC上的一点．下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是
（ ）A．∠ADB＝∠ADC B．BD＝CD
C．BC＝2AD D．S△ABD ＝S△ACD
【解答】解：∵∠ADB＝∠ADC，∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD是△ABC的高线，
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，
∴AD是△ABC的角平分线，故A选项不符合题意；
∵△ABC是等腰三角形，BD＝CD，
∴AD是△ABC的角平分线，故B选项不符合题意；
若BC＝2AD，不能说明AD是△ABC的角平分线，故C选项符合题意；
∵S△ABD ＝S△ACD ，
∴BD＝CD，
∴AD是△ABC的角平分线，故D选项不符合题意；
故选：C．
5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝6，则BF＝（
）
A．8 B．9 C．12 D．18
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABC ＝2S△ABD ＝2× AB•DE＝AB•DE＝6AB，
∵S△ABC ＝ AC•BF，
∴ AC•BF＝6AB，
∵AC＝AB，
∴ BF＝6，
∴BF＝12，
故选：C．6．在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣3），在坐标轴上确定一点B，使△AOB为等腰三角形，则符合
条件的点B共有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：分三种情况讨论：
当AO＝AB时，B的坐标为：（6，0）或（0，﹣6）；
当OA＝OB时，B的坐标为：（ ，0），（0， ），（ ，0），或（0， ）；
当BO＝BA时，B的坐标为：（3，0）或（0，﹣3），
所以：符合条件的点B共有8个，
故选：D．
7．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC
于E，若AB+AC＝8，则△ADE的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠ABF＝∠FBC，∠ACF＝∠FCB，
∵DE∥BC，
∴∠BFD＝∠FBC，∠CFE＝∠FCB，
∴∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠CFE，
∴BD＝FD，CE＝FE，
∵AB+AC＝8，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+CE+AE＝AB+AC＝8．
故选：B．
8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作
∠ADE＝40°，DE 交线段 AC 于 E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当 D 为 BC 中点时，
DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结
论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，
或∵△ADE为等腰三角形，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝30°，
故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故④正确；
故选：C．9．在△ABC中，AB＝AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数
为 ．
【解答】解：①如图①，∵AB＝AC，BD＝CD，CD＝AD，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴4∠B＝180°，
∴∠B＝45°，∠C＝45°，∠BAC＝90°．
②如图②，∵AB＝AC，AD＝BD，AC＝CD，
∴∠B＝∠C＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA，
∵∠CDA＝∠B+∠BAD＝2∠B，
∴∠BAC＝3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°，∠C＝36°，∠BAC＝108°．
③如图③，∵AB＝AC，AD＝BD＝BC，
∴∠B＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，
∴∠ABC＝∠C＝2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5∠A＝180°，
∴∠A＝36°，∠C＝72°，∠ABC＝72°．
④如图④，∵AB＝AC，AD＝BD，CD＝BC，
∴∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠CDB＝∠CBD，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，
∴∠ABC＝∠C＝3∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴7∠A＝180°，
∴∠A＝（ ）°，∠C＝（ ）°，∠ABC＝（ ）°．
故答案为： ．
10．定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰△ABC是倍长三角形，且一边长为6，则△ABC的底边长为 3 或 6 ．
【解答】解：∵等腰△ABC是倍长三角形，
∴腰长＝底边长的2倍或底边长＝腰长的2倍，
如果腰长是6，底边长是3或12，
∵6+6＝12，
∴此时不能构成三角形，
∴底边长是3，腰长是6；
如果底边长是6，腰长是12或3，
3+3＝6，
∴此时不能构成三角形，
∴底边长是6，腰长是12，
∴△ABC的底边长是3或6．
故答案为：3或6．
11．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC＝64°，
∠C＝29°，AB＝4，BC＝10，则AE＝ 3 ．
【解答】解：如图，延长AE交BC于点F．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE．
在△ABE和△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE＝EF，AB＝BF＝4，
∴ ．
∵∠C＝29°，
∴∠CAF＝∠AFB﹣∠C＝29°，∴∠CAF＝∠C，
∴AF＝CF．
∵BC＝10，
∴CF＝BC﹣BF＝6，
∴AF＝6，
∴AE＝3．
故答案为：3．
12．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交
OC于点A ，得第一条线段AA ；再以A 为圆心、1为半径向右画弧交OB于点A ，得第二条线段
1 1 1 2
A A ；再以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A ，得第三条线段A A ……这样一直画下去，最多
1 2 2 3 2 3
能画 9 条线段．
【解答】解：∵AO＝A A，A A＝A A ，…，
1 1 2 1
∴∠AOA ＝∠OA A，∠A AA ＝∠A A A，…，
1 1 1 2 1 2
∵∠BOC＝9°，
∴∠A AB＝18°，∠A A C＝27°，∠A A B＝36°的度数，∠A A C＝45°，…，
1 2 1 3 2 4 3
∴9°n＜90°．
∴n＜10．
∵n为整数，
∴n＝9．
故答案为：9．
13．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝
AC．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．
【解答】解：（1）连接AE，
∵EF垂直平分AB
∴AE＝BE
∵BE＝AC
∴AE＝AC∵D是EC的中点
∴AD⊥BC
（2）设∠B＝x°
∵AE＝BE
∴∠BAE＝∠B＝x°
∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°
∵AE＝AC
∴∠C＝∠AEC＝2x°
在三角形ABC中，3x°+75°＝180°
x°＝35°
∴∠B＝35°
14．如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于D、E．
（1）请写出图1中线段BD，CE，DE之间的数量关系？并说明理由．
（2）如图2，△ABC若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC平行线交AB于
D，交AC于E．那么BD，CE，DE之间存在什么数量关系？并证明这种关系．
【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO，
∵过O点作BC平行线交AB、AC于D、E．
∴DE∥BC，
∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠BCO，
∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，
∴BD＝DO，OE＝CE，
∴DO+OE＝BD+CE，即DE＝BD+CE；
（2）DE＝BD﹣CE，理由如下：
∵∠ABC和∠ACF的平分线相交于点O，
∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠FCO，
∵过O点作BC平行线交AB、AC于D、E．
∴DO∥BF，
∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠FCO，
∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，
∴BD＝DO，OE＝CE，
∵DE＝DO﹣OE，
∴DE＝BD﹣CE．
15．如图，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．
（1）如图1，填空∠B＝ 3 6 °，∠C＝ 7 2 °；
（2）若M为线段BD上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2
①求证：△ANE是等腰三角形；
②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
【解答】解：（1）∵BA＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∵DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，
∴∠DAC＝∠B，
∵∠DAC+∠ADC+∠C＝180°，
∴2∠B+2∠B+∠B＝180°，∴∠B＝36°，∠C＝2∠B＝72°，
故答案为：36；72；
（2）①在△ADB中，∵DB＝DA，∠B＝36°，
∴∠BAD＝36°，
在△ACD中，∵AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝72°，
∴∠CAD＝36°，
∴∠BAD＝∠CAD＝36°，
∵MH⊥AD，
∴∠AHN＝∠AHE＝90°，
∴∠AEN＝∠ANE＝54°，
即△ANE是等腰三角形；
②CD＝BN+CE．
证明：由①知AN＝AE，
又∵BA＝BC，DB＝AC，
∴BN＝AB﹣AN＝BC﹣AE，CE＝AE﹣AC＝AE﹣BD，
∴BN+CE＝BC﹣BD＝CD，
即CD＝BN+CE
