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第十三章 三角形（复习讲义）
1. 了解三角形的定义、分类（按边、按角），体会三角形概念、分类及各性质间的整体联系。
2. 能用三角形三边关系（两边和大于第三边、两边差小于第三边）判断线段能否构成三角形。
3. 理解三角形的高、中线、角平分线的定义，能识别并运用它们进行相关线段计算。
4. 掌握三角形内角和定理（内角和为180°），会利用定理及外角性质（外角等于不相邻两内角和、大于
不相邻内角，外角和360°），解决角度计算、证明等问题 。知识点01 三角形的概念及分类
1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形.
2.三角形的分类
1)按边分类可以分为 ； (2)按角分类可以分为
(
知识点02 三角形中三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边.
知识点03 三角形的高线、中线、角平分线
三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段；
三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段；
三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。
三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段；
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以
后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表
如下：
线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与
从三角形的一个顶点向它的对边所在的 三角形中，连接一个顶点
文字语言 它的对边相交，这个角的顶
直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 和它对边中点的线段．
点与交点之间的线段．
图形语言
过点A作AD⊥BC于点D． 取 BC 边的中点 D，连接 作∠BAC的平分线 AD，交
作图语言
AD． BC于点D．
标示图形
1．AD是△ABC的高． 1．AD是△ABC的中线．
1．AD 是△ABC 的角平分
2．AD是△ABC中BC边上的高． 2．AD 是△ABC 中 BC 边 线．
符号语言 上的中线．
3．AD⊥BC于点D． 2．AD 平分∠BAC，交 BC
于点D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)
3．BD＝DC＝ BC
3．∠1＝∠2＝ ∠BAC．
4．点D是BC边的中点．
因 为 AD 是 △ ABC 的 高 ， 所 以 因为 AD 是△ABC 的中 因为AD平分∠BAC，所以
AD⊥BC．
推理语言
(或∠ADB＝∠ADC＝90°) 线，所以 BD＝DC＝ ∠1＝∠2＝ ∠BAC．
BC．
1．线段相等．2．面积相
用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 角度相等．
等．
1．与边的垂线不同．
注意事项 — 与角的平分线不同．
2．不一定在三角形内．
三角形的三条高(或它们的延长线)交于 一个三角形有三条中线， 一个三角形有三条角平分
重要特征 一点． 它们交于三角形内一点． 线，它们交于三角形内一
点．
知识点04 三角形的内角和定理
（1）定理：三角形三个内角和等于180度；
（2）直角三角形的两个锐角互余.
知识点05 三角形的外角性质
（1）外角：三角形的一边和另一边的延长线组成的角（一个角的外角有2个）
（2）外角性质：三角形的外角等于和它不相邻两内角的和；
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角；
三角形外角和为360度.
题型一 判断三边是否能构成三角形
【例1】（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1
【变式1-1】下列长度的三条线段中，能构成三角形的是（ ）
A．2，4，7 B．4，8，12 C．3，7，12 D．4，10，12
【变式1-2】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列长度的三根小木棒，把它们首尾顺次相接能摆成一个
三角形的是（ ）
A．1，1，3 B．5，6，7 C．1，8，18 D．3，4，10
【变式1-3】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的是（ ）
A．4，6，8 B．8，10，12 C．18，20，22 D．2，4，6
题型二 三角形的稳定性
【例2】如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其中所涉及的数学原理是（ ）
A．三角形任意两边之和大于第三边 B．三角形的稳定性
C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线
【变式2-1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很
多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了（
）
A．两点之间，线段最短 B．三角形内角和等于180度
C．三角形具有稳定性 D．两边之和大于第三边
【变式2-2】（24-25八年级上·新疆喀什·期末）以下图形不具有三角形稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，
全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世
界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，
其蕴含的数学道理是（ ）A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性
C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于
题型三 已知三角形的两边长，求第三边的取值范围
【例3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个三角形三边长分别为2，m和8，则m的取值范围
．
【变式3-1】（24-25八年级上·河南漯河·期末）若 为三角形三边长，且 满足 ，
则第三边长 可能是 ．
【变式3-2】（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为 和 ，
