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高考模拟卷04-新题型 数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，若 ，则
A． B． C． D．
2．若 ， 是第二象限的角，则 的值为
A． B．2 C．4 D．-4
3．已知函数 的导函数为 ，函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． 在 ， 上为减函数
B． 在 ， 上为增函数
C． 的极小值为 ，极大值为
D． 的极大值为 ，极小值为
4．将含有甲、乙、丙的6名医护人员平均分成两组到A、B两家医院参加“防疫救护”工作，则甲、乙至
少有一人在A医院且甲、丙不在同一家医院参加“防疫救护”工作的概率为（ ）A． B． C． D．
5．已知等差数列 中， 为数列 的前 项和，则 （ ）
A．115 B．110 C． D．
6．已知 为虚数单位， ,若 为纯虚数，则复数 的模等于（ ）
A． B． C． D．2
7．已知函数 在区间 上单调递增，且在区间 上恰好有一个
零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在 中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列， ， ，那么
A．2 B． C．3 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．一组数据的平均数为 ，方差为 ，将这组数据的每个数都乘以 得到一组新数据，则下列说法
正确的是（ ）
A．这组新数据的平均数为 B．这组新数据的平均数为
C．这组新数据的方差为 D．这组新数据的标准差为
10．已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点
B．点 是曲线 的对称中心
C． 有三个零点且三个零点的和为0
试卷第2页，共5页D．直线 是曲线 的切线
11．已知正方体 的棱长为4，点 分别是 的中点，则（ ）
A．直线 是异面直线 B．平面 截正方体所得截面的面积为
C．三棱锥 的体积为 D．三棱锥 的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若命题“存在 ，使得 ”为假命题，则实数 的取值范围是 .
13．意大利画家达·芬奇在绘制《抱银貂的女子》（下图）时曾仔细思索女子脖子上的黑色项链的形状是什
么曲线？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究发现悬链线方程与双曲余弦曲线密切关联，双曲余弦曲线
的解析式为 （ 为自然对数的底数）.若直线 与双曲余弦曲线 交于点 ， ，曲
线 在 ， 两点处的切线相交于点 ，且 为等边三角形，则 ，
14．数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研
究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学､密码学以及大数分解等各个领域都有广泛
的应用.已知对于正整数 ，若存在一个整数 ，使得 整除 ，则称 是 的一个二次剩余，
否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数 ，记事件 与12互质”， 是12
的二次非剩余”，则 ； .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明在、证明过程或演算步骤。15．（13分）
如图所示， 平面 ，四边形 为矩形， ， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
16．（15分）
某学校为了了解全校学生“体能达标”的情况，从全校1000名学生中随机选出40名学生，参加“体能达
标”预测，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”若该校“不合格”
的人数不超过总人数的 ，则全校“体能达标”为“合格”；否则该校“体能达标”为“不合格”，需
要重新对全校学生加强训练现将这40名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名
学生经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成
绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）.
（1）求这40名学生测试成绩的平均分 和标准差 ；
（2）假设该校学生的“体能达标”预测服从正态分布 用样本平均数 作为 的估计值 ，用样
本标准差 作为 的估计值 .利用估计值估计：该校学生“体能达标”预测是否“合格”？
附：① 个数 的平均数 ，方差 ；
②若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， .
17．（15分）
已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
试卷第4页，共5页（2）设 ， ，求 的前 项和 .
18．（17分）
顺次连接椭圆 的四个顶点，得到的四边形的面积为 ，连接椭圆C的某两个顶点，
可构成斜率为 的直线.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知过点 的直线l与椭圆C交于E，F两点，点B在线段 上，若 ，求 （O
为坐标原点）面积的取值范围.
19．（17分）
如果函数 ， 满足：对于任意 ，均有 (n为正整数)成立，则称
函数有“n级”性质.
（1）分别判断 ， 是否具有“1级”性质，并说明理由.
（2）在区间 上是否存在具有“1级”性质的奇函数 ，满足： ，且对于任意实数
，都有 成立？若存在，请写出一个满足条件的
函数；若不存在，请说明理由.
（3）已知定义域为R的函数 具有“2级”性质，求证：对任意 ，都有
成立试卷第6页，共5页
