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专题 13.2 等腰三角形中的几何综合
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
◆ 知识点总
结
一、等腰三角形
1．定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形．
2．等腰三角形性质：
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）．特别地，等
腰直角三角形的每个底角都等于45°．
3．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等
边”）．
◆ 典例分析
【典例1】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D为△ABC内部一点，连接CD，AD，BD．
（1）如图1，若AD=AC，CD=8，求点B到直线CD的距离；
（2）如图2，以CD为直角边作等腰直角△CDE，DE=DC，线段EC，AD交于点F，若∠DCB=∠ABD，求证：AF=DF；
（3）如图3，点Q在AB边上，且AQ=AC，点M为直线AC上的一个动点，连接MQ，过点Q作
NQ⊥MQ，且满足NQ=MQ，连接BN，当BN最短时，请直接写出∠CMQ的度数．
【思路点拨】
（1）过点A作AH⊥CD于H，过点B作BG⊥CD于G，可证得△ACH≌△CBG(AAS)，得出
1
BG=CH，再由等腰三角形性质可得CH= CD=4；
2
（2）延长BD交CE于点L，过点A作AS⊥CE于点S，可证得△ACS≌△CBL(AAS)，进而可证
△AFS≌△DFL(AAS)，即可证得结论；
（3）作点C关于AB的对称点P，连接AP、CP，CP交AB于点O，过点Q作QW⊥AB交AC的延长线于
点W，连接AN，可证得△QWM≌△QAN(SAS)，得出∠QAN=∠W =45°，即点N在直线AP上运
动，当且仅当BN⊥AP时，BN最短，即点N与点P重合，作点C关于AB的对称点P，连接CQ，则
QP=QC，即QN=QC，再利用等腰三角形性质即可求得答案．
【解题过程】
（1）解：过点A作AH⊥CD于H，过点B作BG⊥CD于G，如图1，
则∠AHC=∠CGB=90°，
∴∠ACH+∠CAH=90°，
∵∠ACH+∠BCG=∠ACB=90°，
∴∠CAH=∠BCG，
在△ACH和△CBG中，
{∠AHC=∠CGB
)
∠CAH=∠BCG ，
AC=BC
∴△ACH≌△CBG(AAS)，
∴BG=CH，
∵AD=AC，AH⊥CD，1
∴CH=DH= CD=4，
2
∴BG=4，
即点B到直线CD的距离为4；
（2）证明：延长BD交CE于点L，过点A作AS⊥CE于点S，
则∠ASC=90°，
∵△CDE是等腰直角三角形，DE=DC，
∴∠DCE=∠DEC=45°，
∵∠ABD+∠CBD=∠ABC=45°，∠DCB=∠ABD，
∴∠DCB+∠CBD=45°，
∴∠DCB+∠CBD+∠DCE=90°，
∴∠BLC=180°−90°=90°，
∴∠ASC=∠BLC，
∴∠ACS+∠CAS=90°，
∵∠ACS+∠BCL=∠ACB=90°，
∴∠CAS=∠BCL，
在△ACS和△CBL中，
{∠ASC=∠BLC
)
∠CAS=∠BCL ，
AC=BC
∴△ACS≌△CBL(AAS)，
∴AS=CL，
∵∠DCE=45°，∠CLD=90°，
∴∠CDL=90°−45°=45°=∠DCE，
∴CL=DL，
∴AS=DL，
在△AFS和△DFL中，{∠ASF=∠DLF=90°
)
∠AFS=DFL ，
AS=DL
∴△AFS≌△DFL(AAS)，
∴AF=DF；
（3）解：如图3，作点C关于AB的对称点P，连接AP、CP，CP交AB于点O，过点Q作QW⊥AB交
AC的延长线于点W，连接AN，
则∠AQW =90°，∠BAP=∠BAC，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAC=45°，
∴∠W =90°−45°=45°=∠BAC，
∴QA=QW，
∵NQ⊥MQ，且满足NQ=MQ，
∴∠AQM+∠MQW =∠AQM+∠NQA=90°，
∴∠MQW =∠NQA，
在△QWM和△QAN中，
{ QW =QA )
∠MQW =∠NQA ，
QM=QN
∴△QWM≌△QAN(SAS)，
∴∠QAN=∠W =45°，
即点N在直线AP上运动，
当且仅当BN⊥AP时，BN最短，即点N与点P重合，
如图4，连接CQ，则QP=QC，即QN=QC，
∵QM=QN，
∴QC=QM，
∵AQ=AC，
1
∴∠ACQ=∠AQC= (180°−45°)=67.5°，
2
∵QM=QC，
∴∠CMQ=∠ACQ=67.5°．
◆ 学霸必刷
1．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，△ABC是等腰三角形(AB=AC≠BC)，在△ABC所在
平面内有一点P，且使得△ABP，△ACP，△BCP均为等腰三角形，则符合条件的点P共有
（ ）
A．1个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，∠CAB=∠DAE=36°，△ADE和△ABC均为等腰三角形，
其中AB=AC，AD=AE．连接BE并延长交AC，AD于点F，G，连接CD．若BE平分∠ABC，则下列