他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为 ，则x的取值范围是 ．
【变式3-3】已知一个三角形的三边长为2，5，a，则a的取值范围是 ；若此三角形的周长为偶
数，则 ，此时三角形的形状是 三角形．
题型四 判断是否三角形的高线
【例4】（24-25八年级上·北京·期中）如图所示， 中 边上的高线画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（24-25八年级上·北京·期中）已知 ，作 边上的高，下列作图中正确的是（ ）A． B． C． D．
【变式4-2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在 中， 边上的高是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【变式4-3】如图， ，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是
（ ）
A． 是 的高 B． 是 的高
C． 是 的高 D． 是 的高
题型五 根据三角形的中线求解
【例5】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在 中， ， ， 为中线，则
与 的周长之差的值为 ．【变式5-1】如图， ， 分别为 ， 的中点，若 的面积为 ，则 的面积是 ．
【变式5-2】（1）在 中， 是 的平分线， 是 边上的中线．若 ，则
；若 ，则 ．
（2）在 中， ， 是边 上的中线， 的周长为 ， 的周长为 ，
则 ．
【变式5-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在 中， 是 边上的中线， ，
与 交于点F，若 的面积等于16．
（1） 的面积为 ；
（2）设 的面积为m， 的面积为n，则 ．
题型六 在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积
【例6】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1， 的三个
顶点都在格点上．(1)画出 边上的高 和中线 ；
(2)画出 边上的高 ，并直接写出 的长（提示： 的长等于5）．
【变式6-1】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每
个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上．
(1) 的面积 ______；
(2)只用直尺画出 的高 ；
(3)只用直尺过点C画 ．
【变式6-2】（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期中）如图为 的正方形网格，每个小正方形的边长均为
1，小正方形的顶点叫做格点．已知 的三个顶点均在格点上，按要求解答：
(1)请画出 的边 上的高 ；
(2)连接格点，用一条线段将 分成面积相等的两部分（直接画图即可）；
(3)直接写出 的面积为__________．
【变式6-3】图①，图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点
A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在网格中按要求画图，保留作图痕迹．
(1) 的面积为______，
(2)在图①中，过点C作线段 ，使点D为格点；(3)在图②中，过点B作 的垂线段 ．
题型七 利用三角形的中线、高线、角平分线求
解
【例7】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在 中， 是中线， ， ．
(1)求 与 的周长差．
(2)点E在边 上，连接 ，若 与四边形 的周长相等，求线段 的长．
【变式7-1】（23-24七年级下·四川达州·期中）如图， 中， ， 于 ， 平分
交 于 ．
(1)当 ， 时，求 的度数；
(2)猜想： 与 有什么关系，并说明理由．
【变式7-2】如图，在 中， 是角平分线， 是中线， 是高线．
(1)如果 ，求 的长；
(2)如果 ，求 的度数．
【变式7-3】在 中， ， 为直线 上任意一点，连结 ， 于点 ，
于点 ． 为 边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分）【画图探究】（1）如图①，当点 在边 上时，请画出 ，猜想 ， ， 之间的数量关系并证
明．
【运用】（2）如图②，当点 为 中点时， 与 的数量关系为___________
【拓展】（3）如图③，当点 在 的延长线上时， 、 、 之间的数量关系为___________；
题型八 利用三角形的内角和求角的度数
【例8】（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图， ， ， ，则 的度
数为 ．
【变式8-1】已知：如图，在 中， ， ，若 ，则 ．
【变式8-2】在 中， 为边 上的高， ， ，则 是 度．
可知 ，
，故此种情况不存在，舍弃；
③高在三角形外部，如图所示：
【变式8-3】将一副直角三角板如图放置．已知 ，当 时， 的度数为
．
题型九 利用三角形的外角求角的度数
【例9】如图， ， ， ，求 的度数．
【变式9-1】在 中， ．现进行第一次操作：如图1作射线 ，使得 ，作
射线 ，使得 ．再进行第二次操作：如图2作射线 ，使得 ，作射
线 ，使得 ．再进行第三次操作：如图3作射线 使得 ，作射线
，使得 ．则 ．【变式9-2】在 中， 的平分线与 的外角 的平分线交于点E．
(1)如图①，若 ，则 ________；如图②，若 ，则 _______；如图③，若
，则 ________；
(2)根据以上求解的过程，你发现 与 之间有什么关系？如果有，写出你的发现过程；如果没有，请
说明理由（借助图①）．
【变式9-3】（1）如图1，在 中， 平分 ，P为线段 上的一点， 于P交直线
于点E，交直线 、 于F、G，若 ， 时， ______度；
（2）如图2， 平分 的外角，其余条件不变，若 ， ，求 的度数；（用含
有 ， 的式子表示）．
基础巩固通关测
一、单选题
1．下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9
2．下列关于三角形的性质描述错误的是（ ）
A．三角形具有稳定性
B．三角形的高线不一定在三角形的内部C．三角形的外角和为360°
D．三角形的一个外角等于两个内角之和
3．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则
第三根小棒的长度可以是（ ）
A．2 B．3或5 C．4或5 D．6
4．如图，D为 内一点， 平分 ， ， ，若 ，则 的度数
为（ ）
A． B． C． D．
5．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手 与底座 都平行于地面，靠背 与支架 平行，