选项中不正确的是（ ）A．∠DAC=∠EAB B．CD∥AB C．AF=CF D．AF=BF
3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，点F为AC上一点，点D为
BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果
∠ABC=2∠D,∠CAD=∠BAC,BE=CF，那么下列说法中，正确的个数有（ ）
（1）EG=FG，（2）AD=AB+BC，（3）∠E=∠D，（4）点G到AB，AC的距离之和为定值．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、
AC边上点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点
M；以下五个结论：①△ADC≌△AEB；②∠AEG=∠CDB；③△EGM是等腰三角形；④
BG=AF+FG；恒成立的结论有（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②④
5．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）问题背景：已知，在△ABC中，AB=AC，如果过某一顶点的直线
可以将△ABC分割成两个等腰三角形，求∠A的大小．
某数学学习小组的成员在自主探究后得出如下结果：①∠A=36°，②∠A=90°，③∠A=108°，④
180°
∠A= ，你认为其中正确的结果有（ ）
7
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如下图，在等腰△ABC中，∠A=90°,BD平分∠ABC，BE平分
∠DBC,M、N分别为射线BE、BC上的动点，若BD=10，则CM+MN的最小值为
．7．（2024·四川达州·一模）如图，△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠CEF=90°，点E
在AC边上．将△CEF绕点C逆时针旋转α(0°<α<180°)，旋转过程中，直线EF分别与直线AC，BC交
于点M，N，若△CMN是等腰三角形，则α的值为 ．
8．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，△ABC≌△A′B′C′，∠ABC=90°，∠A′=27°（
0°<∠ABA′≤54°），A′C′与AC交于点F，与AB交于点E，连接BF．当△BEF为等腰三角形时，
∠ABA′的度数为 ．
9．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE
平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下
列结论：①BF=AC；②2AE=BF；③S =S ；④△DGF、△ABC都是等腰三角形．
四边形ADGE 四边形CHGE
其中正确的是 ．
10．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，△BAD和△CAE是等腰三角形且∠BAD=∠CAE=90°
，AF⊥CB，垂足为F．（1）试说明∠ABF=∠ADC的理由
（2）猜想CF和CE的位置关系，并说明理由；
（3）试说明：CD=2BF+DE．
11．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）问题情境：
定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相
等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”．
特例证明：
（1）如图1，若△ABC与△ADE互为“顶补等腰三角形”．∠BAC>90°，AM⊥BC于M，AN⊥ED
于N，求证：NE=AM；
拓展运用：
（2）如图2，在四边形ABCD中，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，在四边形ABCD的内
部是否存在点P，使得△PAB与△PDC互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说
明理由．12．（23-24八年级上·北京海淀·期中）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的一个动点（点D不
与点B，C重合），连接AD，作等腰△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，点D，E在直线AC两
旁，连接CE．
（1）如图1，当∠BAC=90°时，判断BC与CE的位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当0°<∠BAC<90°时，过点A作AF⊥CE于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线
段BD，CD，2EF之间的数量关系，不用证明．13．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公
共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形
称为“手拉手”图形，如图1，△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且
∠BAC=∠DAE，分别连接BD，CE．求证：BD=CE；
（2）类比探究：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且
∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位置关
系，并说明理由．
（3）问题解决：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且CA=CB，CD=CE，
∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，若
AE=7，BE=2，请直接写出四边形ABEC的面积．14．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图①，在△ABC中，延长AC到D，使CD=AB，E是AD
上方一点，且∠A=∠BCE=∠D
（1）求证：△BCE是等腰三角形；
（2）如图①，若∠ACB=90°，将DE沿直线CD翻折得到DE′，连接BE′和CE′，BE′与CE交于F，若
BE′∥ED，求证：F是BE′的中点；
（3）在如图②，若∠ACB=90°，AC=BC，连接BE′交CE于F，交CD于G．若AC=a，AB=b（
b>a>0），求线段CG的长度．15．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以AB和AC
为腰的等腰三角形ABC，从特殊情形到一般情形进行如下探究：
【独立思考】（1）如图1，∠BAC=60°，即△ABC为等边三角形ABC，D，E分别是BC，AC上的
点，且AE=CD．
①求证：AD=BE；
②求∠AFB的度数；
【实践探究】（2）如图2，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上的点，过点B作BE⊥AD于
点E．若CD=AC，猜想线段BE和AD的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】（3）如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=80°，D，E分别是BC，AC上的点，且
AE=CD，当AD+BE的值最小时，求∠ADC的度数．16．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为底边，在AB的同
侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE，在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF，DE.
（1）如图1，判断DE与BF的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若∠A=α，延长BF交DE于点G，探究∠BGE与∠GBC的关系，并说明理由.
17．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是△ABC的角平分线．
（1）直接写出∠ADC的大小；
（2）求证：AC+CD=AB；
（3）E在BC上，过点E作AD垂线，垂足为点G，延长EG交AC的延长线于点F．
①如图2，若E是BD的中点，求证：BD=2CF；
②如图3，若E是BC的中点，直接写出三条线段AB，BD，CF之间的数量关系．
18．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图1，△ACB为等腰三角形，∠ABC=90°，点P在射线
BC上（不与点B，点C重合），以AP为腰长作等腰Rt△PAQ，QE⊥AB于点E．（1）当点P在线段BC上（不与点B，点C重合），求证：△PAB≌△AQE；
PC
（2）在（1）的条件下，连接CQ交AB于点M，若PC=2PB，求 的值；
MB
（3）如图2，过点Q作QF⊥AQ于直线AB于点F，过点P作DP⊥AP交直线AC于点D，连接DF．则
点P在运动过程中，线段DF、QF与DP有怎样的数量关系？请说明理由．
19．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=α，作等腰△ACD
，使得AC=CD．（1）如图1，若∠ACD与∠BAC互余，则∠DAB=___________；（用含α的代数式表示）
1
（2）如图2，若∠ACD与∠BAC互补，过点C作CH⊥AD于点H，求证：CH= BC；
2
（3）若△ABC与△ACD的面积相等，请直接写出∠ACD的度数．（用含α的式子表示）
20．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，AC=8cm
，动点P从点C开始出发，沿CA−AB−BC的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．（1）填空：当0≤t<4时，AP=______cm（用含t的式子表示）；
（2）经过几秒，△APB的面积等于9cm2？
（3）当t为何值时，△BPC是以PC或BC为底边的等腰三角形？
（4）直接写出当t为何值时，直线BP把△ABC的周长分成相等的两部分？