前支架 与后支架 分别与 交于点 和点 ， 与 交于点 ，当前支架 与后支架 正
好垂直， 时，人躺着最舒服，则此时扶手 与靠背 的夹角 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．在 中，若 ，则 是 三角形．7．已知三角形的三边分别为 ，则a的整数值可能是 ．（填一种即可）
8．如图，在 中， 平分 ， 平分 ，如果 ，那么 °．
9．如图， 是 的边 上的中线， 是 的边 上的中线， 是 的边 上的中
线，连接 ， ．若 的面积是 ，则阴影部分的面积是 ．
10．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．
例如，三个内角分别为 的三角形是“三倍角三角形”．若 是“三倍角三角形”，且
，则 中最小内角的度数为 ．
三、解答题
11．用一条长 的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为 ，第二条边长比第一条边长的 倍少
．
(1)用含 的式子表示第三条边长；
(2)若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长．
12．如图， 是 的平分线，过点 作 的平行线，交 于点 ．
(1)求证： ；
(2) 是线段 上一点（不与 ， 两点重合），连接 ．若 ， ，求 的度
数．
13．如图，点C，F，D在同一条直线上， ， ，垂足分别E，B， 与 交于点O．(1)求证： ；
(2)若 平分 ， ，求 的度数．
14．定义：若三角形的两个内角 与 满足 ，则称该三角形为“准互余三角形”， 与 为
“准互余角”．
(1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是________（填序号）．
， ， ； ， ， ； ， ， ．
(2)若 为“准互余三角形”， ， 和 是“准互余角”，求 的度数．
(3)如图，在 中， ，若 平分 ，试说明 是“准互余三角形”．
能力提升进阶练
一、单选题
1．三角形的两边长分别是2和3，则第三边的边长可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．6
2．如图，已知直线 ，三角板 的直角顶点 放在直线 上， ， ，则 的度数
是（ ）A． B． C． D．
3．如图， 的面积为2，分别延长 至点D，使 ，延长 至点E，使 ，延长
至点F，使 ，依次连接 ，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得， ， ，
∴ ，
故选：D．
4．如图， 和 的平分线交于点 ，连接 的外角 的平分线与 的延长线交于
点 交 于点 ．下列四个结论：① ；② ；③
；④ ．其中所有正确的结论有（ ）A．①④ B．①③ C．①③④ D．②③④
5．如图，在 中， ， ， ， 是高， 是中线， 是角平分线， 交
于点 ，交 于点 ，下面说法正确的是（ ）
① ；② 的周长 的周长 ；③ ；④ ；
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
二、填空题
6．如图，已知 ， ， ， ， ，则点 到 边的距离是 ．
7．如图， 的两个外角平分线交于点 ，若 ，则 的度数为 °．
8．如图， 于点 ， 于点 ，点 在线段 上，且 ． 、 分别平分
和 ，则 的度数是 ．9．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若 是“倍
长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 ．
10．如图，已知 中， ，O为 内一点，且 ，其中 平分 ， 平
分 ， 平分 ， 平分 ，…， 平分 ， 平分 ，…，以此
类推，则 °， °．
三、解答题
11．在 中， ．
(1)求 长度的取值范围；
(2)若 的周长为偶数，求 的周长，并判断此时 的形状．
12．如图，在 中， ， 分别是 的中线和高， 是 的角平分线．
(1)若 ，求 的度数．(2)若 面积为40， ，求 的长．
13．已知 的三边长分别为a，b，c．
(1)化简式子 ；
(2)若 ， ， ．
①x的取值范围是 ；
②当 为等腰三角形时，求a，b，c的值．
14．如图1， 是 的角平分线，E为射线 上一点，过点E作 ，垂足为点F．
(1)若 ，且点E在线段 上．
① _______ ，理由是________；
②若 平分 交 于点H，求证： ；
(2)如图2，若点E在线段 的延长线上， 平分 交 的延长线于点I，用等式表示 与 的
数量关系，并证明．
15．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．
(1)如图1，在 中， ， ， ， ， ，垂足为点 ，则 的
长是_______；
(2)如图2，在 中， ， ，则 的高 与 的比是________；
(3)如图3，在 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，
， ，垂足分别为点 ， ．若 ， ，求 的值．
16．如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．(1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图 中 与 ， ， 之间的关系，并说明理由；
(2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
如图 ，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 ， 恰好经过点 ， ，若
，则 ______ ；
如图 ， ， 的三等分线 ， 相交于点 ，若 ， ，求
的度数．
17．综合与探究
问题情境
数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在 中， 与 的平分线相交于点 ，猜想
与 的数量关系，并说明理由．
独立思考
（1）请解答老师提出的问题．
深入探究
（2）希望小组受此问题的启发继续探究，如图2， 与 的一个外角 的平分线交于点 ，
判断 与 的数量关系，并加以证明．
（3）智慧小组突发奇想提出一个问题：如图3， ， 分别是外角 与外角 的平分线，
， 相交于点 ，请直接写出 与 的数量关系，不需要证明．
18．如图，在 中，点D在 延长线上，过点C向上作射线 ，使得 ．(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，点E在 边上，点F在射线 上， ， ，求 的度数；
(3)点G在 边上，点H，N在射线 上，连接 ， ， 的平分线 所在的直线与 的
平分线相交于点P．
①如图3，当 的反向延长线与 的平分线交于点P时，猜想 与 之间的数量关系，并
加以证明；
②如图4，当 与 的平分线交于点P时，直接写出 与 之间的数量关系．
